1、四个非初等函数的图象和性质 舒云水 以函数 y= （x0） 、y=xx（x0） 、y= （x0） 、和 y= （x0）为背景1ln的高考试题多次出现本文给出这四个函数的图象和性质1. y= （x0）对函数 y= 求导：)1(ln)l()()()lnlnln xxeexyxx当 0x 时， 0，函数单调递减；当 x 时， 0，函数单调递增；当1yeyx= 时， =0，函数取最小值 e1y e1)(因为 0，所以函数 y= （x0）的图象下凸xx(ln2函数 y= （x0）的图象：图 1函数 y= （x0）的性质：定义域：（0，+） ； 值域： ，+） ； e1)(单调性：在区间（0， 是减函数，
2、在区间 ，+）是增函数；e1最值：当 x= 时，函数取最小值 ，无最大值；e1e)(凸凹性：下凸；周期性：非周期函数；奇偶性：非奇非偶函数2. y=xx（x0）函数 y=xx（x0）与函数 y= （x0） 有相同的单调区间= ， 0y1lny函数 y=xx（x0）的图象：图 2函数 y=xx（x0）的性质： 定义域：（0，+） ；值域： ，+） ； 图 2 e1单调性：在区间（0， 是减函数，在区间 ，+）是增函数；e1最值：当 x= 时，函数取最小值 ，无最大值；e凸凹性：下凸；周期性：非周期函数；奇偶性：非奇非偶函数3. y= （x0）1对函数 y= （x0）求导：= y 21ln1ln1
3、 )ln()()() xxe当 0xe 时， 0，函数单调递增；当 xe 时， 0，函数单调递减；当y yx=e 时， =0，函数取最大值 y e1x142ln3)ln(x令 0，求得 y3678.,5819.21有两个拐点：（0.5819，0.3944） ， （4.3678，1.4015）当 0x0.5819 时， 0，函数图象下凸；当y0.5819x4.3678 时， 0 ，函数图象上凸；当 x4.3678时， 0，函数图象下凸y函数 y= （x0）的图象：图 3 1函数 y= （x0）的性质： 定义域：（0，+） ； 图 3值域：（0， ； e1单调性：在区间（0，e 是增函数，在区间e
4、，+ ）是减函数；最值：当 x= e 时，函数取最大值 ，无最小值；e1凸凹性：有两个拐点（0.5819，0.3944） ， （4.3678，1.4015） ，在区间（0，0.5819）和（4.3678，+） ， 0，函数图象下凸；在区间（0.5819，4.3678） ，y0 ，函数图象上凸；y周期性：非周期函数；奇偶性：非奇非偶函数4. y= （x0） ln函数 y= （x0）与函数 y= （x0）有相同的单调区间l1= ， = y2ln1y4ln23由 =0，求得 x= 2e所以 y= 有一个拐点（ ） ，当 0x 时， 0，函数图象上凸；xln23,e23ey当 x 时， 0，函数图象下凸23ey函数 y= （x0）的图象：图 4 ln函数 y= （x0）的性质： 定义域：（0，+） ；值域：（-， ； e1单调性：在区间（0，e 是增函数，在区间 e，+）是减函数；最值：当 x= e 时，函数取最大值 ，无最小值；1凸凹性：有一个拐点（ ） ，在区间（o， ） ， 0 ，函数图象上凸；23,e23ey在区间（ ，+） ， 0，函数图象下凸；23ey周期性：非周期函数；奇偶性：非奇非偶函数
