1、1第二节 空间几何体的表面积和体积A组 基础题组1.(2018北京朝阳期中)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.5 B.6 C.7 D.82.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A.180 B.200 C.220 D.2403.(2017北京朝阳期末)某四棱锥的三视图如图所示,其俯视图为等腰直角三角形,则该四棱锥的体积为( )A. B. C. D.23 23 43 24.正三棱柱 ABC-A1B1C1的底面边长为 2,侧棱长为 ,D为 BC中点,则三棱锥 A-B1DC1的体积为( )3A.3 B. C.1 D.32 325.如图,平面四边形 ABCD中,AB
2、=AD=CD=1,BD= ,BDCD,将其沿对角线 BD折成四面体 A-BCD,使平面2ABD平面 BCD,若四面体 A-BCD的顶点在同一个球面上,则该球的表面积为( )2A.3 B. C.4 D. 32 346.在棱长为 3的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,P 在线段 BD1上,且 = ,M为线段 B1C1上的动点,则三棱锥 M-112PBC的体积为 . 7.(2016北京东城二模)已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中俯视图是等腰直角三角形,则该三棱锥的四个面中面积最大为 . 8.已知 H是球 O的直径 AB上一点,AHHB=12,AB平面 ,H 为垂足, 截球 O所得截面的面积为
3、,则球 O的表面积为 . 9.(2017北京东城一模)如图,在四棱锥 P-ABCD中,四边形 ABCD是平行四边形,ADBD 且AD=BD,ACBD=O,PO平面 ABCD.(1)E为棱 PC的中点,求证:OE平面 PAB;(2)求证:平面 PAD平面 PBD;(3)若 PDPB,AD=2,求四棱锥 P-ABCD的体积.B组 提升题组10.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( )3A.6 B.9 C.12 D.1811.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A. B. C. D.163 203 152 13212.(2015课标,
4、10,5 分)已知 A,B是球 O的球面上两点,AOB=90,C 为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为 36,则球 O的表面积为( )A.36 B.64C.144 D.25613.(2015北京朝阳一模)一个四棱锥的三视图如图所示,其中侧视图为正三角形,则该四棱锥的体积是 ,四棱锥中侧面面积最大的是 . 14.(2017北京东城二模)如图,在棱长为 2的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E 为体对角线 B1D上的一点,M,N 为面对角线 AC上的两个动点,且线段 MN的长度为 1.(1)当 N为面对角线 AC的中点且 DE= 时,三棱锥 E-DMN的体积是 ; 2(2)当三棱
5、锥 E-DMN的体积为 时,DE= . 13415.如图,菱形 ABCD的对角线 AC与 BD交于点 O,点 E,F分别在 AD,CD上,AE=CF,EF 交 BD于点 H.将DEF沿 EF折到DEF 的位置.(1)证明:ACHD;(2)若 AB=5,AC=6,AE= ,OD=2 ,求五棱锥 D-ABCFE的体积.54 25答案精解精析A组 基础题组1.A 由几何体的三视图知,该几何体是由两个四棱柱组成的几何体,其体积 V= (1+2)2+112=5,12故选 A.2.D 由三视图知该几何体是如图所示的四棱柱 ABCD-A1B1C1D1.=210=20,S四边形 ABB1A1=(3+2+3)1
6、0=80,S四边形 DCC1D1S 四边形 ABCD= = (2+8)4=20,S四边形 A1B1C1D112= =105=50,S四边形 AA1D1DS四边形 BB1C1C该几何体的表面积=20+80+220+250=240.故选 D.3.C 还原几何体如图中四棱锥 P-ABCD所示,AD= ,AP= ,ADAP,AP 为四棱锥的高,2 2故四棱锥的体积为 2 = ,故答案为 C.13 2 2434.C 在正三棱柱 ABC-A1B1C1中,ADBC,ADBB 1,BB1BC=B,AD平面 B1DC1, = ADVA-B1DC113S B1DC16= 2 =1,故选 C.13 12 3 35.
7、A 由题意可得 BD=AC= ,BC= ,BDC 与ABC 都是以 BC为斜边的直角三角形,由此可得 BC中点2 3到 A,B,C,D四个点的距离相等,故可得该三棱锥的外接球的直径为 ,所以该外接球的表面积 S=43=3.(32)26. 答案 32解析 = ,点 P到平面 BC1C的距离是点 D1到平面 BC1C距离的 ,BPPD112 13即为 =1,M 为线段 B1C1上的点,D1C13S MBC = 33= ,V M-PBC=VP-MBC= 1= .12 92 13 92 327. 答案 2 3解析 由三视图将三棱锥还原到长方体中,如图.易知该长方体的长为 2 ,宽为 ,高为 2,2 2
8、又ABC 为等腰直角三角形,AB=AC=2,PB=PC=2 ,2S ABC = 22=2,12且PBC 为边长为 2 的正三角形,2PBC 的高为 2 = ,32 2 6S PBC = 2 =2 ,12 2 6 3又 SPAB = 22=2,12SPAC = 22=2,12所求最大面积为 2 .38. 答案 92解析 如图,设截面小圆的半径为 r,球的半径为 R,因为 AHHB=12,所以 OH= R.由勾股定理,有13R2=r2+OH2,又由题意得 r 2=,则 r=1,故 R2=1+ ,(13R)27即 R2= .由球的表面积公式 ,得所求表面积 S=4R 2= .98 929. 解析 (
9、1)证明:因为 O是平行四边形 ABCD对角线的交点,所以 O为 AC的中点,又 E为棱 PC的中点,所以 OEPA.因为 OE平面 PAB,PA平面 PAB,所以 OE平面 PAB.(2)证明:因为 PO平面 ABCD,所以 POAD.又 BDAD,BDPO=O,所以 AD平面 PBD,因为 AD平面 PAD,所以平面 PAD平面 PBD.(3)因为 O是平行四边形 ABCD对角线的交点,所以 O为 BD的中点.又 PDPB,AD=BD=2,所以 PO= BD=1.12因为 PO平面 ABCD,所以 VP-ABCD= S 四边形 ABCDPO.13S 四边形 ABCD=2SABD =2 22
10、=4,12所以 VP-ABCD= S 四边形 ABCDPO= 41= .13 13 43B组 提升题组10.B 由三视图可得,该几何体为如图所示的三棱锥,其底面ABC 为等腰直角三角形且 BA=BC,AC=6,AC边上的高为 3,SB底面 ABC,且 SB=3,所以该几何体的体积 V= 633=9.故选 B.13 12811.D 该几何体可视为正方体截去两个三棱锥所得,所以其体积为 8- - = .故选 D.431613212.C AOB 的面积为定值,当 OC垂直于平面 AOB时,三棱锥 O-ABC的体积取得最大值.由 R3=36得 R=6.从16而球 O的表面积 S=4R 2=144.故选
11、 C.13. 答案 ;36 74解析 该四棱锥的直观图如图所示,其中,平面 ABE平面 BCDE,BCDE是边长为 1的正方形,四棱锥的高为 ,四棱锥中面积最大的侧面的面32积为ACD 的面积,易求得 SACD = .74四棱锥的体积为 11 = .13 32 3614. 答案 (1) (2)39 6解析 易知点 D到 AC的距离为 ,故DMN 的面积为定值 1= .212 2 22设三棱锥 E-DMN的高为 h,则 sinB 1DB= = = ,11 223 则 h= DE,33故三棱锥 E-DMN的体积= DE= DE.13 22 33 618故(1)当 DE= 时,三棱锥 E-DMN的体
12、积= .239(2)当三棱锥 E-DMN的体积= 时,DE= .13 615. 解析 (1)证明:由已知得 ACBD,AD=CD.又由 AE=CF得 = ,故 ACEF.由此得 EFHD,EFHD,9所以 ACHD.(2)由 EFAC 得 = = .14由 AB=5,AC=6得 DO=BO= =4.2-2所以 OH=1,DH=DH=3.于是 OD2+OH2=(2 )2+12=9=DH2,2故 ODOH.由(1)知 ACHD,又 ACBD,BDHD=H,所以 AC平面 BHD,于是 ACOD.又由 ODOH,ACOH=O,所以 OD平面 ABC.又由 = 得 EF= . 92五边形 ABCFE的面积 S= 68- 3= .12 12 92 694所以五棱锥 D-ABCFE的体积 V= 2 = .13 694 22322
