1、高中数学竞赛及教学研究,主讲人： 傅海伦 教授/博导(山东师范大学数学科学学院) 0531-86188498 13065002025 2012年03月24日,数学竞赛系列讲座,内容提要：,一、开展高中数学竞赛的意义 二、山东省高中生数学竞赛的途径和渠道 三、2012年高中数学竞赛考试范围 四、数学竞赛的教学问题 五、研究赛题，掌握数学奥林匹克技巧 六、注意几种数学竞赛题的方法,一、开展高中数学竞赛的意义,（1）符合素质教育的要求。数学竞赛能配合素质教育，发现和发展学生的特长，有利于数学特长生培养，选拔和培养智力超常和有数学天赋的青少年。 （2）搞数学竞赛，不仅可以拓宽学生的数学知识，提高学生学
2、习数学的兴趣，并能极大地激发一个人的潜能。 （3）高等学校喜爱数学竞赛获奖的学生，便于学生进一步深造，造就一批优秀的数学人才。 （4）作为一项赛事，同时还可以提高数学教师自身的业务素质和综合数学能力。,（5）特殊照顾政策。按现在的政策：2009级、2010级同学参加27届、28届冬令营可以保送，省一等奖也可以保送。2011级同学参加27届冬令营只有加20分而无保送资格。 到2014年冬令营（第29届东令营），即2011年以后入学的同学，只有进入国家集训队才有保送资格（一般是冬令营金牌、少部分高分银牌）。 高校自主招生的录取率要看大学的招生政策。,山东省2012年普通高考照顾政策,（四）高级中等
3、教育阶段获得下列奖项且同时符合保送生资格的应届高中毕业生，如未被保送录取参加高考录取时在其统考成绩总分的基础上增加20分投档，由学校审查决定是否录取。 1全国中学生学科奥林匹克竞赛省赛区（竞赛范围以教育部2009年普通高等学校招收保送生办法中公布的竞赛名称为准）一等奖以及全国决赛一、二、三等奖获得者；,2全国青少年科技创新大赛（含全国青少年生物和环境科学实践活动）或“明天小小科学家”奖励活动或全国中小学电脑制作活动一、二等奖获得者； 3在国际科学与工程大奖赛或国际环境科研项目奥林匹克竞赛中获奖者。,二、山东省高中生数学竞赛的途径和渠道,1、山东省高中数学竞赛暑期培训暨高中数学夏令营 由山东数学
4、会、山东省数学竞赛委员会组织。 每年举办，期间举行数学竞赛，并按竞赛成绩选拔出部分优秀选手(参加培训营员的40%左右)可直接参加本年度全国数学联赛。 参考对象：山东省各普通高中的数学竞赛优秀选手，为确保质量，每年限额500人左右。,临沂一中连续三年协办（2009年、2010 年、2011年） 山东省2011年高中数学竞赛培训暨高中数学夏令营 。 时间：每年的7月份中下旬。,2、全国高中数学联赛,“全国高中数学联赛”是教育部批准，由中国科协主管，中国数学会主办的一项针对高中学生的传统竞争活动，创办于1981年。,（1）联赛宗旨：,全国高中数学联赛宗旨是：在选拔在数学方面有突出特长的同学，让他们进
5、入全国知名高等学府，而且选拔成绩比较优异的同学进入更高级别的竞赛，直至国际数学奥林匹克（IMO）。并且通过竞赛的方式，培养中学生对于数学的兴趣，让学生们爱好数学，学习数学，激发学生们的钻研精神，独立思考精神以及创新精神。,（2）政策：,为了促进拔尖人才的尽快成长，教育部规定：在高中阶段获得全国数学联赛省、市、自治区赛区一等奖者便获得保送重点大学的资格。 对于没有保送者，在高考中加分，加分情况根据各省市政策而定，有些省、市、自治区保留了竞赛获奖者高考加5分到20分不等。,依据考试结果评选出各省级赛区级一、二、三等奖。 其中一等奖由各省负责阅卷评分，然后将一等奖的考卷寄送到主办方（中国数学会），由
6、主办方复评，最终由主管单位（中国科协）负责最终的评定并公布。二、三等奖由各个省自己决定。 为严格标准，中国数学会每年限定一等奖名额1000名左右，并划分到各省、市、自治区。 对二、三等奖获得者，各省、市、自治区又出台了不同的政策，其中包括自主招生资格等优惠录取政策。,根据复赛成绩，各省、市、自治区赛区一等奖排名靠前的同学可参加冬令营，冬令营复赛中就评出省级一等奖，每个省有40个左右，冬令营的人数一般每省最多5名，组成中国数学奥林匹克（CMO）。 冬令营考的是国家级，一等奖有30个左右，选取其中前25人左右组成集训队，经过几个月的培训，选出6名国家队队员，在夏天去参加IMO（国际数学奥林匹克竞赛
7、）。,（3）对2012年第53届IMO中国国家集训队的分析,2012年中国数学奥林匹克国家集训队由56人组成（不包括特批队员），其中男选手55人，女选手1人，可见男生在这一领域的绝对优势。56人中，高三选手45人，高二选手11人（入选本届冬令营的4位高一和1位初三选手未能入选）。 由此可见：要进入国家集训队这一层面，大量的训练和相当的积累是前提，更重要的是高三、高二选手在心理成熟度和解题技巧上有着较为明显的优势。,以下是这56位集训队队员的省市分布情况： 湖北8人、上海8人、北京5人、广东5人、湖南5人、江苏4人、辽宁4人、四川3人、浙江3人、河北2人、江西2人、天津2人、福建1人、河南1人、
8、吉林1人、山西1人、陕西1人。,可以看出：湖北、上海、北京、广东、湖南位居前列，充分显示出它们无愧为“竞赛数学大省”的称号，同时也体现出他们在人才培养，日常的训练、组织和选拔等方面的强大实力，尤其是他们拥有国内第一流的教练员队伍。,更值得一提的是，广东队凭借三剑客的出色发挥，一举夺得本届CMO团体第一，捧走陈省身杯。 我们大胆预测：在未来的6位国家队队员中，来自这几个大省的将占据一半以上的名额。另外，江苏、辽宁、四川和浙江的实力也不可小觑，他们也将是国家队名额有力的争夺者。,在这里要提的是吉林队，今年他们没能正常发挥，入选集训队人数偏少，其余省市皆在正常范围内。,由于2011年CMO试题的难度
9、较前二年有所下降，故一等奖的分数线有了一定的提高，且满分人数有6人之多，他们都是高三的选手，这从另一角度也证明了：在CMO这一层面上更需要的是选手的实力和成熟度。 IMO试题是每题7分，共6题，总分42分。每题7个得分点，每个得分点为1分。 而CMO是IMO得分的3倍，每题为21分，总分126分，自然每个得分点为3分，所以选手的得分一定是3的倍数,上海入选的8名集训队队员中有4位是来自上海中学，该校也是目前我国唯一一所连续4年有学生获IMO金牌（其中有二个满分）的中学，可见该校实力的强大。 该校主要由冯志刚（上海中学副校长、上海市数学特级教师、中国数学奥林匹克委员会委员，中国数学奥林匹克国家队
10、副领队）亲自挂帅，进行日常的训练。,本届冬令营成员中唯一一位来自上海的初三选手窦泽皓，本次CMO成绩为93分，获银奖，并列二等奖第一名，尽管有些遗憾（未能进入集训队），但作为一名初三的选手，能在如此高水平的大赛中，获得一枚含金量极高的银牌，已实属不易。 2012年3月12日27日中国数学会在江西南昌大学附中进行多轮的、更加激烈的国家队选拔。,（4）联赛试题模式（2010年起实施）,自2010年起，全国高中数学联赛试题新规则如下： 联赛分为一试、加试（即俗称的“二试”）。各个省份自己组织的“初赛”、“初试”、“复赛”等等，都不是正式的全国联赛名称及程序。 由全国高中数学竞赛组委会统一命题。 一试
11、和加试均在每年10月中旬的第一个周日举行。,一试 ：命题以高中数学教学大纲为准。 考试时间为上午8：009：20，共80分钟。试题分填空题和解答题两部分，满分120分。其中填空题8道，每题8分；解答题3道，分别为16分、20分、20分。 （2009年的旧规则和2008年之前的旧规则略去。）,加试（二试）：命题以高中数学竞赛大纲为准 考试时间为9：4012：10，共150分钟。试题为四道解答题，前两道每题40分，后两道每题50分，满分180分。试题内容涵盖平面几何、代数、数论、组合数学等。 （2009年的旧规则和2008年之前的旧规则略去。）,三、2012年高中数学竞赛考试范围,一试： 全国高中
12、数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学数学教学大纲中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考。,1、平面几何基本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。 补充要求：面积和面积方法。 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理（过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。此线常称为西姆松线） 。 几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点（费马点）。到三角形三顶点距离的平方和最小的点（重心）。三角形内到三边距离之积最大的点（重心）。,几何不等式。 简单的等周问题。了解下述定理： 在
13、周长一定的n边形的集合中，正n边形的面积最大。 在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。 在面积一定的n边形的集合中，正n边形的周长最小。 在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。 几何中的运动：反射、平移、旋转。 复数方法、向量方法。 平面凸集、凸包及应用。,2、代数 在一试大纲的基础上另外要求的内容： 周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。 三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。 第二数学归纳法：设有一个与自然数n有关的命题，如果： （1）当n1时，命题成立；（2）假设当nk时命题成立，由此可推得当nk+1时，命题也成立。 那么，命题对于一切自然数n来说都成立。可以
14、证明第二数学归纳法和第一数学归纳法是等价的，。 递归，一阶、二阶递归，特征方程法。,函数迭代，求n次迭代，简单的函数方程。 n个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。 复数的指数形式，欧拉公式，棣莫佛定理，单位根，单位根的应用。 圆排列（从n个不同元素中不重复地取出m（1mn）个元素在一个圆周上，叫做这n个不同元素的圆排列。如果一个m-圆排列旋转可以得到另一个m-圆排列，则认为这两个圆排列相同），有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。,一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。 简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧
15、几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。,3、立体几何,多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。 正多面体，欧拉定理。 体积证法。 截面，会作截面、表面展开图。,4、平面解析几何,直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。 二元一次不等式表示的区域。 三角形的面积公式。 圆锥曲线的切线和法线。 圆的幂和根轴。,5、其它,抽屉原理。 容斥原理。 极端原理。 集合的划分。 覆盖。 梅涅劳斯定理托勒密定理西姆松线的存在性及性质。赛瓦定理及其逆定理。,四、数学竞赛的教学问题,1、明确竞赛的目的 作为一种数学教育活动的数学竞赛，对于推进教学
16、改革和提高教学质量，有着多方面的重要意义，发挥数学课堂教学难以取代的作用。 当前，特别是不把取得好的竞赛结果作为唯一目的，而应在学习的过程中培养学生的能力，训练学生的数学方法和思维习惯。 要帮助学生养成良好的数学思维习惯，掌握正确的数学学习方法，促使中学与大学数学教学更好地衔接。,2、坚持竞赛的教学原则,（1）普及与提高相辅相成 高中数学竞赛大纲（修订稿）规定：在“普及的基础上不断提高”。在此方针指引下，全国数学竞赛活动方兴未艾，特别是连续几年我国选手在国际数学奥林匹克中取得了可喜的成绩，使广大中小学师生和数学工作者为之振奋，热忱不断高涨，数学竞赛活动进入了一个新的阶段。,教学的重点：1）激发
17、学生的求知欲望，提高学生的数学学习兴趣。2）促进思维能力的发展，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力。 3）培养良好的思维品质、思维习惯和探索精神，有利于发挥学生的创造才能。,（2）课内与课外相得益彰 课堂教学是课外活动的基础，课外培优是课堂学习的延伸和补充。 高中数学竞赛大纲（修订稿）规定：对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能 。 教学的重点应放在巩固和扩大学生在课内所学的知识，拓宽解题思路，增强学生解题的能力和运用数学
18、知识解决实际问题的能力。,3、重视对学生的选拔,选拔优秀的学生要具备三个素质: 聪明或天赋是成功的基础； 勤奋与坚持通向成功的必经之路； 良好的心理素质与思维习惯成功的保障。 但这并学生非与生俱来的，要在教学及学生的学习过程中逐渐培养，因此要想学生在竞赛中取得优异成绩，除了要有坚实的基础知识和很强的逻辑思维能力外，还必须培养学生良好的心理素质。,（1）早动手，选好苗 “选苗要准，要早”，这是竞赛出成绩的必由之路。 从初一到高三全面展开数学课外活动，形如“金字塔”式的选尖培优。（2）推荐与选拔相结合,“尖子生”，一般每科均“尖”，科与科间竞争也较激烈，虽提倡合作，却也不讳谈竞争 。 初中年级的教
19、师负责把尖子生推荐给高一年级，再根据平时的观察，可进行两到三次选拔性测试，命题形式参考当年的全国联赛题。,（3）引导学生树立正确的竞赛观,1）树立竞争意识。要使学生正确对待考试的分数与名次，树立在竞争中求发展和提高的思想。 2）树立“以我为主”的观念。要引导学生对自己的优势和劣势作自我评价取长补短，发展自我。同时，以激励为主，注重兴趣激发。 3）正确对待失败与挫折。要使学生对学业上的成功与失败有全面的认识，有竞争也就有失败，帮助学生分析成功与失败的原因找到问题。减轻失败的压力。 因此，搞竞赛，心理辅导要跟进。,4 合理安排，团结协作,每年级设有备课组长，由备课组长安排辅导，学科组长从中协调，一
20、般按章节进行，每位教师负责其中最“拿手”的一章，团结协作，各展所长，各显其能。 固定活动时间和地点。由学科组和年级备课组长商议好，级组协助，再报教导处，每周可安排一个晚上，约三个课时，保证不受干扰，长期坚持。,5、加强对竞赛内容的系统培训,培训一般可分： 基础训练阶段 专题训练阶段 强化综合训练阶段 实用性阶段(模拟考试) 以上四个阶段，培训强调的重点不同。,基础训练阶段,这一阶段的教学任务是通过常规教学与课外活动相结合，比较系统地传授竞赛数学与数学竞赛的知识、问题和方法，使学生水平达到全国高中联赛一试的要求，这些在平时的课堂教学中穿插进行。 重视课本及其中问题的延伸。其实课本的东西对于整个高
21、中内容来说算不了什么，不过一定要学好，因为基础对于整个高中竞赛来说非常重要，比如三角变形，如果要真成为一个好的MO一员，你要练到光用眼看就能看到3、4步之后是什么。,坚持训练内容与教学内容同步。既不脱离教材，又不是教材的重复，做到高考、竞赛两不误，充分注意到学生的年龄特征、知识结构和心理思维发展水平，以激发兴趣、拓广知识、培养能力为目标。 在高一辅导时，一般可同步选讲以下内容： 集合论、初等数论基础知识及其应用； 逻辑推理、杂题求解方法与技巧； 立体几何解题策略，立体几何的建系法。 函数性质及其应用； 三角函数变换与三角方程。 高一初步接触数学竞赛书。,高二，同步辅导的专题可列为： 几个重要的
22、不等式及其应用； 最值问题的求解，求导要极其精熟。 数列综合题的解答； 数学归纳法的应用； 观察、归纳、猜想、证明；, 周期数列与递归数列； 圆锥曲线的定义、性质及应用； 解析几何的最值及求法； 复数问题选讲； 排列组合问题求解方法。,高二可以系统钻研竞赛书了，要选几本竞赛书作为辅助，并比较。平时要建立一个本子，记下好题及好的心得（这工作可以高一就开始）。 一定得坚持做，还要出去取经。,高三了，估计开学1个月以后，就要准备联赛了，这之前每天用模拟题练手，顺便回顾，这时候高二的本本就起大作用了。这时候不要太拼命，积攒精力，保持好睡眠，天天开心。,专题训练阶段:,这一阶段的主要任务是根据竞赛大纲的
23、要求进行专题讲座，深化第一试的培训，并使学生的数学知识达到全国高中联赛的要求。 例如组合数学部分就可以安排以下专题：组合计数的基本方法、组合数学中存在性问题的证明方法，组合最大(小值问题，染色问题的解题方法，组合数学中的操作变换等等。 另外，这一阶段除了一些数学知识的专题讲座外，还应进行一些数学思想方法的专题讲座。,专题辅导注重方法，做好：练讲测评,其方式为“布置任务学生自学教师精讲学生再练习测试师生评讲”。 课前先布置练习，集中进行精讲，也可由学生讲，教师补充、总结、引导，然后再布置一定的课后练习，为下一课作准备，同时按知识块命题进行测试，以利巩固提高。,强化训练阶段,这一阶段的主要任务是给
24、一些在全国高中联赛有希望取得较好成绩的学生和可能进人“冬令营”的优秀学生以上层次的学生的强化训练。这一阶段的训练由四个部分组成： （1）高中联赛加试题的训练； （2）(冬令营)营前的训练； （3）营后的训练； （4）进行重点与难点的针对性训练。这一阶段实质是给学生进行解难题的训练。,突出以下几类问题：函数与不等式； 复数与数列； 三角函数与三角变换； 立体几何问题选讲； 解析几何问题选讲； 组合计数； 最值问题的求解； 解竞赛题的技巧。,实用性阶段(模拟考试),每到全国联赛前一个月，由科组长安排，动员全组力量，主要是高三教师及负责数学竞赛的教师，集中进行赛前集训。 （1）出套高质量模拟试题，让
25、学生按照各级竞赛的要求在规定的时间内进行模拟考试。要注意赛题的特点，选择的例题要有“典型性、综合性、灵活性、针对性”。 从近几年的试卷来看，试题的风格、难度、考点都较为稳定。考试之前，将往年的真题吃透是非常有益的。,（2）重视讲评和批改及时对学生的解答进行认真的讲评和批改.以便发现问题，找出各个学生的薄弱环节查漏补缺。（3）讨论师生共同对问题的解答进行讨论，比较各种解题的规律和思维特征，并将获取的信息作为下一步选题的依据。 这样做的目的有两个: 一是可以增强学生临场考试的经验。 二是可以发现学生知识和思想方法的缺陷，及时弥补。,五、研究赛题，掌握数学奥林匹克技巧,1、对教师的要求 （1）熟悉竞
26、赛规则，适应竞赛的新要求。 例如，高中数学竞赛大纲（修订稿） 中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的最低要求。在竞赛中对同样的知识内容的理解程度与灵活运用能力，特别是方法与技巧掌握的熟练程度，有更高的要求。 （2）通晓竞赛内容，抓住知识主干和层次水平。,（3）教师要注意对历年赛题的反复研究，争取给出有别于标准答案的更好解决方法，并注意研究有关竞赛的教研信息。 （4）不断总结和积累重要的数学竞赛思想方法，使学生能够灵活运用。 高中数学联赛用到的技巧，即所谓的数学奥林匹克技巧，它们是：构造、映射、递推、分类、染色、极端、对称、配对、特殊化、一般化、数字化、有序化、不变量、整体处理、变换还原、逐步
27、调整、奇偶分析、优化假设、辅助图表等等，各技巧再配以赛题为例，且要求学生熟练掌握。这是辅导学生最真实、最富启发性的材料，颇有实效。,（5）研究自主招生的命题规律 例如，“北约”试题。“北约”联盟院校包括北大、北航、北师大、厦大、山东大学、武汉大学、华中科大、中山大学、川大、兰州大学、港大等11所高校。 “北约”试题习惯的风格，即题目描述简单，如果想到了，解答就三四行的事情。但整体而言，向高考偏转的风向已经形成。“北约”的试题一向讲究“顿悟”，一般情况下并不强调非常繁杂的计算，一旦抓住问题的本质，往往就能顺利解答。再一个就是注重数形结合。,今年“北约”仍然由北大出题，但是阅卷权移交给了考试院。根
28、据考试院的要求，今年的试题形式上有了一些变化出现了选择题。但“北约”试题的一贯风格并无本质改变。 选择题难度不高，3个代数，分别涉及到数列，函数，方程，另3个分别为解析几何，平面几何（跟三角相关）和组合问题，大体上利用直观思想就可以解决。,对数学名题的改造，成为竞赛题： 如费马猜想问题：“当n是一个大于2的正数时，不定方程xn + yn = zn没有正整数解。” 改为：证明若x+y为质数，则对奇数n，xn+yn=zn不可能有整数解。,勾股定理的一般化推广： 证明：当n大于2时，任意直角三角形的斜边长的n次幂在于两直角边的n次幂的和。 著名的欧拉伯努利错放信笺问题。 改造为：某人给6个不同的收信
29、人写了6封信，并且准备了6个写有收信人地址的信封，有多少种投放信笺的方法，使每封信与信封上的收信人都不相符？,斐波那契数列： （2007年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷）第17题： 已知斐波那契数列Fn满足：F1=1，F2=1，Fn+2=Fn+1+Fn（nN*），若数列Fn+1+Fn是等比数列（为实常数） （1）求出所有的值，并求数列Fn的通项公式； （2）求证：,三角形的三边关系定理和Fibonacci数列的一个联系 ： 2010年竞赛题：用三根小木棒能够搭建成一个三角形的条件是：任意两边之和都要大于第三边。这里有一根长度为144cm的木棒，将其截成n（n2）段，每段长度均不小于1cm，
30、那么这n小段木棒任意三段都不能搭建成三角形时，求n的最大值。,思路：使用狭义斐波那契数列的前10项，将第10项添上1即可。 分析：不构成三角形的条件就是任意两边之和不超过最大边。截成的铁丝最小为1，因此可以放2个1，第三条线段就是2(为了使得n最大，因此要使剩下来的铁丝尽可能长，因此每一条线段总是前面的相邻2段之和)，依次为：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55，以上各数之和为143，与144相差1，因此可以取最后一段为56，这时n达到最大为10。,这里，“每段的长度不小于1”这个条件起了控制全局的作用，正是这个最小数1产生了Fibonacci数列，如果把1换成其他数，递推关系保留了
31、，但这个数列消失了。 在2005年10月举行的全国数学联赛（江苏卷）中，有关于Fibonacci数列改造后的证明题。,改编为排列组合问题： 有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法? 这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法 1，2，3，5，8，13所以，登上十级，有89种走法。,再如，抽屉原理的应用： 从1947年匈牙利的IMO试题： 世界上任何6人，总有3人相互认识或相互不认识。 升级为： 世界上10人中，总有4人相互不认识，或3人相互认识。 再到： 17位数
32、学家通信问题。,在各种竞赛题中，往往抽屉原则考得不少，但一般不会很明显的让人看出来，构造抽屉才是抽屉原则中最难的东西。一般来说，题目中一旦出现了“总有”“至少有”“总存在”之类的词，就暗示着我们：要构造抽屉了。 （5）必要的外出学习与充电，开展专家辅导讲座。,重要的参考书目：,专题突破阶段： 1.抽屉原则及其他常庚哲 2.谈谈怎样学好数学苏步青 3.函数方程田增伦 4.几何不等式单 壿 5.一百个数学问题 波兰史坦因豪斯 6.又一百个数学问题波兰史坦因豪斯 7.从单位根谈起蒋 声 8.从2谈起张景中 9.从正五边形谈起严镇军 10.矩阵对策初步张盛开,11.趣味的图论问题单 壿 12.母函数史
33、济怀 13.射影几何趣谈冯克勤 14.数学万花镜波史坦因豪斯著 裘光明译 15.递归数列陈家声 徐惠芳 16.从平面到空间蒋 声 17.平面向量和空间向量吕学礼 18.几何变换蒋 声 19.一些不像“几何”的几何学沈信耀 20.复合推理与真值表戴月仙 21.数学归纳法华罗庚 22.凸图形吴立生 庄亚栋,23.三角恒等式及应用张运筹 24.三角不等式及应用张运筹 25.抽屉原则及其他常庚哲 26.初等极值问题程 龙 27.图论中的几个极值问题管梅谷 28.趣味的图论问题单 樽 29.矩阵对策初步张盛开 30.从单位根谈起蒋 声 31.形形色色的曲线蒋 声 32.反射和反演严镇军 33.极坐标与三
34、角函数陈福泰,34.反证法孙玉清 35.棋盘上的数学单 樽 程 龙 36.谈谈数学中的无限谷超豪 37.模糊数学刘应明 任 平38. 覆盖（单墫）39.基础数论典型题解300例（王元等） 40. 趣味的图论问题（单墫） 41.怎样列方程解应用题赵宪初 42.面积关系帮你解题张景中 43. 圆和二次方程马 明 44.几何作图不能问题邱贤忠 沈宗华 45.从勾股定理谈起盛立人 严镇军 46.不等式张 弛,47.不等式的证明吴承鄫 李绍宗 48.奇数和偶数常庚哲 苏 淳 45.数学探奇(西班牙)米盖尔.德.古斯曼著 周克希译 46.三角形趣谈杨世明 47.思维的技巧吴宣文 48.魔方朱兆毅 沈庆海著
35、 49.集合及其子集（单墫） 50.几何变换与几何证题（萧政纲） 51.近代欧氏几何学（R.A.Johnson） 52.平面几何中的小花（单墫）,复习阶段（综合，针对思想方法）： *从特殊性看问题（苏淳） * 组合恒等式（史济怀） * 解析几何的技巧（单墫） *构造法解题（余红兵 严镇军） *漫话数学归纳法（苏淳） *组合几何（单墫） *函数方程（张伟年, 杨地莲, 邓圣福） *怎样证明三角恒等式（克西） *柯西不等式与排序不等式（南山）,注重中小学常见的数学模型,握手问题 通信问题 机器零件供应站点的设置问题 最优化问题 密码问题 费马点问题 火车站不同站点上车的问题 用料最省的问题,六、注
36、意几种数学竞赛题的方法,1、类比方法 （1）从线段与角的类比： 设P1（x1,y1）、P2(x2,y2)，如果点P(x,y)分线段P1P2之比为 ，则由定比分点公式可得P点的坐标为： 角的定比分点坐标公式：XOA= XOB=，若记= AOP/ POB 则，,例1（1）已知梯形上、下两底面边的长分别是a，b，夹在两腰之间且平行于底边的线段到上、下两底边的距离之比为m：n，求此线段的长。,（2）已知台体上、下两底面的面积分别是P，Q，平行于底面的截面到上、下两底的距离比为m：n，则此截面面积。,2、代数几何化方法 例2：对某些有序实数对（a，b）方程组至少有一个解，且每一个解均是有序整数对（x，y
37、）试问这样的有序数对（a，b）有多少个？,分析：方程的整数解为x=1、y=7或x=5、y=5或x=7、y=1，组合后共12组。这样的有序数对有C+C=78个，但直线方程的解不能过（0，0），因此故符合题意的有序数对（a，b）有78-6=72个。,3、几何概型,4、注意模式识别,模式“1” 求和：求解形如 sin+sin2+sinn 或 cos+cos2+cosn（其中n是自然数）的值， 都可以利用构造思想,利用复数求解.如果联系到棣美弗定理和共轭复数性质求解。,例3 已知a，a，a均为正数，且a1a2an= 1，求证： 设M =，构造M的辅助对偶式：N = ， MN = MN =,例4 设a0
38、，b0，ab = 1，求证： 证明：设A =，构造A的辅助对偶式：B = ， 则有A2A2B2= 4(ab)4 = 8， A ,例5：已知若x，y，zR+， xyz（x+y+z）=1，求表达式（x+y）（y+z）的值。（前苏数学竞赛，1989年）设三角形ABC的内切圆切BC，AC，AB于D，E，F AE=AFx BF=BDy CD=CEz x+zACb x+yABc y+zBCa a+b+c=2p,由海伦公式 ：SABC2=p(p-a)(p-b)(p-c) =(x+y+z)xyz=1(x+y)(x+z)bc=2 SABC/sinA=2/sinA=2,例6 设nN且n1,证明：(1+ )(1+
39、).(1+ )令左边为p由奇数的对偶数为偶数，可构造一个p的对偶式q=(1+ )(1+ )(1+ ) , 因为pq0，所以p2pq,例7 求函数 的最值 令,例8 若a，b，c，x，y,zR+且a+x=b+y=c+z=k,例9 证明不等式，若x，y，zR+， 求证：,例10 设a，b，cR+，且abc（xR+），先证单调性。,注意模式识别,例11 在 这四个函数中，当 时，使恒成立的函数的个数是（ ）分析：在凸函数的代数定义中，只有 在（0，1）上是严格上凸的。,注意模式识别,琴生不等式 如果函数f(x)在区间D上是上凸函数，则对于区间内的任意 有，当且仅当 时， 等号成立。,例12 证明以下
40、等式（1）若a、b、c为正实数，求证：（2）在ABC中，求证：（3）设 ，证明：,注意模式识别,本例是几个典型的构造凸函数证明不等式的问题，解决这一类问题的关键是要构造合理的凸函数。 证明：（1）考查函数 ，其二阶导数 ，故其为下凸函数。由下凸函数的琴生不等式得 即,注意模式识别,而函数 单调递增，故 而 ，两式联立即得。,注意模式识别,（2）证明：考查正弦函数 ，在（0，）上为凸函数，由上凸函数的琴生不等式得 即,（3）证明：考查函数 ，其二阶导数 ，故其为下凸函数，所以,注意模式识别,例13 解方程：3x+4 x +5 x =6 x. 【解】 方程可化为 =1。设f(x)= , 则f(x)在(-,+)上是减函数，因为f(3)=1，所以方程只有一个解x=3.,例如：差分法的应用 与n有关的命题 12+22+32+ +n2 例14 求证：7|(62n-1+1),4、选择最优解法,谢谢！ 祝领导、老师们身体健康！工作顺利!,
