1、1第五节 变量的相关关系A 组 基础题组1.已知变量 x,y 之间具有线性相关关系,其散点图如图所示,回归直线 l 的方程为 = x+ ,则下列说法正 确的是( )A. 0, 0, 0 C. 0 2.某考察团对全国 10 大城市居民人均工资水平 x(千元)与居民人均消费水平 y(千元)进行统计调查,y与 x 具有相关关系,回归方程为 =0.66x+1.562,若某城市居民人均消费水平为 7.675(千元),估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( )A.83% B.72% C.67% D.66%3.某产品的广告费用 x(万元)与销售额 y(万元)的统计数据如下表所示,根据表中数据可得回
2、归方程= x+ 中的 =10.6.据此模型预测广告费用为 10 万元时的销售额为 ( ) 广告费用 x(万元) 4 2 3 5销售额 y(万元) 49 26 39 58.112.1 万元 B.113.1 万元C.111.9 万元 D.113.9 万元24.某单位为了了解用电量 y(度)与气温 x()之间的关系,随机统计了某 4 天的用电量与当天气温,并制作了对照表:气温() 18 13 10 -1用电量(度) 24 34 38 64由表中数据得回归直线方程 = x+ 中的 =-2,预测当气温为 -4 时,用电量约为 . 5.调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位:万元)和年饮食支出 y(单位:
3、万元),调查显示年收入 x 与年饮食支出 y 具有线性相关关系,并由调查数据得到 y 对 x 的回归直线方程: =0.254x+0.321,由回归直线方程可知,家庭年收入每增加 1 万元,年饮食支出平均增加 万元. 6.为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某月 1 号到 5 号每天打篮球时间 x(单位:小时)与当天投篮命中率 y 之间的关系:时间 x 1 2 3 4 5命中率 y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4小李这 5 天的平均投篮命中率为 ;用线性回归分析的方法,可预测小李该月 6 号打 6 小时篮球的投篮命中率为 . 7.某地区 2007 年至
4、2013 年农村居民家庭人均纯收入 y(单位:千元)的数据如下表:年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013年份代号 t 1 2 3 4 5 6 7人均纯收入 y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9(1)求 y 关于 t 的线性回归方程;(2)利用(1)中的回归方程,分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并计算该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入.附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为= , = - .=1(-)(-)=1(-)2 B 组 提升题组38.在一组样本数据(x 1,y1),(x2,y
5、2),(xn,yn)(n2,x 1,x2,xn不全相等)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,n)都在直线 y= x+1 上,则这组样本数据的样本相关系数为( )12A.-1 B.0 C. D.1 129.某炼钢厂废品率 x(%)与成本 y(元/吨)的线性回归方程为 =105.492+42.569x.当成本控制在 176.5 元/吨时,可以预计生产的 1 000 吨钢中,约有 吨钢是废品. 10.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位:千元)对年销售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响.对近 8 年的年宣传费 xi和年销售量 yi(i=1
6、,2,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值. (xi- )28=1 (wi- )28=1 (xi- )(yi- )8=1 (wi- )(yi- )8=1 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8表中 wi= , = wi.188=1(1)根据散点图判断,y=a+bx 与 y=c+d 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程;(3)已知这种产品的年利润 z 与 x,y 的关系为 z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题:(i)
7、年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少?(ii)年宣传费 x 为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据(u 1,v1),(u2,v2),(un,vn),其回归直线 v=+u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为= , = - .=1(-)(-)=1(-)2 45答案精解精析A 组 基础题组1.D 由题图可知,回归直线的斜率是正数,即 0;回归直线在 y 轴上的截距是负数,即 0,故 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加 0.5千元.将 2015 年的年份代号 t=9 代入(1)中的回归方程,得 =0.59+2.3=6.8,故该地区 2
8、015 年农村居民家庭人均纯收入为 6.8 千元.B 组 提升题组8.D 所有样本点均在同一条斜率为正数的直线上,则样本相关系数最大,为 1,故选 D.9. 答案 16.68解析 由 176.5=105.492+42.569x,解得 x1.668,即当成本控制在 176.5 元/吨时,废品率约为 1.668%,所以生产的 1 000 吨钢中,约有 1 0001.668%=16.68 吨钢是废品.10. 解析 (1)由散点图可以判断,y=c+d 适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型.(2)令 w= ,先建立 y 关于 w 的线性回归方程.由于 = = =68,8=1(-)(-)8=1(-)2 108.81.6= - =563-686.8=100.6,所以 y 关于 w 的线性回归方程为 =100.6+68w,因此 y 关于 x 的回归方程为 =100.6+68 . (3)(i)由(2)知,当 x=49 时,年销售量 y 的预报值=100.6+68 =576.6, 49年利润 z 的预报值=576.60.2-49=66.32.(ii)根据(2)的结果知,年利润 z 的预报值=0.2(100.6+68 )-x=-x+13.6 +20.12. 7所以当 = =6.8,即 x=46.24 时, 取得最大值.13.62 故年宣传费为 46.24 千元时,年利润的预报值最大.
