1、主题 1 双曲线的定义与名词介绍,例题 1 双曲线的定义,如右图，在方格纸中有两组同心圆，圆心分别 为 F1 与 F2，若 P 点在以 F1，F2 为焦点的双曲 在线，试问 A，B，C，D，E 五点中，哪些点 亦在此双曲线上？, 2， 3 而 ， ， ， 故 P，C，D 三点位于同一双曲线上,例题 2 （焦点到中心距离)2（半贯轴长)2（半共轭轴长)2,已知一双曲线的贯轴长为 6，两焦点的距离为 10，试求此双曲线的共轭轴长。,由题意知 2a6，2c10，所以 a3，c5 因此 b 故共轭轴长 2b8,主题 2 双曲线的标准式,(1) 已知一双曲线的两焦点为（2 , 0）与（2 , 0），贯轴
2、长为 2，试求此双曲线的标准式。,例题 3 双曲线的标准式（中心在原点）,(1) 如右图所示因为焦点为（2 , 0），（2 , 0）所以中心为原点，贯轴在 x 轴上且方程式形如又 c2，贯轴长 2a2，所以 a1而 b2c2a222123得双曲线方程式为,(2) 如右图所示因为焦点为（0 , 2），（0 , 2）所以中心为原点，贯轴在 y 轴上且方程式形如又 c2，贯轴长 2a2，所以 a1而 b2c2a2 22 123得双曲线方程式为,例题 3 双曲线的标准式（中心在原点）,(2) 已知一双曲线的两焦点为（0 , 2）与（0 , 2），贯轴长为 2，试求此双曲线的标准式。,(1) 将方程式
3、4x216y264 改写成 与标准式比较，得知此双曲线的中心在原点 O（0 , 0）如右图所示，两焦点在 x 轴上且 a4，b2c所以贯轴长 2a8，共轭轴长 2b4焦点为（ , 0）与（ , 0）顶点为（4 , 0）与（4 , 0）,例题 4 双曲线的各要素,(1) 已知一双曲线的方程式为 4x216y264，试求其贯轴长、共轭轴长、中心、焦点及顶点坐标。,(2) 将方程式 16x29y2144 改写成与标准式比较，得知此双曲线的中心在原点 O（0 , 0）如右图所示，两焦点在 y 轴上，且 a4，b3，c所以贯轴长 2a8，共轭轴长 2b6焦点为（0 , 5）与（0 , 5）顶点为（0 ,
4、 4）与（0 , 4）,例题 4 双曲线的各要素,(2) 已知一双曲线的方程式为 16x29y2144，试求其贯轴长、共轭轴长、中心、焦点及顶点坐标。,例题 5 双曲线的应用,核电厂的冷却塔很多都是双曲面型的。右图是某冷却塔 的截面图，颈部 4 是双曲线的贯轴长。出风口直径8，入风口直径 28，已知 ， ， 互相 平行，且 与 的距离为 24，试求 与 的距离。,将此冷却塔的截面图坐标化 设双曲线的中心为 O（0 , 0），贯轴在 x 轴上 2a4 a2 可假设此双曲线的方程式为 ，即 又 28， 与 的距离为 24 故此双曲线通过 D（14 , 24）,例题 5 双曲线的应用,核电厂的冷却塔
5、很多都是双曲面型的。右图是某冷却塔 的截面图，颈部 4 是双曲线的贯轴长。出风口直径8，入风口直径 28，已知 ， ， 互相 平行，且 与 的距离为 24，试求 与 的距离。,代入 可得 b212，而 F 点的 x 坐标为 4， y 坐标即为 与 的距离， 代入双曲线 可得 y6（负不合） 与 的距离为6,例题 6 求渐近线,试求双曲线 的两条渐近线方程式。,的两条渐近线为 与 即 4x3y0 与 4x3y0,主题 3 双曲线的渐近线,例题 7 双曲线与渐近线,试证：双曲线 ： 上任一点 P 到两直线 L1：bxay0 与 L2：bxay0 的距离乘积为定值 。,设 P（x0 , y0）为双曲
6、线 ： 上任一点 可得 b2x02a2y02a2b2 又 P（x0 , y0）到 L1 的距离为P（x0 , y0）到 L2 的距离为,故 P 到 L1 与 L2 的距离乘积为,例题 7 双曲线与渐近线,试证：双曲线 ： 上任一点 P 到两直线 L1：bxay0 与 L2：bxay0 的距离乘积为定值 。,例题 8 共轭双曲线,试求双曲线 的共轭双曲线。,的共轭双曲线为,主题 4 共轭双曲线与等轴双曲线,例题 9 等轴双曲线,一等轴双曲线的两焦点为 F1（0 , ），F2（0 , ），求此双曲线方程式。,此等轴双曲线的中心为 的中点，即（0 , 0）， 且其贯轴在 y 轴上，而 2c ，得 c
7、 又 c2a2b2，且 ab，故 a2b24 故此等轴双曲线的方程式为,主题 5 双曲线的平移与伸缩,例题 10 双曲线的标准式（中心为（h , k）,已知一双曲线的两焦点为（7 , 1）与（3 , 1），贯轴长为 6，试求此双曲线方程式。,如右图所示，因为两焦点为（7 , 1）与（3 , 1） 所以中心（h , k）（2 , 1），贯轴平行 x 轴， 且 c5，又贯轴长 2a6 a3 而 b ，代入标准式 得双曲线的方程式为,(1) 如右图，将双曲线 ： 以原点为中心伸缩 2 倍可得双曲线 ： （a 与 b 皆成为原来 2 倍）即,例题 11 双曲线的伸缩,(1) 已知双曲线 ： ，将图形
8、以原点为中心伸缩 2 倍，得到一个新双曲线 的图形，试求双曲线 的方程式。,(2) ： 的两条渐近线为 与 ： 的两条渐近线为 与 皆可整理成 x2y0 与 x2y0故 与 的渐近线相同,例题 11 双曲线的伸缩,(2) 同(1) ，试比较 与 的渐近线是否相同。,主题 6 双曲线的性质,例题 12 渐近线与双曲线方程式的关系,试求中心为（2 , 1），一渐近线为 xy30，且过点（4 , 2）的等轴双曲线方程式。,等轴双曲线的两条渐近线互相垂直 可假设另一条渐近线的方程式为 xym0 又中心（2 , 1）为两条渐近线的交点 2（1）m0 m1 可知等轴双曲线的两渐近线为 xy30 与 xy1
9、0 设双曲线的方程式为（xy3）（xy1）k 此方程式过点（4 , 2） （4（2）3）（4（2）1）k k3 即等轴双曲线的方程式为（xy3）（xy1）3,例题 13 由双曲线的一般型态求诸要素,已知双曲线 的方程式为 4x2y28x4y40，试求其贯轴长、共轭轴长、中心、焦点、顶点及渐近线方程式。,将方程式 4x2y28x4y40，依 x，y 配方 得 4（x22x1）（y24y4）4 整理得 ，其中 a1，b2 所以方程式的图形是一个贯轴平行于 x 轴的双曲线 中心为（1 , 2），贯轴长 2a2，共轭轴长 2b4， c,两顶点为（0 , 2）与（2 , 2） 两焦点为（1 , 2）与（
10、1 , 2） 渐近线方程式为 2xy0 与 2xy40,例题 13 由双曲线的一般型态求诸要素,已知双曲线 的方程式为 4x2y28x4y40，试求其贯轴长、共轭轴长、中心、焦点、顶点及渐近线方程式。,右图是以 F1，F2 为圆心的两组同心圆，各组 4 个同心圆的半径分别为 1，2，3，4。已知有一 双曲线以 F1，F2 为焦点，且通过 P 点，则此双曲线的贯轴长为 。,主题 1 双曲线的定义及标准式,范例 1 双曲线的定义,由图可知 3， 4,下一题,由双曲线的定义可知贯轴长, 341,故贯轴长为 1,若一双曲线的贯轴长为 12，两焦点间的距离为 13，则此双曲线的共轭轴长为 。,由题意知
11、2a12，2c13,上一题,下一题,范例 2 双曲线的基本概念运算,a6，c, b,故共轭轴长 2b5,(1) 已知双曲线的两焦点为（5 , 0），（5 , 0），贯轴长为 6，则此双曲线方程式为 。,范例 3 求双曲线方程式,(1) 两焦点为（5 , 0），（5 , 0）中心为（0 , 0），贯轴在 x 轴上，且 c5又贯轴长 2a6 a3, b,故双曲线方程式为,(2) 已知双曲线的中心为（0 , 0），一焦点为（0 , 5），共轭轴长为8，则此双曲线方程式为 。,范例 3 求双曲线方程式,上一题,下一题,(2) 中心为（0 , 0），焦点为（0 , 5） c5又共轭轴长 2b8 b4,
12、a,故双曲线方程式为,c ,范例 4 求双曲线的各要素,已知一双曲线方程式为 1，则： (1) 中心坐标为 。 (2) 顶点坐标为 。,1,此为中心在原点的双曲线，焦点在 x 轴上,且 a 3，b 2，,(1) 中心坐标为（0 , 0） (2) 顶点坐标为（3 , 0），（3 , 0）,范例 4 求双曲线的各要素,已知一双曲线方程式为 1，则： (3) 焦点坐标为 。 (4) 贯轴长为 。 (5) 共轭轴长为 。 (6) 对称轴方程式为 。,(3) 焦点坐标为 F1（ , 0）， F2（ , 0）,(4) 贯轴长 2a6 (5) 共轭轴长 2b4 (6) 对称轴方程式为 x0 及 y0,c ,
13、此为中心在原点的双曲线，焦点在 x 轴上,且 a 3，b 2，,1,已知一双曲线方程式为 1，则： (7) 渐近线方程式为 。,范例 4 求双曲线的各要素,上一题,下一题,(7) 渐近线方程式为, 4x29y20 (2x3y)(2x3y)0 2x3y0 或 2x3y0 故渐近线方程式为 2x3y0 与 2x3y0,范例 5 双曲线的平移,将双曲线： 1 平移（3 , 1）后，所得的双曲线 的方程式为 。,上一题,下一题,双曲线： 1 平移（3 , 1）后,主题 2 双曲线的平移与伸缩,所得双曲线 之方程式为,范例 6 双曲线的标准式,已知双曲线：4x2y216x6y30 ，则： (1) 顶点坐
14、标为 。,4x2y216x6y30 4 (x2)2 (y3)24 ：,(1) 中心点 O（2 , 3），a1 顶点（2 1 , 3），即（3 , 3）与（1 , 3）,范例 6 双曲线的标准式,已知双曲线：4x2y216x6y30 ，则： (2) 渐近线方程式为 。 (3) 双曲线上任一点到两渐近线距离的乘积为 。,上一题,下一题,(3) 所求为, (2xy1)(2xy7)0 2xy10 或 2xy70即渐近线方程式为 2xy1 与 2xy7,(2) 渐近线为 0 4 (x2)2 (y3)20, 2（x2）（y3）2（x2）（y3）0,已知双曲线： 1 将图形以原点为中心伸缩 2 倍，得到 一
15、个新双曲线，则： (1) 双曲线 的方程式为 。,范例 7 双曲线的伸缩,(1) 将双曲线： 1 以原点为中心伸缩 2 倍后,可得双曲线： 1，即,已知双曲线： 1 将图形以原点为中心伸缩 2 倍，得到 一个新双曲线，则： (2) 的渐近线方程式为 。,范例 7 双曲线的伸缩,(2) 令, 36x216y20 9x24y20 (3x2y)(3x2y)0 3x2y0 或 3x2y0 故渐近线方程式为 3x2y0 与 3x2y0,上一题,下一题,共轭轴长为,试求以椭圆： 1 的焦点为顶点，以长轴之顶点为 两焦点之双曲线 方程式为 。,范例 8 求双曲线方程式,椭圆中心（1 , 1）且为上下型,c
16、3，a225 a5,则双曲线两焦点的距离为 10 且贯轴长6,故双曲线 方程式为,上一题,下一题,(1) 二次曲线： 1（t 为实数）表一椭圆，则 t 的范围为 。表一双曲线，则 t 的范围为 。,范例 9 椭圆与双曲线标准式的判别,(1) t4, (t1)(t4)0 1t4,(2) 设 k 为实数，若方程式 1 为双曲线，则此双曲线的焦点坐标为 。,范例 9 椭圆与双曲线标准式的判别,(2) 10k5k 10k0，5k0此为左右型双曲线，其中心点为（0 , 1）,：,c2（10k）（k5）5 c,焦点为（0 , 1）（ , 1）,故双曲线的焦点坐标为（ , 1）与（ , 1）,上一题,下一题
17、,若双曲线与 1 有共同的渐近线，且通过点 M（5 , 8）， 则此双曲线方程式为 。,范例 10 双曲线的渐近线,有共同渐近线 令新双曲线为,下一题,M（5 , 8）代入 k,故双曲线方程式为,143,上一题,一双曲线的两焦点为 F1（10 , 0）与 F2（10 , 0），其一渐近线的 斜率为 ，试求此双曲线的方程式为 。,范例 11 利用双曲线渐近线斜率解题,由焦点可知为左右型，且 2c10（10）20 c10，中心在（0 , 0）,下一题,可设双曲线方程式为,又渐近线斜率为 令 a3r，b4r（r0）,则 (3r)2 (4r)2102 r 2（负不合） a6，b8,故双曲线方程式为,上
18、一题,若一等轴双曲线之中心为（2 , 5），一渐近线为 xy30 且过（1 , 3），试求此双曲线的方程式为 。,范例 12 等轴双曲线,主题 3 等轴双曲线、共轭双曲线,一渐近线为 xy30 为等轴双曲线，两渐近线互相垂直 可设另一渐近线 L：xyk0 （2 , 5）在 L 上，代入 L 25k0 k7 因此，可设双曲线为(xy3)(xy7),又（1 , 3）在双曲线上 (133)(137）1（3）3 双曲线方程式为 (xy3)(xy7)3 x2y24x10y180,下一题, (x2)2(y5)23,故双曲线方程式为,上一题,范例 12 等轴双曲线,试求双曲线 9x216y218x96y90 的共轭双曲线方程式 为 。,范例 13 共轭双曲线,9 (x1)216 (y3)2144,下一题,故其共轭双曲线为,亦即,上一题,设 F1，F2 为双曲线 1（a0，b0）之两焦点，若 P 为此双 曲线上一点，且满足 2 12，F1PF2 60，则此双曲线方程式为 。,范例 14 求双曲线方程式（余弦定理）,122622126cos60108, 2c,又 2a 1266 a3, b2c2a227918,故此双曲线方程式为,上一题,
