1、管理数量方法与分析,中英合作商务管理与金融管理证书考试系列教材,2,2,第二章 概率与概率分布,3,一、随机试验与随机事件,随机试验： 1.可以在相同的条件下重复进行； 2.试验的结果不止一个，但所有可能的结果在试验之前都知道； 3.每次试验之前，不知道这次试验出现哪个结果。,4,样本空间,1.随机试验中每个可能的结果,称为一个基本事件(或样本点)； 2.基本事件的全体所组成的集合称为样本空间(是必然事件)； 3.若干个样本点组成的集合(即样本空间的子集)，称为随机事件(简称事件)；（随机试验中可能发生也可能不发生的结果称为随机事件） 事件A发生A中一个样本点出现； 4.不含任何样本点的事件是
2、不可能事件。,5,样本空间,样本空间的表示方法：列举法, 描述法。 1，2，3，4,6,二、事件的关系和运算,1.并 AB：A发生或B发生（或A,B至少有一个发生）的事件,常记作A+B。 2.交 AB：A,B同时发生的事件，常记作AB。 3.差 AB：A发生，但B不发生的事件。,7,二、事件的关系和运算,4. 互斥事件：事件A，B中若有一个发生，另一个一定不发生(即AB=)，则称 事件A,B互斥，否则称A,B相容。 5. 对立事件：若事件A,B互斥,且AB是样本空间(即AB=，A+B=),则称 事件A,B对立(或互逆)。A的对立事件 记作A- ， 表示A-不发生 (AA- =, A+ A-=)
3、。,8,二、事件的关系和运算,例：A、B、C三个事件中，只有一个发生可以表示成：一个常用的等式：A-B=A-AB=AB-,9,运算律：,交换律：AB=BA, AB=BA； 结合律：(A+B)C=A(BC), (AB)C=A(BC)； 分配律：(A+B)C=AC+BC, (AB)C=(AC)(BC)；,10,【例题】,A与B为互斥事件，则A-B 为( ) A. AB B. B C. A D. A+B 【答案】C 【解析】可画事件图或根据A =A +AB,又AB=推出A =A,11,【例题】,设A、B为两个事件，则A-B表示( ) A.“A发生且B不发生” B.“A、B都不发生” C.“A、B都发
4、生” D.“A不发生或者B发生” 【答案】A,12,三、概率的定义,事件A发生的频率的稳定值称为A的概率，记作 P(A)(0P(A)1) 概率的性质：0P (A)1, P()=0, P()=1 【例题】设A、B为两个事件，P(A)=0.5，P(A-B)=0.2，则P(AB)为( ) A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8 【答案】B,13,四、古典概率,古典概率：若随机试验的样本空间只含有限个样本点,且每个样本点发生的可能性相同则： P(A)=,14,四、古典概率,排列：从n个不同元素中任取r个,按照一定的顺序排成一列, 称为从n个不同元素中任取r个的一个排列。 所有排列的个数, 称为
5、从n个不同元素中任取r个的排列数,记作：,15,四、古典概率,组合：从n个不同元素中任取r个,不管顺序合成一组, 称为从n个不同元素中任取r个的一个组合。 所有组合的个数, 称为从n个不同元素中任取r个的组合数,记作：,16,概率概念,例1： 一个袋子中有3只白球，2只黑球，求取得2只都是白球的概率。P47例2：P47,17,概率公式,1.互逆概率：对任意事件A， P( )=1- P(A)； 2.加法公式：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 可以推广到有限个事件的并的情形，如：P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) A、互斥，
6、则 P（AB）=0 ，P (A+B)=P(A)+ P(B)-P(AB) 3.减法公式：P (A-B)=P(A)-P(AB) 特别地, 当AB时, P(A-B)=P(A)-P(B)；,18,条件概率公式,条件概率公式：P(A|B)= P(AB) /P（B）0） 乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)，P(A)0；例2.4 2.5 P49,50,19,全概率公式,全概公式：设事件A1, A2, An两两互斥, A1+An,且P(A1)0, , P(An)0, 对任意事件B，有 ：P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(An)P(B|An)； 例：2.6 P50 利用全
7、概率公式可以通过综合分析一个事件发生的不同原因、情况或途径及其可能性来求得该事件发生的概率。,20,Bayes 公式 或称逆概率公式,在全概率公式和BAYES公式中，Ai是导致事件B发生的各种原因、情况或途径及其可能性，P（Ai）是各种原因发生的概率，称为先验概率，一般同经验给出。BAYES公式中的P(Ai|B)称为后验概率，它反映了事件B发生后各种原因Ai造成 可能性的大小。 例2.7 P52,21,【例题】一个班共有60名同学，至少有2名同学生日相同的概率为（一年按 365天计算）（ ）,【答案】D （互逆概率公式）可设A=所有同学生日均不相同，则利用古典概型概率计算方法：P至少有2名同学
8、生日相同=1-P(A）=,22,【例题】如果事件A的概率为 P（A）1/4，事件B的概率P（B）1/4 ，下列陈述中一定正确的是,B.,C.,D.,【答案】B 【解析】利用概率的加法公式因为,，,23,【例题】如果事件A发生的概率P（A）0.6 ，事件B发生的概率P（B）0.4 ，并且已知 ， ,则 P（A|B）（ C ）0.6 B 0.4 C 1 D 0,，,，所以AB=B，利用条件概率公式,24,【例题】一家公司下属3家工厂生产同一种产品，3家公司的次品率分别为0.01,0.02,0.015，而3家工厂的日产量分别为2000,1000,2000，则天地公司该产品的总次品率是（ ） A 0.
9、015 B 0.014 C 0.01 D 0.02,，,【答案】B 【解析】全概率公式。设 Ai=任取一产品为第i家公司产品，i=1,2,3B=产品为次品则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2) +P(A3)P(B|A3),25,事件的独立性,若A，B两事件中不论哪一个事件发生与否并不影响另一个事件发生的概率，则称两个事件相互独立。P(AB)=P(A)P(B) 若，独立，则P()（），（）（） 性质：若与独立，则 A-与B、A- 与B- 、A与 B-也独立。,，,26,五、随机变量及其分布,，,取值带有随机性，但取值具有概率规律的变量称为随机变量。可以分为：离散型随机变量
10、和连续型随机变量；一元随机变量和多元随机变量。,27,五、随机变量及其分布,，,离散型随机变量：取值可以逐个列出。分布律 P(xi)=pi, i=1,2,或,28,五、随机变量及其分布,，,【例题】离散型随机变量X的分布律为X 1 0 1 概率 a 则a等于（ ）A. 1/4 B.1/3 C.1/2 D. 1 【答案】C 【解析】考察离散型随机变量概率分布的性质。,29,数学期望,，,1.定义： EX=xipi (以概率为权数的加权平均数) ；2.性质： Ec = c (常数期望是本身) E(aX)= aEX (常数因子提出来) E(aX+b) =aEX+b (一项一项分开算),30,方差 P
11、64,，,1.定义：DX=E(X-EX)2=E(X2)-(EX)2；(方差=平方的期望-期望的平方）2.性质：Dc =0 (常数方差等于0）D(aX)=a2DX (常数因子平方提)D(aX+b)=a2DX (一项一项分开算),31,方差,，,32,方差,，,33,常用离散型随机变量：,，,34,连续型随机变量,，,取某个范围内的一切实数。X的密度函数f(x)： 1) 对任意实数x, f(x)0； 2) 对任意实数ab, P(aXb)是密度曲线y=f(x)下方, a,b 区间上方图形的面积。,35,连续型随机变量,，,36,连续型随机变量,，,设X是连续型随机变量： 1) 期望:EX=大量重复试
12、验结果的算术平均数的稳定值 (常记作)； 2) 方差：DX= E(X-EX)2= E(X2)-(EX)2 （方差平方的期望期望的平方）； 3) 标准差:方差的算术平方根。,37,常用连续型随机变量,，,38,正态分布随机变量,，,正态分布的密度曲线y=p(x)是一条关于直线x=的对称的钟形曲线，在x=处最高，两 侧迅速下降，无限接近x轴；越小(大)，曲线越尖(扁)。,39,正态分布随机变量,服从正态分布的随机变量的线性组合，仍服从正态分布。 如XN(,2),Y=aX+bN(a+b,a22)。【例题】如果X服从标准正态分布，已知 Px=1.96=0.025 则【答案】A,40,正态分布随机变量,
13、，,【例题】若随机变量X服从正态分布N（0,4），则随机变量Y=X-2的分布为（ ） AN(-2,4) B.N(2,4) C.N(0,2) D.N(-2,2) 【答案】A 【解析】Y依然服从正态分布,EY=EX-2=-2,DY=DX=4,41,二维随机变量,，,X,Y的协方差：cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)=E(XY)-(EX)(EY) X,Y的相关系数：rXY=,相关系数rXY反映X,Y之间的线性相关的程度。 rXY越接近1， 表明X,Y之间的正线性相关程度越强； rXY越接近-1，表明X,Y之间的负线性相关程度越强； rXY=0，X与Y不相关。,(-1rXY1),42,二维随机变量,，,【例题】若两个随机变量X与Y的简单相关系数r=0，则表明这两个变量之间（ ） A存在非线性相关关系 B。相关关系很低 C不存在线性相关关系 D。不存在任何关系 【答案】C 【解析】rXY=0，X与Y不相关，即不线性相关。 随机变量的线性组合的期望与方差：1. E(aX+bY)=aEX+bEY 2. D(aX+bY)=a2DX+2abcov(X,Y)+b2DYX与Y相互独立时，cov(X,Y)=0，D(aX+bY)=a2DX+b2DY,
