1、教师 1 对 1 中小学课外辅导 用心教育 用心服务 第 1 页 共 14 页学生姓名： 年级：七年级 科目：数学 授课教师：贺琴 授课时间： 学生签字： 相交线知识点一、余角、补角注意：对个数有限制，对位置没有要求（1）若两角之和为 90，则这两个角互为余角 互为余角的有关性质：12 90，则1、2互余；反过来，若1 ，2互余，则1+290 ；同角或等角的余角相等，如果l十2 90 ，1+ 390，则23.（2）若两角之和为 180，则这两个角互为补角互为补角的有关性质： 若A+B180，则A 、B互补；反过来，若A 、B互补，则A+B180.同角或等角的补角相等.如果A+C 180 ，A+
2、B180，则BC.（3）同角的余角（补角）相等；1、如果一个角是 36，那么下列说法中正确的是（ ）A、它的余角是 64 B、它的补角是 64C、它的余角是 144 D、它的补角是 1442、如图，已知点 O 是直线 AB 上一点，COAB，EOD=90，那么图中互余的角有（ ）A、1 对 B、2 对 C、3 对 D、4 对3、如图，BOC=AOM=AON=90 ，则图中1 的余角有哪些？1 与3 有什么关系？3 的补角有哪些？B ACDEO 4321M NCABO教师 1 对 1 中小学课外辅导 用心教育 用心服务 第 2 页 共 14 页4、如图，已知AOC 和BOD 都是直角，BOC=5
3、1（1） 求AOB、DOC 和AOD 的度数（2） AOB 与DOC 有何大小关系？（3） 若BOC 的具体度数不确定，其他条件不变， （2）中的关系仍然成立吗？试说明理由知识点二、对顶角及其性质（1）认识对顶角对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线.1、图中， 是对顶角的为（ ）2、 1 2A B C D12 1 12 22、判断下列图中，1，2 是否是对顶角：3、判断下列图形中，有没有对顶角，若有，是哪两个角？1. 4 1 3 25 2. 1 4 8 7 2 3 5 6 9 12 10 1 3. 1 2 3 4 7 5 6DBCOA教师 1 对 1 中小学课外辅导 用心
4、教育 用心服务 第 3 页 共 14 页4. 1 2 5. 1 4 2 34、判断题，对的打“” ，错的打 “”。1、顶点相对的角是对顶角。 （ ）2、有公共顶点并且相等的两个角是对顶角。 （ ）3、两条直线相交，有公共顶点的角是对顶角。 （ ）4、两条直线相交，有公共顶点，没有公共边的两个角是对顶角。 （ ）（2）对顶角的性质：对顶角相等1、如图，直线 AB、CD、EF 都经过 O 点，并且已知 ，则ACOE3546，_， _， _， _。EOBBCDFFA A F C O DE B2、如图，三条直线 相交于点 O，则 （ ）ll123， ， 123A. B. C. D. 9008060 1
5、 O 3 2 l1 l2 l33、已知：直线 AD、BC 交于 O 点， ，求： 的度数。ABCD0COD A B O CD教师 1 对 1 中小学课外辅导 用心教育 用心服务 第 4 页 共 14 页4、已知：如图直线 AB 与 CD 交于 O 点， ，求： 的度数。31802 A 4 D 2 1C 3 BO5、如图，直线 AB，CD 相交于 O 点，AOC=2COB ，OE 平分DOB，则DOE= 度。6、已知：直线 AB、EF 相交于 O 点， 于 O 点， ，求CDABED1289AFBO、 C E A O B F D 7、如图，直线 AB，CD，EF 相交于 O 点，已知AOE=20
6、，DOB=52，OG 平分COF，求EOG 的度数。8、如图，直线 AB、CD、EF 交于点 O， 是它的余角的 2 倍， ，DBAOEDF2且有 ，求 的度数。OGAE A D E O F C G B 教师 1 对 1 中小学课外辅导 用心教育 用心服务 第 5 页 共 14 页（3）两两相交分类法求对顶角的对数1、三条直线相交于一点，所成的对顶角的对数是（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6分析:根据对顶角的定义可知，任意两条直线相交，可以得到 2 对对顶角，所以可以从两直线相交上分类寻找对顶角的对数。（1）直线 AB、CD 相交于点 O，得到AOC 与BOD、 BOC 与AOD 两
7、对对顶角。（2）直线 AB、EF 相交于点 O，得到AOE 与BOF、AOF 与EOB 两对对顶角。（3）直线 EF、CD 相交于点 O，得到EOC 与DOF、EOD 与COF 两对对顶角。综上可知，图中共有 236 对对顶角。点评：通过这道题，我们不难发现每组（两条相交直线）都存在 2 对对顶角，所以，三条直线交同一点，所构成的对顶角的对数为 236（对） 。推广： n 条直线相交于同一点，有（n-1）+（n-2）+3+2+1 组两两相交的直线，即 n（n-1）对对顶角。2、如图，图中共有 对对顶角。3、如图，直线 AB，CD，EF 相交，则图中共有 对对顶角。4、试探索当有 100 条直线
8、相交于一点时，可得到几对对顶角？5、如图，已知 B 点是DAE 的 AD 边上任意一点，过点 B 作直线 MN 交 AE 于C，交 AD 于 B，且1=2，则图中对顶角有 对，与1（不包括1）相等的角有 个。分别是： 。教师 1 对 1 中小学课外辅导 用心教育 用心服务 第 6 页 共 14 页两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：图形 顶点 边的关系 大小关系对顶角1 与2有公共顶点 1 的两边与2 的两边互为反向延长线对顶角相等即1= 2邻补角3 与4有公共顶点 3 与4 有一条边公共，另一边互为反向延长线。3+ 4=180注意：对顶角是成对出现的，对顶角
9、是具有特殊位置关系的两个角；如果 与 是对顶角，那么一定有=；反之如果= ，那么 与 不一定是对顶角如果 与 互为邻补角，则一定有+=180 ；反之如果+ =180，则 与 不一定是邻补角。两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。知识点三、垂线及其性质、画法（1）垂直的概念当两条直线相交所成的角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直.如图，AB 与 CD 相交于 O，当交角为 90时，称 AB 与 CD 垂直，记作 ABCD 于 O. 其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.1 24 3教师 1 对 1 中小学课外辅导 用心教育 用心服务 第 7
10、 页 共 14 页DACO B（2）垂直的性质垂线性质 1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 垂线性质 2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。1、指出下面各图中的垂直关系：(1) 如图 1，已知C=90 （2）如图 2，已知A=90,1 与2 互余 ACBDAC21B2、写出下面图形所有直角：(1) 1 与2 互余,ABCD. (2) OCAD。DAC21BDA COB（3）垂线的画法过直线上一点画已知直线的垂线；过直线外一点画已知直线的垂线。注意：画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长
11、线上。教师 1 对 1 中小学课外辅导 用心教育 用心服务 第 8 页 共 14 页1、如图，过一点 P 画出线段 AB 或射线 AB 的垂线.AP BAPBAPBAPB2、如图，画 ADBC 于 D，CEAB 于 E.ACB3、过 P 点，画出 OA、OB 的垂线或画出 AB、CD 的垂线。1. A PO B2. A O P B3. B A P C D4. A P B O（4）垂线段的概念及其性质从直线外一点到这条直线所引的直线中，点与垂足之间的线段叫做垂线段。直线外一点到这条直线的所有连线中，垂线段最短。教师 1 对 1 中小学课外辅导 用心教育 用心服务 第 9 页 共 14 页PA4
12、A3 A2 A1 O A5 A6 l（5）点到直线距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离.四、各概念之间的区别与联系垂线与垂线段区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度。联系：具有垂直于已知直线的共同特征。(垂直的性质)两点间距离与点到直线的距离 区别：两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间。 联系：都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离。线段与距离 距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同。1、 判断下列语句是否正确：（1）直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；（2）直线外一
13、点到这条直线的线段叫做点到直线的距离；（3）直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离；（4）直线外一点到这条直线的线段的长度叫做点到直线的距离。2、 判断下列语句是正确：（1）过一点画线段或射线的垂线，垂足不一定在线段或射线上；（2）作已知直线的垂线，有且只有一条.（3）直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离.（4）两条直线相交所成的四个角中，如果一对邻补角相等，那么这两条直线垂直.3、点到直线的距离是指这点到这条直线的（ ）教师 1 对 1 中小学课外辅导 用心教育 用心服务 第 10 页 共 14 页A. 垂线段 B. 垂线的长 C. 长度 D. 垂线段的长度4、直线外
14、_与直线上各点连接的所有线段中，垂线段_.5、定点 P 在直线外，动点 O 在直线 AB 上运动，当线段 PO 最短时，POA=_度.这时，点 P 到直线 AB 的距离是 线段_的长度.6、如图，ADBC 于点 D，DE AC 于点 E，DFAB 于点 F，小 明、小颖、小涵三人各抒己见，你认为哪个说法正确？小明说：B D、DC、AD 分别表示点 A 到 BC、点 D 到 AC、AB 的距离.小颖说：DA、DE、DF 分别表示点 A 到 BC、点 D 到 AC、AB 的距离.小涵说：DA、DE、DF 的长度分别表示点 A 到 BC，点 D 到 AC、AB 的距离.7、如图，CDAB，CD=DB
15、，DB=3，求：C 到 AB 的距离；ADC=？，BDC=？DACB8、 已知：ABCD 于 O 点，直线 EF 过 O 点，EOC=15，求BOF 的度数. 9、如图，直线 AB、CD、EF 相交于 O，且 ， .ABCD127则 _， _。2F教师 1 对 1 中小学课外辅导 用心教育 用心服务 第 11 页 共 14 页C E A 2 O B 1F D10、如图： 于 D， ，则 _ 。CB34 23A D B1411、已知：如图， 于 D， ，则 _， _，CB0FADE_。BDE C F 1 A D B E12、将一张长方形的白纸，按如图所示折叠， 使 D 到 D，E 到 E处，并且
16、 BD与 BE在同一条直线上，那么 AB 与 BC 的位置关系是_.13、如图，107 国道 a 上有一出口 M，现想在附近公路 b 旁建一个加油站，欲使通道长最短，应沿怎样的线路施工？14、如图，在河岸 l 的同侧有一村庄 A 和自来水厂 B。现要在河岸 l 上建立一抽水站 D，将河中的水输送到自来水厂后，再送往 A 村，为了节省资金，所铺设的水管应尽可能的短。教师 1 对 1 中小学课外辅导 用心教育 用心服务 第 12 页 共 14 页问抽水站 D 应建在何处，应沿怎样的路线来铺设水管 ? 在图中画出来 .15、如图，计划把池中的水引到 C 处，可过点 C 作 CD AB 于 D，然后沿
17、 CD 开渠，可使所开的渠道最短.这种设计的依据是_.16、汽车在直线形的公路上由 A 向 B 行驶，M、N 分别是位于公路 AB 两侧的两个学校。(1)汽车行驶时，会对公路两旁的学校都造成一定的影响，当汽车行驶到何处时，分别对两个学校影响最大？在图中标出来；(2)当汽车从 A 向 B 行驶时，在哪一段上对两个学校影响越来越大？越来越小？对 M学校影响逐渐减小而对 N 学校影响逐渐增大？【随堂练习】1、我们知道， “两点之间线段最短”， “直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂直段最短”.在此基础上，人们定义了点到点的距离、点到直线的距离，类似地，若点 P 是O 外一点(如图 5-40)，
18、则点 P 与 O 的距离应定义为( )A.线段 PO 的长度 B.线段 PA 的长度 C.线段 PB 的长度 D.线段 PC 的长度2、如图所示的长方体中，和平面 AC 垂直的棱有( )教师 1 对 1 中小学课外辅导 用心教育 用心服务 第 13 页 共 14 页A.2 条 B.4 条 C.6 条 D.8 条3、如图，已知直线 AD、BE 、CF 相交于 O，OGAD，且BOC=35，FOG=30，则DOE=_.4、如图， 与 有公共顶点，且 两边与 的两边互相垂直，= . 试求75， 的度数.5、如图，在ABC 中，ACBC，CDAB，则 AB、AC、CD 之间的大小关系是_(用 “”号连
19、接起来).6、直线 l 上有 A、B、C 三点，直线 l 外有点 P，若 PA=5 cm，PB=3 cm，PC=2 cm,那么点P 到直线 l 的距离_(用不等式表示).7、已知： ，则 的度数为（ ）OAOC， ： ：23BOCA. B. C. D. 不同于以上答案30150015或8、已知：如图， .求证： .B， D教师 1 对 1 中小学课外辅导 用心教育 用心服务 第 14 页 共 14 页B C D 2 31 O A证明： （ ）AOB（ ）9013（ ）2（ ）CD9、已知：如图，COD 是直线， 。求证：A 、O、B 三点在同一条直线上。13 A C 1 2 O 3D B证明： COD 是一条直线（ ）_（ ）12（ ）3_ _（ ）
