1、1第一节 平面向量的概念及其线性运算A 组 基础题组1.已知 O,A,B 是同一平面内的三个点,直线 AB 上有一点 C 满足 2 + =0,则 =( ) A.2 - B.- +2 C. - D.- +2313 13232.已知向量 a,b 不共线,c=ka+b(kR),d=a-b.如果 cd,那么( )A.k=1 且 c 与 d 同向 B.k=1 且 c 与 d 反向C.k=-1 且 c 与 d 同向 D.k=-1 且 c 与 d 反向3.在四边形 ABCD 中, =a+2b, =-4a-b, =-5a-3b,则四边形 ABCD 的形状是( ) A.矩形 B.平行四边形C.梯形 D.以上都不
2、对4.若| |=| |=| - |=2,则| + |= . 5.(2015 北京,13,5 分)在ABC 中,点 M,N 满足 =2 , = .若 =x +y ,则 x= ,y= . 6.已知 D,E,F 分别为ABC 的边 BC,CA,AB 的中点,且 =a, =b,给出下列命题: = a-BC CA AD12b; =a+ b; =- a+ b; + + =0.BE12 CF12 12 ADBECF其中正确命题的个数为 . 7.如图,以向量 =a, =b 为邻边作OADB, = , = ,用 a,b 表示 , , .OA OB BM13BCCN13CD OMONMN28.已知 a,b 不共线
3、, =a, =b, =c, =d, =e,设 tR,如果 3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数 t,使C,D,E 三点在同一条直线上?若存在,求出实数 t 的值;若不存在,请说明理由.B 组 提升题组9.已知点 O 为ABC 外接圆的圆心,且 + + =0,则ABC 的内角 A 等于( )A.30 B.45C.60 D.9010.如图,| |=| |=1, 与 的夹角为 120, 与 的夹角为 30,若 = + (、 R),则 等于 ( )A. B. C. D.232 233 1211.(2015 北京朝阳期末)点 O 在ABC 的内部,且满足 +2 +4 =0,则ABC 的面积
4、与AOC 的面积之比是( )3A. B.3 C. D.272 5212.(2015 北京丰台二模)已知梯形 ABCD 中,AD=DC=CB= AB,P 是 BC 边上一点,且 =x +y .当 P 是 BC12 边的中点时,x+y= ;当 P 在 BC 边上运动时,x+y 的最大值是 . 13.如图所示,在ABC 中,D,F 分别是 BC,AC 的中点, = , =a, =b.23(1)用 a,b 表示向量 , , , , ;(2)求证:B,E,F 三点共线.14.已知 P 为ABC 内一点,且 3 +4 +5 =0,延长 AP 交 BC 于点 D,若 =a, =b,用 a、b 表示向量 、A
5、PBPCP AB AC AP.AD4答案精解精析A 组 基础题组1.A 依题意,得 = + = +2 = +2( - ),所以 =2 - ,故选 A. 2.D cd,c=d(R),即 ka+b=(a-b), k=-1,则 c=b-a,=,= -1.故 c 与 d 反向.3.C 由已知,得 = + + =-8a-2b=2(-4a-b)=2 ,故 .又因为 与 不平行,所以四边形 ABCD 是梯形.4. 答案 2 3解析 | |=| |=| - |=2, ABC 是边长为 2 的正三角形,| + |为ABC 的边 BC 上的高的 2 倍,| + |=2 . 35. 答案 ;-12 16解析 由 =
6、2 知 M 为 AC 上靠近 C 的三等分点,由 = 知 N 为 BC 的中点,作出草图如下: 则有 = ( + ),12所以 = - = ( + )- = - ,12231216又因为 =x +y ,所以 x= ,y=- .12 166. 答案 3解析 =a, =b, = +BC CA AD12CBAC5=- a-b,故错;12= + =a+ b,故正确;BEBC12CA 12= ( + )= (-a+b)=- a+ b,故正确;CF12CBCA12 12 12 + + =-b- a+a+ b+ b- a=0,故正确.正确命题为.ADBECF12 12 12 127. 解析 = - =a-b
7、, = = = a- b,131616 16 = + = a+ b. =a+b,16 56 = + = + = = a+ b,1312162323 23 = - = a+ b- a- b23 23 16 56= a- b.12 16综上, = a+ b, = a+ b,16 56 23 23= a- b.12 168. 解析 存在.理由:由题设知, =d-c=2b-3a, =e-c=(t-3)a+tb,C,D,E 三点在同一条直线上的充要 条件是存在实数 k,使得 =k ,即(t-3)a+tb=-3ka+2kb,整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.因为 a,b 不共线,所以有 -3+3=
8、0,2-=0, 解得 t= .65故存在实数 t= ,使 C,D,E 三点在同一条直线上.65B 组 提升题组9.A 由 + + =0 得, + = , 由 O 为ABC 外接圆的圆心,结合向量加法的几何意义知,四边形 OACB 为菱形,且CAO=60,6故BAC=30.10.D 过 C 作 OB 的平行线交 OA 的延长线于 D.由题意可知,COD=30,OCD=90,OD=2CD,又由题意知 = , = ,| |=2| |,即 =2,故 =2. 11.A 设 = , =2 , =4 ,则有 + + =0,所以 O 为ABC的重心,由重心的性质 知,S AOB =SAOC =SBOC ,设为
9、 S,由 = , =2 ,知 SAOB = S. 12同理,S AOC = S,SBOC = S.14 18而 SABC =SAOB +SAOC +SBOC = S,78所以 = = ,故选 A. 78 47212. 答案 ;5432解析 当 P 是 BC 边的中点时,易知 = + ,3412所以 x+y= + = .341254当 P 在 BC 边上运动时, = + = + = +( - )=(1-) + =(1-) + (+12)= +(1-) =x +y ,+12 所以 即 x+ =1,=1+2 ,=1-, 2所以 x+y=1+ ,又易知 y0,1,所以当 y=1 时,x+y 取得最大值
10、,最大值为 .2 3213. 解析 (1)延长 AD 到 G,使 = ,12连接 BG,CG,得到平行四边形 ABGC,所以 =a+b.7= = (a+b),1212= = (a+b),2313= = b,1212= - = (a+b)-a= (b-2a),13 13= - = b-a= (b-2a).12 12(2)证明:由(1)可知 = ,23又因为 , 有公共点 B,所以 B,E,F 三点共线.14. 解析 = - = -a,= - = -b,3 +4 +5 =0, 3 +4( -a)+5( -b)=0, = a+ b.13 512设 =t (tR),则 = ta+ tb.13 512又设 =k (kR),由 = - =b-a,得 =k(b-a). 而 = + =a+ , =a+k(b-a)=(1-k)a+kb.由得 解得 t= .13=1-,512=, 43代入得 = a+ b.49 59 = a+ b, = a+ b.13 51249 59
