1、- 1 -2018 年高二下学期第三次月考试卷数学（理）题号 一 二 三 总分得分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 函数 y=（ x-2） 2在 x=1 处的导数等于（ ）A. -1 B. -2 C. -3 D. -42. 的值为（ ）A. e+1 B. e-1 C. 1-e D. e3. 用三段论演绎推理：任何实数的平方都大于 0， a R，则 a20对于这段推理，下列说法正确的是（ ）A. 大前提错误，导致结论错误 B. 小前提错误，导致结论错误C. 推理形式错误，导致结论错误 D. 推理没有问题，结论正确4. 当用反证法证明“已知 x y，证明： x3 y3”时，
2、假设的内容应是（ ）A. x3 y3 B. x3 y3 C. x3 y3 D. x3 y35. 用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时， xn+yn能被 x+y 整除”，第二步归纳假设应该写成（ ）A. 假设当 n=k（ k N*）时， xk+yk能被 x+y 整除B. 假设当 n=2k（ k N*）时， xk+yk能被 x+y 整除C. 假设当 n=2k+1（ k N*）时， xk+yk能被 x+y 整除D. 假设当 n=2k-1（ k N*）时， x2k-1+y2k-1能被 x+y 整除6. 复数 的共轭复数的模为（ ）A. B. C. 1 D. 27. 在同一坐标系中，将曲线 y=2sin
3、3x 变为曲线 y=sinx的伸缩变换公式是（ ）A. B. C. D. 8. 若 =12 ，则 n=（ ）- 2 -A. 8 B. 7 C. 6 D. 49. 用数字 1，2， 3，4，5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为（ ）A. 8 B. 24 C. 48 D. 12010. 在直角坐标系中，点 P 坐标是（-3，3），以原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，点 P 的极坐标是（ ）A. B. C. D. 11. 4 名学生参加 3 项不同的竞赛，每名学生必须参加其中的一项竞赛，有（ ）种不同的结果A. 34 B. C. D. 4312. 若 展开式中二项式系数之和为 64
4、，则展开式中常数项为（ ）A. 20 B. -160 C. 160 D. -270二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 函数 的递增区间为_14. 用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第 5 个“金鱼”图需要火柴的根数为_ 15. 已知在极坐标系下，点 ， ， O 是极点，则 AOB 的面积等于_16. 若（ - ） 6的展开式中的常数项为 60，则 a 的值为_三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）17. 已知 i 是虚数单位，且复数 z 满足（ z-3）（2- i）=5（）求 z 及| z-2+3i|；（）若 z（ a+i）是纯虚数，求实数 a 的
5、值- 3 -18. 已知在（ ） n的展开式中，第 6 项为常数项（1）求 n 的值；（2）求含 x2项的系数19. 设函数 f（ x）= x3-3ax+b（ a0）（）若曲线 y=f（ x）在点（2， f（2）处与直线 y=8 相切，求 a， b 的值；（）求函数 f（ x）的单调区间20. 已知直线 l 的参数方程是 （ t 是参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，且取相同的长度单位建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 =2 cos（+）（1）求直线 l 的普通方程与圆 C 的直角坐标方程；（2）设圆 C 与直线 l 交于 A、 B 两点，若 P 点的直角坐标为（1，0），求|
6、 PA|+|PB|的值- 4 -21. 已知数列 an满足 ， ，（）计算出 a2、 a3、 a4；（）猜想数列 an通项公式 an，并用数学归纳法进行证明22. 已知函数 f（ x）= ax-lnx（ a R）（1）当 a=1 时，求 f （ x）的最小值；（2）已知 e 为自然对数的底数，存在 x， e，使得 f （ x）=1 成立，求 a 的取值范围；（3）若对任意的 x1，+），有 f （ x） f （）成立，求 a 的取值范围- 5 -答案和解析【答案】1. B 2. B 3. A 4. A 5. D 6. B 7. C8. A 9. C 10. A 11. A 12. B13. 1
7、4. 32 15. 4 16. 4 17. 解：（）（ z-3）（2- i）=5， z= +3= +3=（2+ i）+3=5+ i （4 分）| z-2+3i|=|3+4i|= =5； （6 分）（）由（）可知 z=5+i， z（ a+i）=（5+ i）（ a+i）=（5 a-1）+（ a+5） i； （10 分）又 z（ a+i）是纯虚数，5 a-1=0 且 a+50；解得 （12 分） 18. 解：（1）二项展开式的通项 = 第 6 项 为常数项 n=10（6 分）（2）由（1）得， = 令 =2 可得 r=2 含 x2项的系数为（-3） 2C102=405（12 分） 19. 解：（）求
8、导函数，可得 f（ x）=3 x2-3a曲线 y=f（ x）在点（2， f（2）处在直线 y=8 相切 a=4， b=24- 6 -（） f（ x）=3（ x2 -a）（ a0），令 f（ x）0，得 x 或 x函数 f（ x）单调递增区间为： (， ) ， ( , +)令 f（ x）0，得 x ，函数 f（ x）单调递减区间为： ( ， ) ； 20. 解：（1）直线 l 的参数方程是 （ t 是参数）， x+y=1即直线 l 的普通方程为 x+y-1=0=2 cos（+）=2cos-2sin， 2=2cos-2sin，圆 C 的直角坐标方程为 x2+y2=2x-2y，即 x2+y2-2x+
9、2y=0（2）将 代入 x2+y2-2x+2y=0 得 t2- t-1=0， t1+t2= ， t1t2=-1| PA|+|PB|=|t1-t2|= = 21. 解：（） ， ， ， ， -（3 分）；（）由（ I）知分子是 3，分母是以首项为 5 公差为 6 的等差数列猜想数列 an通项公式： -（5 分）用数学归纳法证明如下：当 n=1 时，由题意可知 ，命题成立-（6 分）假设当 n=k（ k1， k N）时命题成立，即 ，-（7 分）那么，当 n=k+1 时， 也就说，当 n=k+1 时命题也成立-（12 分）- 7 -综上所述，数列 an的通项公式为 -（13 分） 22. 解：（1
10、） a=1 时， f（ x）= x-lnx，则 f（ x）=1-= ，令 f（ x）=0，则 x=1 当 0 x1 时， f（ x）0，所以 f（ x）在（0，1）上单调递减；当 x1 时， f（ x）0，所以 f（ x）在（1，+）上单调递增，所以当 x=1 时， f （ x）取到最小值，最小值为 1 （2）因为 f （ x）=1，所以 ax-lnx=1，即 a=+ ，设 g（ x）=+ ， x， e，则 g（ x）= ，令 g（ x）=0，得 x=1当 x1 时， g（ x）0，所以 g（ x）在（，1）上单调递增；当 1 x e 时， g（ x）0，所以 g（ x）在（1， e）上单调递
11、减； 因为 g（1）=1， g（）=0， g（ e）=，所以函数 g （ x）的值域是0，1，所以 a 的取值范围是0，1 （3）对任意的 x1，+），有 f（ x） f（）成立，则 ax-lnx+ln x，即 a（ x-）-2ln x0令 h（ x）= a（ x-）-2ln x，则 h（ x）= a（1+ ）-= ，当 a1 时， ax2-2x+a=a（ x-） 2+ 0，所以 h（ x）0，因此 h（ x）在1，+）上单调递增，所以 x1，+）时，恒有 h（ x） h（1）=0 成立，所以 a1 满足条件 当 0 a1 时，有1，若 x1，则 ax2-2x+a0，此时 h（ x）= 0，所
12、以 h（ x）在1，上单调递减，所以 h（） h（1）=0，- 8 -即存在 x=1，使得 h（ x）0，所以 0 a1 不满足条件当 a0 时，因为 x1，所以 h（ x）0，所以 h（ x）在1，+）上单调递减，所以当 x1 时， h（ x） h（1）=0，所以 a0 不满足条件综上， a 的取值范围为1，+） 【解析】1. 解：函数的导数为 y=2 x-4， y| x=1=-2，故选 B求函数的导数，结合函数的导数公式进行求解即可本题主要考查函数的导数的计算，根据函数的导数公式是解决本题的关键比较基础2. 解：由积分基本定理可得， = 故选 B 直接利用积分基本定理即可求解本题主要考查了
13、积分基本定理的基本应用，属于基础试题3. 解：任何实数的平方大于 0，因为 a 是实数，所以 a20，其中大前提是：任何实数的平方大于 0 是不正确的，故选 A要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论及推理形式是否都正确，根据这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确本题考查演绎推理的基本方法，考查实数的性质，这种问题不用进行运算，只要根据所学的知识，判断这种说法是否正确即可，是一个基础题4. 解：用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立，而“ x3 y3”的否定为：“x3 y3”，故选 A由于用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立，而“ x3 y3”的否定为：“
14、x3 y3”，由此得出结论本题主要考查用命题的否定，反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题- 9 -5. 解： n 为正奇数， n=2k-1， k N，故：选 D根据 n 为正奇数可知 n=2k-1， k N*本题考查了数学归纳法的证明步骤，属于基础题6. 解： = ， 故选： B直接利用复数代数形式的乘除运算化简，结合 求解本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础的计算题7. 解：将曲线 y=2sin3x经过伸缩变换变为 y=sinx 即 y=sin x设伸缩变换公式是 把伸缩变换关系式代入式得： y=sin
15、x 与的系数对应相等得到：变换关系式为： 故选： C首先设出伸缩变换关系式 ，然后利用变换前的方程，把伸缩变换关系式代入变换后的方程，利用系数对应相等，求出相应的结果本题考查的知识点：变换前的方程，伸缩变换关系式，变换后的方程，知道其中的两个量可以求出第三个变量8. 解： =12 ， n（ n-1）（ n-2）=12 ，化简得 n-2=6；解得 n=8故选： A利用排列与组合数公式，进行化简计算即可本题考查了排列与组合的计算与化简问题，是基础题目- 10 -9. 解：由题意知本题需要分步计数，2 和 4 排在末位时，共有 A21=2 种排法，其余三位数从余下的四个数中任取三个有 A43=432
16、=24 种排法，根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有 224=48（个）故选 C本题需要分步计数，首先选择 2 和 4 排在末位时，共有 A21种结果，再从余下的其余三位数从余下的四个数中任取三个有 A43种结果，根据由分步计数原理得到符合题意的偶数本题考查分步计数原理，是一个数字问题，这种问题是最典型的排列组合问题，经常出现限制条件，并且限制条件变化多样，是一个易错题10. 解：点 P 坐标是（-3，3），= =3 ，tan=-1，0，），= 点 P 的极坐标为（3 ， ）故选： A根据极坐标与直角坐标互化的公式，求出点 P 的极坐标本题考查了直角坐标与极坐标互化的问题，利用极坐标与直角
17、坐标互化公式计算即可11. 解：由题意知本题是一个分步计数问题，首先第一名学生从三种不同的竞赛中选有三种不同的结果，第二名学生从三种不同的竞赛中选有 3 种结果，同理第三个和第四个同学从三种竞赛中选都有 3 种结果，根据分步计数原理得到共有 3333=34 故选 A本题是一个分步计数问题，首先第一名学生从三种不同的竞赛中选有三种不同的结果，第二名学生从三种不同的竞赛中选有 3 种结果，同理第三个和第四个同学从三种竞赛中选都有 3种结果，相乘得到结果数解答此题，先考虑学生问题还是竞赛问题才能很好地完成这件事，易把两问结果混淆；另外，每位学生选定竞赛或每项竞赛选定学生这一做法对完成整个事件的影响理解错误导致原理弄错，其原因是对题意理解不清，对事情完成的方式有错误的认识
