1、 1目 录第一部分 函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题例 1 2013年上海市中考第 24题例 2 2012年苏州市中考第 29题例 3 2012年黄冈市中考第 25题例 4 2010年义乌市中考第 24题例 5 2009年临沂市中考第 26题例 6 2008年苏州市中考第 29题1.2 因动点产生的等腰三角形问题例 1 2013年上海市虹口区中考模拟第 25题例 2 2012年扬州市中考第 27题例 3 2012年临沂市中考第 26题例 4 2011年湖州市中考第 24题例 5 2011年盐城市中考第 28题例 6 2010年南通市中考第 27题例 7 2009年江西
2、省中考第 25题1.3 因动点产生的直角三角形问题例 1 2013年山西省中考第 26题例 2 2012年广州市中考第 24题例 3 2012年杭州市中考第 22题例 4 2011年浙江省中考第 23题例 5 2010年北京市中考第 24题例 6 2009年嘉兴市中考第 24题例 7 2008年河南省中考第 23题1.4 因动点产生的平行四边形问题例 1 2013年上海市松江区中考模拟第 24题例 2 2012年福州市中考第 21题例 3 2012年烟台市中考第 26题例 4 2011年上海市中考第 24题例 5 2011年江西省中考第 24题例 6 2010年山西省中考第 26题例 7 20
3、09年江西省中考第 24题1.5 因动点产生的梯形问题例 1 2012年上海市松江中考模拟第 24题例 2 2012年衢州市中考第 24题例 4 2011年义乌市中考第 24题例 5 2010年杭州市中考第 24题例 7 2009年广州市中考第 25题21.6 因动点产生的面积问题例 1 2013年苏州市中考第 29题例 2 2012年菏泽市中考第 21题例 3 2012年河南省中考第 23题例 4 2011年南通市中考第 28题例 5 2010年广州市中考第 25题例 6 2010年扬州市中考第 28题例 7 2009年兰州市中考第 29题1.7 因动点产生的相切问题例 1 2013年上海市
4、杨浦区中考模拟第 25题例 2 2012年河北省中考第 25题例 3 2012年无锡市中考第 28题1.8 因动点产生的线段和差问题例 1 2013年天津市中考第 25题例 2 2012年滨州市中考第 24题例 3 2012年山西省中考第 26题第二部分 图形运动中的函数关系问题2.1 由比例线段产生的函数关系问题例 1 2013年宁波市中考第 26题例 2 2012年上海市徐汇区中考模拟第 25题例 3 2012年连云港市中考第 26题例 4 2010年上海市中考第 25题2.2 由面积公式产生的函数关系问题例 1 2013年菏泽市中考第 21题例 2 2012年广东省中考第 22题例 3
5、2012年河北省中考第 26题例 4 2011年淮安市中考第 28题例 5 2011年山西省中考第 26题例 6 2011年重庆市中考第 26题第三部分图形运动中的计算说理问题3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题例 1 2013年南京市中考第 26题例 2 2013年南昌市中考第 25题3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题例 1 2013年上海市黄浦区中考模拟第 24题例 2 2013年江西省中考第 24题3第一部分 函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题 例 1 2013年上海市中考第 24题如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，顶点为 M 的抛物线 yax
6、2bx（a0）经过点 A 和 x 轴正半轴上的点 B，AOBO 2，AOB120（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结 OM，求AOM 的大小；（3）如果点 C 在 x 轴上，且ABC 与AOM 相似，求点 C 的坐标图 1 动感体验请打开几何画板文件名“13 上海 24”，拖动点 C 在 x 轴上运动，可以体验到，点 C 在点 B 的右侧，有两种情况，ABC 与AOM 相似请打开超级画板文件名“13 上海 24”，拖动点 C 在 x 轴上运动，可以体验到，点 C 在点 B 的右侧，有两种情况，ABC 与AOM 相似点击按钮的左部和中部，可到达相似的准确位置。思路点拨1第（2）题把求AOM 的
7、大小，转化为求BOM 的大小2因为BOMABO30，因此点 C 在点 B 的右侧时，恰好有ABCAOM3根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论ABC 与AOM 相似满分解答（1）如图 2，过点 A 作 AH y 轴，垂足为 H在 Rt AOH 中，AO2， AOH30，所以 AH1，OH 所以 A 3(1,3)因为抛物线与 x 轴交于 O、B(2,0)两点，设 yax(x2)，代入点 A ，可得 (,)a图 2所以抛物线的表达式为 233()yxx4（2）由 ，2233(1)yxx得抛物线的顶点 M 的坐标为 所以 (,)3tanBOM所以BOM30所以AOM150（3）由 A 、B (2,
8、0)、M ，(1,3)3(1,)得 ， ， tanO22O所以ABO30， 3因此当点 C 在点 B 右侧时， ABCAOM150ABC 与AOM 相似，存在两种情况：如图 3，当 时， 此时 C(4,0)3AOM23BAC如图 4，当 时， 此时 C(8,0)B6图 3 图 4考点伸展在本题情境下，如果ABC 与BOM 相似，求点 C 的坐标如图 5，因为BOM 是 30底角的等腰三角形，ABO30，因此ABC 也是底角为 30的等腰三角形，AB AC，根据对称性，点 C 的坐标为(4,0) 图 5例 2 2012年苏州市中考第 29题5如图 1，已知抛物线 （b 是实数且 b2）与 x 轴
9、的正半轴分别交于点21()44yxA、B （点 A 位于点 B 是左侧） ，与 y 轴的正半轴交于点 C（1）点 B 的坐标为_，点 C 的坐标为_（用含 b 的代数式表示） ；（2）请你探索在第一象限内是否存在点 P，使得四边形 PCOB 的面积等于 2b，且PBC 是以点 P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q，使得QCO、QOA 和QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由图 1动感体验请打开几何画板文件名“12 苏州 29”
10、，拖动点 B 在 x 轴的正半轴上运动，可以体验到，点 P 到两坐标轴的距离相等，存在四边形 PCOB 的面积等于 2b 的时刻双击按钮“第（3）题” ，拖动点 B，可以体验到，存在OQAB 的时刻，也存在OQAB 的时刻思路点拨1第（2）题中，等腰直角三角形 PBC 暗示了点 P 到两坐标轴的距离相等2联结 OP，把四边形 PCOB 重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含 b 的式子表示3第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点 Q 最大的可能在经过点 A 与 x 轴垂直的直线上满分解答（1）B 的坐标为(b, 0) ，点 C 的坐标为(0, )4b（2）如
11、图 2，过点 P 作 PD x 轴，PEy 轴，垂足分别为 D、E，那么PDBPEC因此 PDPE 设点 P 的坐标为(x, x) 如图 3，联结 OP所以 S 四边形 PCOBS PCO S PBO 2b15248bx解得 所以点 P 的坐标为( )165x6,5图 2 图 3（3）由 ，得 A(1, 0)，OA1211()()44byxxb6如图 4，以 OA、OC 为邻边构造矩形 OAQC，那么OQCQOA当 ，即 时，BQA QOA BAQO2BA所以 解得 所以符合题意的点 Q 为( )2()1b843b1,23如图 5，以 OC 为直径的圆与直线 x1 交于点 Q，那么 OQC 9
12、0。因此OCQQOA当 时，BQA QOA此时OQB90BAQO所以 C、Q、B 三点共线因此 ，即 解得 此时 Q(1,4)BOAC14b4A图 4 图 5考点伸展第（3）题的思路是，A、C、 O 三点是确定的，B 是 x 轴正半轴上待定的点，而QOA 与QOC 是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况这样，先根据QOA 与QOC 相似把点 Q 的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点 B的位置如图中，圆与直线 x1 的另一个交点会不会是符合题意的点 Q 呢？如果符合题意的话，那么点 B 的位置距离点 A 很近，这与 OB4OC 矛盾例 3 2012年黄冈市中考模拟第
13、25题如图 1，已知抛物线的方程 C1： (m0) 与 x 轴交于点 B、C，与 y 轴交于点 E，(2)yx且点 B 在点 C 的左侧（1）若抛物线 C1 过点 M(2, 2)，求实数 m 的值；（2）在（1）的条件下，求BCE 的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点 H，使得 BHEH 最小，求出点 H 的坐标；（4）在第四象限内，抛物线 C1 上是否存在点 F，使得以点 B、C 、F 为顶点的三角形与BCE 相似？7若存在，求 m 的值；若不存在，请说明理由图 1动感体验请打开几何画板文件名“12 黄冈 25”，拖动点 C 在 x 轴正半轴上运动，观察左图，可以体验到，
14、EC与 BF 保持平行，但是BFC 在无限远处也不等于 45观察右图，可以体验到，CBF 保持 45，存在BFC BCE 的时刻思路点拨1第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当 H 落在线段 EC 上时，BHEH 最小2第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线 BF，作CBFEBC45，或者作BF/EC再用含 m 的式子表示点 F 的坐标然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于 m 的方程满分解答（1）将 M(2, 2)代入 ，得 解得 m41(2)yxm124()（2）当 m4 时， 所以 C(4, 0)，E(0, 2) 4x所以 SBCE 62BCOE（3）如图 2，抛物线的对称轴是直线 x
15、1，当 H 落在线段 EC 上时，BHEH 最小设对称轴与 x 轴的交点为 P，那么 EOC因此 解得 所以点 H 的坐标为 4HP323(,)2（4）如图 3，过点 B 作 EC 的平行线交抛物线于 F，过点 F 作 FFx 轴于 F由于BCEFBC，所以当 ，即 时，BCE FBCBE设点 F 的坐标为 ，由 ，得 1(,2)(xxmOC1(2)mx解得 xm2所以 F(m2, 0)由 ，得 所以 COBE24B2(4)F由 ，得 2F22()()m整理，得 016此方程无解8图 2 图 3 图 4如图 4，作CBF45交抛物线于 F，过点 F 作 FFx 轴于 F，由于EBCCBF，所以
16、 ，即 时，BCE BFCBEC2BE在 Rt BFF中，由 FFBF ，得 1()xm解得 x2m所以 F 所以 BF2m 2， (2,0) (2)F由 ，得 解得 BCE ()综合、，符合题意的 m 为 考点伸展第（4）题也可以这样求 BF 的长：在求得点 F、F 的坐标后，根据两点间的距离公式求 BF 的长例 4 2010年义乌市中考第 24题如图 1，已知梯形 OABC，抛物线分别过点 O（0，0） 、A （2，0） 、B（6，3） （1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点 M 的坐标；（2）将图 1 中梯形 OABC 的上下底边所在的直线 OA、CB 以相同的速度同时向上平移，分别
17、交抛物线于点 O1、A 1、C 1、B 1，得到如图 2 的梯形 O1A1B1C1设梯形 O1A1B1C1的面积为 S，A 1、 B1的坐标分别为 (x1，y 1)、 (x2，y 2)用含 S 的代数式表示 x2x 1，并求出当 S=36 时点 A1的坐标；（3）在图 1 中，设点 D 的坐标为 (1，3)，动点 P 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿着线段BC 运动，动点 Q 从点 D 出发，以与点 P 相同的速度沿着线段 DM 运动P、Q 两点同时出发，当点 Q到达点 M 时，P、Q 两点同时停止运动设 P、Q 两点的运动时间为 t，是否存在某一时刻 t，使得直线PQ、直线 A
18、B、 x 轴围成的三角形与直线 PQ、直线 AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请9求出 t 的值；若不存在，请说明理由图 1 图 2动感体验请打开几何画板文件名“10 义乌 24”，拖动点 I 上下运动，观察图形和图象，可以体验到，x 2x 1随S 的增大而减小双击按钮“第（3）题” ，拖动点 Q 在 DM 上运动，可以体验到，如果GAFGQE，那么GAF 与GQE 相似思路点拨1第（2）题用含 S 的代数式表示 x2x 1，我们反其道而行之，用 x1，x 2表示 S再注意平移过程中梯形的高保持不变，即 y2y 13通过代数变形就可以了2第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算
19、结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证3第（3）题的示意图，不变的关系是：直线 AB 与 x 轴的夹角不变，直线 AB 与抛物线的对称轴的夹角不变变化的直线 PQ 的斜率，因此假设直线 PQ 与 AB 的交点 G 在 x 轴的下方，或者假设交点 G在 x 轴的上方满分解答（1）抛物线的对称轴为直线 ，解析式为 ，顶点为 M（1， ） 1x2184yx8（2） 梯形 O1A1B1C1的面积 ，由此得到 由212()3()6S123sx于 ，所以 整理，得 因213y2221184yxx2121()84x此得到 217xS当 S=36 时， 解得 此时点
20、A1的坐标为（6，3） 21,.x12,8.x（3）设直线 AB 与 PQ 交于点 G，直线 AB 与抛物线的对称轴交于点 E，直线 PQ 与 x 轴交于点 F，那么要探求相似的GAF 与GQE，有一个公共角G 在GEQ 中， GEQ 是直线 AB 与抛物线对称轴的夹角，为定值在GAF 中，GAF 是直线 AB 与 x 轴的夹角，也为定值，而且 GEQ GAF因此只存在GQEGAF 的可能，GQEGAF这时GAFGQEPQD 由于 ， ，所以 解得 3tan4AFtan5DQtP345t207t10图 3 图 4考点伸展第（3）题是否存在点 G 在 x 轴上方的情况？如图 4，假如存在，说理过
21、程相同，求得的 t 的值也是相同的事实上，图 3 和图 4 都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图 3例 5 2009年临沂市中考第 26题如图 1，抛物线经过点 A(4， 0)、B（1，0)、C（0，2）三点（1）求此抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上的一个动点，过 P 作 PMx 轴，垂足为 M，是否存在点 P，使得以 A、P、M 为顶点的三角形与OAC 相似？若存在，请求出符合条件的 点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线 AC 上方的抛物线是有一点 D，使得DCA 的面积最大，求出点 D 的坐标,11图 1动感体验 请打开几何画板文件名“09 临沂 26”，拖动点 P
22、在抛物线上运动，可以体验到，PAM 的形状在变化，分别双击按钮“P 在 B 左侧” 、 “ P 在 x 轴上方”和 “P 在 A 右侧” ，可以显示PAM 与OAC 相似的三个情景双击按钮“第(3)题” ， 拖动点 D 在 x 轴上方的抛物线上运动，观察 DCA 的形状和面积随 D 变化的图象，可以体验到，E 是 AC 的中点时，DCA 的面积最大思路点拨1已知抛物线与 x 轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便2数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长3按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程4把DCA 可以分割为共底的两个三角形，高的和等于 OA满分解
23、答 （1）因为抛物线与 x 轴交于 A(4，0) 、B（1，0)两点，设抛物线的解析式为 ，代)4(1xay入点 C 的 坐标（0，2） ，解得 所以抛物线的解析式为2251)4(2xxy（2）设点 P 的坐标为 )4(,(如图 2，当点 P 在 x 轴上方时，1x 4， ， )4(12xPMxAM如果 ，那么 解得 不合题意COAM)(12x5如果 ，那么 解得 1P24)(x此时点 P 的坐标为（2，1） 如图 3，当点 P 在点 A 的右侧时，x4， ， )4(1PM4xAM解方程 ，得 此时点 P 的坐标为 2)(2x5)2,5(解方程 ，得 不合题意14)(1x如图 4，当点 P 在
24、点 B 的左侧时，x1， ， )4(12xPMxAM解方程 ，得 此时点 P 的坐标为 2)(21x3),3(12解方程 ，得 此时点 P 与点 O 重合，不合题意214)(21x0x综上所述，符合条件的 点 P 的坐标为（2，1）或 或 )14,3()2,5(图 2 图 3 图 4（3）如图 5，过点 D 作 x 轴的垂线交 AC 于 E直线 AC 的解析式为 21xy设点 D 的横坐标为 m ，那么点 D 的坐标为 ，点 E 的坐标为)41( )52,(m所以 )21,(m)21(52mE因此 )(SDAC 42当 时，DCA 的面积最大，此时点 D 的坐标为（2，1） 图 5 图 6考点
25、伸展第（3）题也可以这样解：如图 6，过 D 点构造矩形 OAMN，那么DCA 的面积等于直角梯形 CAMN 的面积减去CDN 和ADM 的面积设点 D 的横坐标为（m，n） ，那么)41(m42)4(21)(2 nmnnS由于 ，所以 521S213例 6 2008年苏州市中考第 29题图 114动感体验请打开几何画板文件名“08 苏州 29”，拖动表示 a 的点在 y 轴上运动，可以体验到，当抛物线经过点 E1和 E3时，直线 NE1、N E3和直线 AB 交于同一个点 G，此时POBPGN当抛物线经过点 E2和E4时，直线 NE2、NE 4和直线 AB 交于同一个点 G，可以体验到，这个
26、点 G 在点 N 右侧较远处思路点拨1求等腰直角三角形 OAB 斜边上的高 OH，解直角三角形 POH 求 k、b 的值2以 DN 为边画正方形及对角线，可以体验到，正方形的顶点和对角线的交点中，有符合题意的点E，写出点 E 的坐标，代入抛物线的解析式就可以求出 a3当 E 在 x 轴上方时， GNP45，POB PGN，把 转化为 PBG 14OPN4当 E 在 x 轴下方时，通过估算得到 大于 10 PBG2满分解答（1） ， ， （2）由抛物线的解析式 ，得OH3kb(1)5yax点 M 的坐标为 ，点 N 的坐标为 因此 MN 的中点 D 的坐标为（2，0） ，DN3(,0)(5,0)
27、因为AOB 是等腰直角三角形，如果 DNE 与AOB 相似，那么DNE 也是等腰直角三角形如图 2，如果 DN 为直角边，那么点 E 的坐标为 E1（2，3）或 E2（2，3） 将 E1（2，3）代入 ，求得 (1)yaxa此时抛物线的解析式为 245(5)3xx将 E2（2，3）代入 ，求得 ()y31此时抛物线的解析式为 )12xx如果 DN 为斜边，那么点 E 的坐标为 E3 或 E4 (,)21,(将 E3 代入 ，求得 1(,)2()5yax9a此时抛物线的解析式为 22801()9x将 E4 代入 ，求得 )1,()yx此时抛物线的解析式为 91)52x15图 2 图 3对于点 E
28、 为 E1（2，3）和 E3 ，直线 NE 是相同的，ENP451(,)又OBP45，P P，所以POB PGN因此 2047NOGB对于点 E 为 E2（2，3）和 E4 ，直线 NE 是相同的)1,3(此时点 G 在直线 的右侧， 5xPG又 ，所以 34PB 210343B考点伸展在本题情景下，怎样计算 PB 的长？如图 3，作 AFAB 交 OP 于 F，那么OBCOAF，OFOC ，PF ，2323PA ，所以 2(3)12PF31PB1.2 因动点产生的等腰三角形问题例 1 2013年上海市虹口区中考模拟第 25题如图 1，在 Rt ABC 中，A90，AB6，AC 8，点 D 为
29、边 BC 的中点，DE BC 交边 AC 于点E，点 P 为射线 AB 上的一动点，点 Q 为边 AC 上的一动点，且PDQ 90（1）求 ED、EC 的长；（2）若 BP2，求 CQ 的长；（3）记线段 PQ 与线段 DE 的交点为 F，若PDF 为等腰三角形，求 BP 的长图 1 备用图16动感体验请打开几何画板文件名“13 虹口 25”，拖动点 P 在射线 AB 上运动，可以体验到，PDM 与QDN保持相似观察PDF，可以看到，P、F 可以落在对边的垂直平分线上，不存在 DFDP 的情况请打开超级画板文件名“13 虹口 25”，拖动点 P 在射线 AB 上运动，可以体验到，PDM 与QD
30、N保持相似观察PDF，可以看到，P、F 可以落在对边的垂直平分线上，不存在 DFDP 的情况思路点拨1第（2）题 BP2 分两种情况2解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系3第（3）题探求等腰三角形 PDF 时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形 CDQ满分解答（1）在 RtABC 中， AB6，AC 8，所以 BC10在 Rt CDE 中， CD5，所以 ， 315tan4EDC24EC（2）如图 2，过点 D 作 DMAB，DNAC ，垂足分别为 M、N ，那么 DM、DN 是ABC 的两条中位线，DM4，DN3由PDQ 90 ，MDN90，可得PD
31、MQDN因此PDMQDN 所以 所以 ， 3PMQN34QNP43Q图 2 图 3 图 4如图 3，当 BP2，P 在 BM 上时，PM1此时 所以 4QNM194CQN如图 4，当 BP2，P 在 MB 的延长线上时，PM5此时 所以 153（3）如图 5，如图 2，在 RtPDQ 中， tan4QDNPM在 Rt ABC 中， 所以QPDC3tan4BA由PDQ 90 ，CDE90 ，可得PDFCDQ因此PDFCDQ当PDF 是等腰三角形时，CDQ 也是等腰三角形如图 5，当 CQCD5 时，QNCQCN541（如图 3 所示） 此时 所以 43PMQN53BPM17如图 6，当 QCQD
32、 时，由 ，可得 cosCHQ5428所以 QNCNCQ （如图 2 所示） 25748此时 所以 36PMQN72536BPM不存在 DPDF 的情况这是因为DFPDQPDPQ（如图 5，图 6 所示） 图 5 图 6考点伸展如图 6，当CDQ 是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到BDP 也是等腰三角形，PB PD在 BDP 中可以直接求解 256BP例 2 2012年扬州市中考第 27题如图 1，抛物线 yax 2bx c 经过 A(1,0) 、B(3, 0)、C (0 ,3)三点，直线 l 是抛物线的对称轴（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点 P 是直线 l 上的一个动点，当P
33、AC 的周长最小时，求点 P 的坐标；（3）在直线 l 上是否存在点 M，使MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点 M的坐标；若不存在，请说明理由图 1 动感体验18请打开几何画板文件名“12 扬州 27”，拖动点 P 在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，当点 P 落在线段 BC 上时，PAPC 最小，PAC 的周长最小拖动点 M 在抛物线的对称轴上运动，观察MAC的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以看到，点 M 有 1 次机会落在 AC 的垂直平分线上；点A 有 2 次机会落在 MC 的垂直平分线上；点 C 有 2 次机会落在 MA 的垂直平分线上，但是有 1 次M、
34、A 、C 三点共线思路点拨1第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点 P 在线段 BC 上时PAC 的周长最小2第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性满分解答（1）因为抛物线与 x 轴交于 A(1,0)、B(3, 0)两点，设 ya(x1)(x3) ，代入点 C(0 ,3)，得3a3解得 a1所以抛物线的函数关系式是 y(x 1)(x3)x 22x3（2）如图 2，抛物线的对称轴是直线 x1当点 P 落在线段 BC 上时，PAPC 最小，PAC 的周长最 小设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 H由 ，BOCO，得 PHBH 2BHOC所以点 P 的坐标为(1, 2) 图 2（3）点 M
35、的坐标为(1, 1) 、(1, )、(1, )或(1,0) 6考点伸展第（3）题的解题过程是这样的：设点 M 的坐标为(1,m) 在MAC 中，AC 210，MC 21( m3) 2，MA 24m 2如图 3，当 MAMC 时，MA 2MC 2解方程 4m 21( m3) 2，得 m1此时点 M 的坐标为(1, 1) 如图 4，当 AMAC 时，AM 2AC 2解方程 4m 210，得 6此时点 M 的坐标为(1, )或(1, )6如图 5，当 CMCA 时，CM 2CA 2解方程 1(m3) 210，得 m0 或 6当 M(1, 6)时，M、A、C 三点共线，所以此时符合条件的点 M 的坐标
36、为(1,0) 19图 3 图 4 图 5例 3 2012年临沂市中考第 26题如图 1，点 A 在 x 轴上，OA4，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120至 OB 的位置（1）求点 B 的坐标；（2）求经过 A、O、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点 P，使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由图 1动感体验20请打开几何画板文件名“12 临沂 26”，拖动点 P 在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，O 和B 以及 OB 的垂直平分线与抛物线的对称轴有一个共同的交点，当点 P 运动到O 与对称轴的另一个交点
37、时，B 、O、P 三点共线请打开超级画板文件名“12 临沂 26”，拖动点 P，发现存在点 P，使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形思路点拨1用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验2本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点 P 重合在一起满分解答（1）如图 2，过点 B 作 BCy 轴，垂足为 C在 Rt OBC 中， BOC30 ，OB4，所以 BC2， 3O所以点 B 的坐标为 (,3)（2）因为抛物线与 x 轴交于 O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为 yax( x4)，代入点 B ， 解得 (,3)2(6)
38、a36a所以抛物线的解析式为 234yxx（3）抛物线的对称轴是直线 x2，设点 P 的坐标为(2, y)当 OPOB 4 时，OP 216所以 4+y216解得 3当 P 在 时，B、O、P 三点共线（如图 2） (2,)当 BPBO 4 时，BP 216所以 解得 4()16y123y当 PBPO 时，PB 2PO 2所以 解得 2223综合、，点 P 的坐标为 ，如图 2 所示(,)图 2 图 3考点伸展如图 3，在本题中，设抛物线的顶点为 D，那么DOA 与OAB 是两个相似的等腰三角形21由 ，得抛物线的顶点为 233(4)()66yxx23(,)D因此 所以DOA30，ODA 12
39、02tanDOA例 4 2011年盐城市中考第 28题如图 1，已知一次函数 yx7 与正比例函数 的图象交于点 A，且与 x 轴交于点 B43yx（ 1） 求点 A 和点 B 的 坐标；（2）过点A 作 ACy 轴于点 C，过点 B 作直线 l/y 轴动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长的速度，沿 OCA 的 路 线 向 点 A 运 动 ；同时直线 l 从点 B 出发，以相同速度向左平移，在平移过 程中，直线l 交 x 轴于点 R，交线段 BA 或 线 段 AO 于 点 Q当 点 P 到 达 点 A 时 ，点 P 和 直 线 l 都 停 止 运 动 在 运 动 过 程 中 ， 设
40、动 点 P 运 动 的 时 间 为t 秒 当 t 为何值时，以 A、 P、 R 为顶点的三角形的面积 为 8？是否存在以 A、 P、 Q 为顶点的三角形是等腰三角形？ 若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由图 1 动感体验请打开几何画板文件名“11 盐城 28”，拖动点 R 由 B 向 O 运动，从图象中可以看到，APR 的面积有一个时刻等于 8观察APQ，可以体验到，P 在 OC 上时，只存在 APAQ 的情况；P 在 CA 上时，有三个时刻，APQ 是等腰三角形22思路点拨1把图 1 复制若干个，在每一个图形中解决一个问题2求APR 的面积等于 8，按照点 P 的位置分两种情况讨论事实上
41、，P 在 CA 上运动时，高是定值 4，最大面积为 6，因此不存在面积为 8 的可能3讨论等腰三角形 APQ，按照点 P 的位置分两种情况讨论，点 P 的每一种位置又要讨论三种情况满分解答（1）解方程组 得 所以点 A 的坐标是 (3，4)7,43yx3,4.y令 ，得 所以点 B 的坐标是(7 ，0)0yx（2）如图 2，当 P 在 OC 上运动时，0t4由 ，得8APRACPOROSS 梯 形整理，得 解得 t2 或 t6（舍去） 如图113+7)4()(7)8tt（ 2810t3，当 P 在 CA 上运动时， APR 的最大面积为 6因此，当 t2 时，以 A、 P、 R 为顶点的三角形
42、的面积为 8图 2 图 3 图 4我们先讨论 P 在 OC 上运动时的情形，0t4如图 1，在AOB 中，B 45，AOB 45，OB 7， ，所以 OBAB因此2ABOABAOBB如图 4，点 P 由 O 向 C 运动的过程中，OPBRRQ ，所以 PQ/x 轴因此AQP45保持不变，PAQ 越来越大，所以只存在APQAQP 的情况此时点 A 在 PQ 的垂直平分线上， OR2CA 6所以 BR1，t1我们再来讨论 P 在 CA 上运动时的情形，4t7在APQ 中， 为定值， ， 3cos57APt5203QOARt如图 5，当 APAQ 时，解方程 ，得 03t48如图 6，当 QPQA
43、时，点 Q 在 PA 的垂直平分线上，AP2(OR OP)解方程，得 72()4ttt如 7，当 PAPQ 时，那么 因此 解方程 ，12cosAP2cosQAP5203(7)35tt23得 2643t综上所述，t1 或 或 5 或 时，APQ 是等腰三角形 418263图 5 图 6 图 7考点伸展当 P 在 CA 上，QPQA 时，也可以用 来求解2cosAPQ例 5 2010年南通市中考第 27题如图 1，在矩形 ABCD 中，ABm （m 是大于 0 的常数） ， BC8，E 为线段 BC 上的动点（不与B、C 重合） 连结 DE，作 EFDE，EF 与射线 BA 交于点 F，设 CE
44、x ，BFy（1）求 y 关于 x 的函数关系式； （2）若 m8，求 x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？（3）若 ，要使DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？2图 1动感体验请打开几何画板文件名“10 南通 27”，拖动点 E 在 BC 上运动，观察 y 随 x 变化的函数图象，可以体验到，y 是 x 的二次函数，抛物线的开口向下对照图形和图象，可以看到，当 E 是 BC 的中点时，y 取得最大值双击按钮“m8 ”，拖动 E 到 BC 的中点，可以体验到，点 F 是 AB 的四等分点拖动点 A 可以改变 m 的值，再拖动图象中标签为 “y 随 x” 的点到射线 yx 上，从图形中可以看到，24此时DCEEBF思路点拨1证明DCEEBF，根据相似三角形的对应边成比例可以得到 y 关于 x 的函数关系式2第（2）题的本质是先代入，再配方求二次函数的最值3第（3）题头绪复杂，计算简单，分三段表达一段是说理，如果DEF 为等腰三角形，那么得到 xy；一段是计算，化简消去 m，得到关于 x 的一元二次方程，解出 x 的值；第三段是把前两段结合，代入求出对应的 m 的值满分解答(1)因为EDC 与FEB 都是 DEC 的
