1、绝密启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修 II)本试卷分第 I卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。第 I卷 1至 2页。第卷 3至 4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第 I卷注意事项：1答题前，考生在答题卡上务必用直径 0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。2每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。3第 I卷共 12小题，每小题 5分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
2、求的。参考公式：如果事件 互斥，那么 球的表面积 公式A、 B()()PP 24SR如果事件 相 互独立，那么 其中 R 表示球的半径、球的体积公式()()A如果事件 A在一次试验中发生的概率是 ，那么 p34V次独立重复试验中事件 恰好发生 次的概率 其中 R表示球的半径nk()(1)(0,12)knknPCpn一选择题(1)复数 32i(A) (B) (C)12-13 (D) 12+13ii1A【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧.【解析】 .32()36941iiii(2)记 ,那么cos(80)ktan10A. B. - C. D. -21k22k21
3、k2.B 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用.【解析】 ,所以222sin801cos801cos(80)1ktan10ta8.cok(3)若变量 满足约束条件 则 的最大值为,xy1,02,yx2zxy(A)4 (B)3 (C)2 (D)13.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.【解析】画出可行域（如右图） ，由图可知,当直线 l经过点 A(1,-1)时，z 最大，且最大值为 .max12()3z（4）已知各项均为正数的等比数列 ， =5， =10，则na123789a=56a(A) (B
4、) 7 (C) 6 (D) 2 44.A【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.【解析】由等比数列的性质知 ，312312()5aaA10,所以 ,378978()aaA850所以1336456452()(a(5) 的展开式中 x的系数是3(12)(x(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 45.B 【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是0xy1Oyxy20xyxA 0:2lyL02AA BCDA1 B1C1D1O展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时
5、也考查了考生的一些基本运算能力.【解析】 35 53(12)(1628)(1xxx故 的展开式中含 x的项为,所以 x的系数为-2.3055()Cx(6)某校开设 A类选修课 3门，B 类选择课 4门，一位同学从中共选 3门，若要求两类课程中各至少选一 门，则不同的选法共有(A) 30种 (B)35 种 (C)42 种 (D)48 种6.A【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.【解析】:可分以下 2种情况 :(1)A类选修课选 1门,B 类选修课选 2门,有种不同的选法;(2)A 类选修课选 2门,B 类选修课选 1门,有 种不1234C 134C同的选法.
6、所以不同的选法共有 + 种.134C18230(7)正方体 ABCD- 中，B 与平面 AC 所成角的余弦值为1AD11DA B C D232367.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出 D 到平面 AC 的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思1想的具体体现.【解析】因为 BB1/DD1,所以 B 与平面 AC 所成角和 DD1与平面 AC 所成角11D1相等,设 DO平面 AC ，由等体积法得 ,即1D1DACADV.设 DD1=a,133ACDACSOS则 , .1 221 3sin60()2aa 21ACDSa所以 ,
7、记 DD1与平面 AC 所成角为 ,则132ACDS 1,所以 .1sin3O6cos3（8）设 a= 2,b=In2,c= ,则log125A af(1)=1+ =3,即 a+2b 的取值范围是(3,+).1（11）已知圆 O 的半径为 1， PA、PB 为该圆的两条切线， A、B 为俩切点，那么的最小值为PAB(A) (B) (C) (D)4232423211.D【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.【解析】如图所示：设 PA=PB= ,APO=x(0),则APB= ，PO= ，221，
8、2sin1x= = = ，令 ，|cosPABP22(1sin)x2(1)x42xPABy则 ，即 ，由 是实数，所以421xy42()0y2， ，解得 或 .2()261y32y32y故 .此时 .min3PABx（12）已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点，若 AB=CD=2,则四面体 ABCD 的体积的最大值为(A) (B) (C) (D) 2343238312.B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过PABO球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析】过 CD作平面 PCD，使 AB平面 PCD,交 AB与 P,设点 P到
9、 CD的距离为 ,则有h,当直径通过 AB与 CD的中点时, ,故ABCD12233Vh四 面 体 2max13.max4绝密启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修 II)第卷注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径 0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。请 认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。2第卷共 2页，请用直径 0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。3。第卷共 l0小题，共 90分。二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上(注意：在试题卷上作答无
10、效 ) (13)不等式 的解集是 .21x13.0,2 【命题意图】本小题主要考查根式不等式的解法，利用平方去掉根号是解根式不等式的基本思路，也让转化与化归的数学思想体现得淋漓尽致.解析:原不等式等价于 解得 0x2.22(1),0x(14)已知 为第三象限的角， ,则 .3cos5tan(2)414 【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角17的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能.【解析】因为 为第三象限的角,所以 ，又2(1),2(1)()kkZ0, 所以 ,于是有 ,3cos252(), 4sin2512xy=1xyaO41aya,所以 .
11、sin24taco3tan(2)41tant23471(15)直线 与曲线 有四个交点，则 的取值范围是 .1y2yx15.(1, 【命题意图】本小题主要考查函数的图像与性质、不等式的解法,着重考查了数5)4形结合的数学思想.【解析】如图，在同一直角坐标系内画出直线 与曲线 ,观图可知，a1y2yx的取值必须满足 解得 .1,4a54a(16)已知 是椭圆 的一个焦点， 是短轴的一个端点，线段FCB的延长线交 于点 ，且 ，则 的离心率为 .BDF2urC16. 23【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“
12、数研究形，形助数” ，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.【解析】如图， ,2|BFbca作 轴于点 D1,则由 ，得1yFur,所以 ,1|23O13|2Oc即 ,由椭圆的第二定义得2Dcx223|()acFeca又由 ,得 ,整理得 .|BF23c20两边都除以 ,得 ,解得 .2a30e1()e舍 去 ， 或 3e三解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(17)(本小题满分 10 分)(注意：在试题卷上作答无效)已知 的内角 ， 及其对边 ， 满足 ，求内角ABCVabcottaAbBxOBF1DC17. 【命题意图】本小题主要考查三角恒等变形、利
13、用正弦、余弦定理处理三角形中的边角关系，突出考查边角互化的转化思想的应用.(18)(本小题满分 12分)（注意：在试题卷上作答无效)投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 05，复审的稿件能通过评审的概率为03各专家独立评审(I)求投到该杂志的 1篇稿件被录用的概率；(II)记 表示投到该杂志的 4篇稿件中被录用的篇数，求 的分布列及期望X X18. 【命题意图】本题主要考查
14、等可能性事件、互斥事件、独立事件、相互独立试验、分布列、数学期望等知识,以及运用概率知识解决实际问题的能力,考查分类与整合思想、化归与转化思想.（19） （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效）如图，四棱锥 S-ABCD 中，SD 底面ABCD，AB/DC，AD DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱 SB 上的一点，平面 EDC平面 SBC .（）证明：SE=2EB ；（）求二面角 A-DE-C 的大小 .【命题意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，二面角等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.(20 )(本小题满分 12
15、分)（注意：在试题卷上作答无效）已知函数 .(1lnfxx（）若 ，求 的取值范围；2)a（）证明： .()0xf【命题意图】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想.（21）(本小题满分 12 分)（注意：在试题卷上作答无效）已知抛物线 的焦点为 F，过点 的直线 与 相交于 、 两点，2:4Cyx(1,0)KlCAB点 A 关于 轴的对称点为 D .x（ ）证明：点 F 在直线 BD 上；（ ）设 ，求 的内切圆 M 的方程 .89B【命题意图】本小题为
16、解析几何与平面向量综合的问题，主要考查抛物线的性质、直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量积等知识,考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力，同时考查了数形结合思想、设而不求思想（22）(本小题满分 12 分)（注意：在试题卷上作答无效）已知数列 中， .na11,nnac（）设 ，求数列 的通项公式；5,2ncbnb（）求使不等式 成立的 的取值范围 .13nac【命题意图】本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等基础知识和基本技能，同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力,在解题过程中也渗透了对函数与方程思想、化归与转化思想的考查.
