1、,1.3.1函数的单调性与导数,练1、判断下列函数的单调性，并求出单调区间：,(1) f(x)=x3+3x ;,解： =3x2+3=3(x2+1)0,从而函数f(x)=x3+3x 在xR上单调递增， 见右图。,(2) f(x)=x2-2x-3 ;,解： =2x-2=2(x-1),图象见右图。,当 0，即x1时，函数单调递增；,当 0，即x1时， 函数单调递减；,(3) f(x)=sinx-x ; x(0,p),解： =cosx-10,从而函数f(x)=sinx-x 在x(0,)单调递减， 见右图。,(4) f(x)=2x3+3x2-24x+1 ;,解： =6x2+6x-24=6(x2+x-4)
2、,当 0， 即 时，函数单调递增；,图象见右图。,当 0， 即 时，函数单调递减；,(4) f(x)=2x3+3x2-24x+1 ;,练习2,判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:,总结: 当遇到三次或三次以上的,或图象很难 画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。,纳,1什么情况下，用“导数法” 求函数单调性、单调区间较简便？,2试总结用“导数法” 求单调区间的步骤？,归,设 是函数 的导函数， 的图象如 右图所示,则 的图象最有可能的是( ),(A),(B),(C),(D),C,思考题,A,求参数的取值范围,例2：,解：由已知得,因为函数在（0，1上单调递增,在某个区间上， ，f（x）在
3、这个区间上单调递增 （递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而 仅仅得到 是不够的。还有可能导数等于0 也能使f（x）在这个区间上单调， 所以对于能否取到等号的问题需要单独验证,例3：方程根的问题求证：方程 只有一个根。,B,2.函数y=a(x3-x)的减区间为 则 a 的取值范围为( ) (A)a0 (B)11 (D) 0a1,A,证明：令f(x)=e2x12x. f(x)=2e2x2=2(e2x1) x0，e2xe0=1，2(e2x1)0, 即f(x)0 f(x)=e2x12x在(0，+)上是增函数. f(0)=e010=0. 当x0时，f(x)f(0)=0，即e2x12x0. 1+2xe2x,2.当x0时，证明不等式：1+2xe2x.,分析：假设令f(x)=e2x12x.f(0)=e010=0, 如果能够证明f(x)在(0，+)上是增函数，那么f(x)0，则不等式就可以证明.,点评：所以以后要证明不等式时，可以利用函数的单调性进行证明，把特殊点找出来使函数的值为0.,3.设f (x) = ax3+x 恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求其单调区间。,提示:运用导数判断单调性,根据函数的单调性比较函数值大小,(1)函数单调性与导数正负的关系,课堂小结,(2)利用导数研究函数单调性的步骤,
