1、1第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例A组 基础题组1.已知 =(2,1),点 C(-1,0),D(4,5),则向量 在 方向上的投影为( ) A.- B.-3 C. D.3322 5 322 52.(2017北京东城二模)已知向量 a=(1,2),b=(x,4),且 ab,那么 x的值为( )A.-2 B.-4 C.-8 D.-163.(2015北京通州一模)在正方形 ABCD中,已知 AB=3,E是 CD的中点,则 等于( )A. B.6 C. D.272 92 724.设向量 a,b满足|a|=1,|a-b|= ,a(a-b)=0,则|2a+b|=( )3A.2 B.2 C.4 D
2、.43 35.(2018北京海淀期末)在ABC 中,AB=AC=1,D 是 AC边的中点,则 的取值范围是( )A. B.(-34,14) (-, 14)C. D.(-34,+ ) (14,34)6.(2017北京东城期末)ABC 的内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,若 a=5,b=7,c=8,则 等于 . 7.(2015北京朝阳一模)已知平面向量 a,b满足|a|=|b|=1,a 与 b的夹角为 60,则 a(a+b)= . 28.(2016北京西城二模)设平面向量 a,b满足|a|=|b|=2,a(a+b)=7,则向量 a,b夹角的余弦值为 . 9.已知|a|=4,|b|=3,(
3、2a-3b)(2a+b)=61.(1)求 a与 b的夹角 ;(2)求|a+b|和|a-b|.10.在平面直角坐标系 xOy中,已知向量 m= ,n=(sin x,cos x),x .(22,- 22) (0,2)(1)若 mn,求 tan x的值;(2)若 m与 n的夹角为 ,求 x的值.3B组 提升题组11.(2016北京西城一模)在平面直角坐标系 xOy中,向量 =(-1,2), =(2,m),若 O,A,B三点能构成三 角形,则 ( )A.m=-4 B.m-4 C.m1 D.mR12.(2015北京十三中模拟)ABC 外接圆的半径为 1,圆心为 O,且 3 +4 +5 =0,则 的值为(
4、 ) A.- B. C.- D.15 15 65 6513.(2017北京东城一模)已知ABC 中,A=120,且 AB=AC=2,那么 BC= , = . 314.(2017北京,12,5 分)已知点 P在圆 x2+y2=1上,点 A的坐标为(-2,0),O 为原点,则 的最大值为 . 15.(2017北京海淀二模)已知 O为原点,点 P为直线 2x+y-2=0上的任意一点,非零向量 a=(m,n).若 a恒为定值,则 = . 16.(2017北京丰台期末)如图,边长为 2的正三角形 ABC放置在平面直角坐标系 xOy中,AC 在 x轴上,顶点 B与 y轴上的定点 P重合.将正三角形 ABC
5、沿 x轴正方向滚动,即先以顶点 C为旋转中心顺时针旋转,当顶点 B落在 x轴上时,再以顶点 B为旋转中心顺时针旋转,如此继续.当ABC 滚动到A 1B1C1时,顶点B运动轨迹的长度为 ;在滚动过程中, 的最大值为 . 17.已知在ABC 中,角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,向量 m=(sin A,sin B),n=(cos B,cos A),mn=sin 2C.(1)求角 C的大小;(2)若 sin A,sin C,sin B成等差数列,且 ( - )=18,求 c.CA ABAC4答案精解精析A组 基础题组1.C 因为点 C(-1,0),D(4,5),所以 =(5,5),又 =(2,
6、1),所以向量 在 方向上的投影为| |cos= = = .| 15523222.C a=(1,2),b=(x,4),且 ab,x+8=0,x=-8.3.C 由题意得 = ( - )=| |2- | |2= ,故选 C.(+12) 12924.B 由 a(a-b)=0,可得 ab=a2=1,由|a-b|= ,可得(a-b) 2=3,即 a2-2ab+b2=3,解得 b2=4.故(2a+b) 2=4a2+4ab+b2=12,所以|2a+b|=2 .3 35.A 在ABC 中,AB=AC=1,D 是 AC的中点, = , =( - ) =- + 2=- + cos A.1412cos A(-1,1
7、),- + cos A ,故选 A.1412 (-34,14)6. 答案 44解析 由 a=5,b=7,c=8,得 cos A= = = .2+2-22 49+64-252781114 =cbcos A=87 =44.11147. 答案 32解析 a(a+b)=|a| 2+ab=1+|a|b|cos 60=1+cos 60= .328. 答案 34解析 |a|=|b|=2,且 a(a+b)=7,aa+ab=7.|a| 2+|a|b|cos=7.4+4cos=7.cos= .3459. 解析 (1)由(2a-3b)(2a+b)=4|a| 2-4ab-3|b|2=61及|a|=4,|b|=3 得
8、ab=-6,cos = = =- .| -643 12又 0,= .23(2)|a+b|= (+)2= |2+2+|2= = .42+2(-6)+32 13同理,|a-b|= = .(-)2 3710. 解析 (1)mn,mn=0,故 sin x- cos x=0,tan x=1.22 22(2)m 与 n的夹角为 ,3cos=|= = ,22- 2211 12故 sin = .(-4)12又 x ,(0,2)x- ,4 (-4,4)则 x- = ,即 x= ,故 x的值为 .46 512 512B组 提升题组11.B =(-1,2), =(2,m), 若 O,A,B三点能构成三角形,则 与
9、不能平行,即 .2-1 2m-4.故选 B.12.A 因为 3 +4 +5 =0,6所以 3 +4 =-5 ,两边平方得,9 +24 +16 =25 ,2 2 2由题意可知,| |=| |=| |=1,代入式可得 =0,所以 =- (3 +4 )( - )=- (3 -3 +4 -4 )=- .故选 A.15 15 2 2 1513. 答案 2 ;-63解析 ABC 中,A=120,且 AB=AC=2,由余弦定理得 BC2=AB2+AC2-2ABACcos A=22+22-222cos 120=12,BC=2 .3 =( - )(- )=- + =-22+22cos 120=-6. 214.
10、答案 6解析 解法一: 表示 在 方向上的投影与| |的乘积,当 P在 B点时, 有最大值,此 时 =23=6.解法二:设 P(x,y),则 =(2,0)(x+2,y)=2x+4,由题意知-1x1,x=1 时, 取最大值 6, 的最大值为 6.15. 答案 2解析 设点 P(t,2-2t),则 =(t,2-2t),所以 a=tm+(2-2t)n.设 a=, 则 =tm+(2-2t)n,(m-2n)t+2n=,7当 m-2n=0时, a恒为定值,此时 =2.16. 答案 ;283 3解析 根据题意知,点 B的轨迹为两个圆弧和一个点,且圆弧所对的圆心角为 ,圆弧的半径为 2,23顶点 B运动轨迹的
11、长度为 22 = . =(0, ),23 83 3设 B(x,y),没滚动前点 B的坐标为(0, ), =3;3 第一次滚动过程中点 B的纵坐标 y2, 2 ; 3第二次滚动过程中点 B的坐标为(3,0), =0;第三次滚动过程中点 B的纵坐标 y2; 2 . 3 的最大值为 2 . 317. 解析 (1)mn=sin Acos B+sin Bcos A=sin(A+B),在ABC 中,A+B=-C,0C,sin(A+B)=sin C,mn=sin C,又 mn=sin 2C,sin 2C=sin C,cos C= ,12则 C= .3(2)由 sin A,sin C,sin B成等差数列,可得 2sin C=sin A+sin B,由正弦定理得 2c=a+b. ( - )=18, =18,即 abcos C=18,ab=36.8由余弦弦定理得 c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab,c 2=4c2-336,c 2=36,c=6.
