1、现代设计方法 优化设计部分,黄正东，吴义忠 2015 年,自然现象,蚂蚁搬家 鸟群觅食 人类进化,本章主要内容优化设计概述 优化设计的数学基础 一维探索优化方法 无约束优化方法 约束问题优化方法 优化设计若干问题,本章重难点优化设计数学模型的构建方法 （模型的组成与设计要求的定量表述）最优化数学理论（模型的性质与最优解的表征） 优化模型的求解方法(一维搜索、无约束方法、有约束方法)Matlab工具的使用,本章主要内容优化设计概述 优化设计的数学基础 一维探索优化方法 无约束优化方法 约束问题优化方法 优化设计若干问题,优化设计的作用 优化设计的数学模型 求解方法分类 优化设计的软件实现,优化设
2、计概述优化设计的作用 逆向确定设计方案中的待定参数 所确定的设计参数能保证实现预定的设计要求 参数确定过程的自动化 基于设计方案定量化的产品性能优化,例 1：篱笆围墙设计,优化设计的数学模型,例 2：阶梯型悬臂粱设计,优化设计的数学模型,截面尺寸,弹性模量,最大容许应力,总长,工作载荷,确定尺寸b, h, l 使端部偏转最小、 用材最少，同时不会断裂！,例 3：压缩弹簧设计有一个螺旋压缩弹簧，已知载荷为F，弹簧材料的剪切弹性模量为G，能承受的剪切应力上限为 ，弹簧的非工作圈数为n2，轴向变形量为。试设计这个弹簧使其体积最小。,弹簧钢丝直径 d； 弹簧的平均直径 D2； 弹簧的工作圈数 n1.,
3、其它参数： 旋绕比 C= D2/d ，取值58 曲度系数,设计变量：（1）弹簧钢丝直径 d；（2）弹簧的平均直径 D2；（3）弹簧的工作圈数 n1.,强度条件：,稳定性条件：,变形条件：,目标函数,约束条件 性能约束,几何约束,d0 mm； D20 mm； n10.,p=(0.280.5)D2, H=pn1+(1.52)d,人生规划也是一个优化问题目标：财富、学术？ 要求：健康、家庭？ 怎么做：哪些能力、身体锻炼、学什么、找对象，,优化模型的一般形式,工程优化问题模型,Find: x=(x1,x2,xn) RnMinimize: F(x)=Subject to: hi(x)=0, i=1,2,
4、 p gi(x)0, i=1,2, q,min F(x) s. t. hi(x)=0, i=1,2, p gi(x)0, i=1,2, q,优化模型三要素,设计变量 x=(x1,x2,xn) 目标函数 F(x)=(f1(x), f2(x), , fm(x) 约束条件 等式约束 hi(x)=0, i=1,2, p 不等式约束 gi(x)0, i=1,2, q,优化问题分类 单目标优化问题 多目标优化问题,设计变量,1.设计变量设计过程中，进行选择和调整，最终必须确定的独立参数称为设计变量；固定不变，需要事先给定的参数称为设计常量。（1）维数：设计变量的个数称为设计问题的维数。设计变量愈多，设计自
5、由度愈大，可供选择方案愈多，设计愈灵活，难度愈大，求解愈复杂。,设计变量,（2）设计空间: n 个设计变量的坐标轴所形成的n维实空间称为设计空间，用Rn表示。设计空间中，n 个设计变量的坐标值组成一个设计点，并代表一个设计方案，可采用如下向量表示：,其中，最优设计方案用 表示，称为最优点或优化点。,设计变量,二维设计空间,三维设计空间,X =x1 x2T,x1,X= x1 x2 x3 T,目标函数,目标函数优化设计的任务是在许多可行的方案中找出最优的方案，所谓最优方案是在设计变量中能最好的满足所追求的某些特点的目标，而这些目标又可表达为设计变量的函数，称为目标函数。目标函数可用来评价设计方案的
6、好坏，又称为评价函数。常表示为：,目标函数表征的是设计的某项或某些最重要的特征。 优化设计就是要通过优选设计变量使目标函数达到最优值。 目标函数总可以转化成求最小值的统一形式。,目标函数,等值曲线（面）: 目标函数值相等的所有设计点的集合称为目标函数的等值曲面。二维：等值线；三维：等值面；三维以上：等超越面。,z,等值线族（投影）形象地反映了目标函数值的变化规律，越靠近极值点的等值线，表示的目标函数值越小，其分布也越密集。,x,y,o,等高线,x*（中心极值点）,等值线族,二维设计变量下的等值线投影,约束条件（函数）,对任何设计都有若干不同的要求和限制，将这些要求和限制表示成设计变量的函数，并
7、写成一系列不等式和等式表达式，就构成了设计的约束条件简称约束。其作用是对设计变量的取值加以限制。,约束条件（函数）,根据对设计变量取值的限制形式： 显约束（直接限制）: 如 axb 隐约束（间接限制）: 如 g(x)0根据性质的不同： 边界约束: 直接限制每个设计变量的取值范围或彼此相互关系的一些辅助的区域约束。 性能约束: 由产品性能或设计者要求推导出来的用以间接限制设计变量取值范围的一种约束。,约束条件（函数）,（2）可行域任何一个不等式约束都把设计空间分为两部分，一部分是满足约束条件的称为可行域，另一部分是不满足约束条件的称为非可行域，这两部分的分界是 (约束方程)。在约束边界上的点称为
8、边界点两个以上约束边界的交点称为角点,例1：作出下列约束条件构成的可行域,约束条件（函数）,可行域在约束边界的哪一边怎么确定？,例2：作出下列约束条件构成的可行域,约束条件（函数）,起作用约束 （Active constraints）,设X为设计空间中的一个点： 满足所有约束条件的点称为可行点（内点和边界点）; 不满足所有约束条件的点称为非可行点（外点）; X 在某个约束边界上，则这个约束条件称为X的起作用约束; X 不在某个约束边界上，则这个约束条件称为X的不起作用约束.,约束条件（函数）,起作用约束,设计点X(k)的所有起作用约束的函数序号下标集合用Ik表示，即,约束条件（函数）,优化模型
9、的几何解释,优化模型的几何解释,最优解是等值线在函数值下降方向上与可行域的最后一个交点。,X*=(20,24),优化模型的几何解释,最优解是等值线在函数值下降方向上与可行域的最后一个交点。,优化模型的几何解释,注意！,非线性问题的最优解要么是一个内点，要么是一个边界点； 非线性问题的最优解如果是一个边界点，那么它必定是等值线（面）在函数值下降方向上与可行域的最后一个交点； 线性问题的最优解必定是等值线（面）在函数值下降方向上与可行域的最后一个交点；,一般情况下：,优化问题分类,单目标 多目标,无约束优化 约束优化,线性规划 非线性规划,确定性 非确定性,线性规划二次规划动态规划几何规划整数规划
10、随机规划凸规划,按模型特征的二分类：,常见特殊优化问题：,优化问题求解方法,基于一维搜索 基于区域搜索 基于方程求解 基于直接采样,f(x)=0,基于一维搜索的优化过程,迭代法的基本思想：,从一个初始点 出发，按照一个可行的搜索方向和适当的步长走一步，到达 ，再从 出发，选一个可行的搜索方向和适当的步长走一步，达到 ，并保证每一步函数值都是下降的，即必须满足 （这称为新点的适用性） ，这样一步一步地重复进行数值计算，直至达到目标函数的极小点。,无约束优化问题,第k个迭代点,从第k个迭代点出发寻找下一个迭代点的搜索方向 沿 前进的步长,由于每次迭代求得的新点均为使函数值有所下降的适用点（如果不是
11、适用点，可改变方向和步长另行搜索适用点），则所得各点必将逐步向该函数的极小值点逼近，最后总可求得非常接近该函数理论最优点的近似最优点 。,约束优化问题,对于约束优化问题，除了检查每个新点的适用性外，还要检查其可行性，即是否满足 的约束条件，如果适用性和可行性兼备，再进行下一次迭代，最终自然也能求得非常接近约束最优点的近似最优点 。,综上所述，采用数值法进行迭代寻优时，除了选择初始点 以外，如何确定迭代方向 和步长 成为非常重要的环节，他们将直接决定着搜索的效率、函数值逐步下降的稳定性和优化过程所需的时间等。,A. 点距准则,根据相邻两迭代点 与 间的距离足够小而建立的准则，点距准则可表示为或,
12、数值迭代终止准则（计算精度 的确定）,有什么缺陷？,B. 值差准则,根据相邻的两迭代点的函数值下降量足够小而建立的准则。 绝对下降量准则：相对下降量准则：,有什么缺陷？,C. 梯度准则,根据迭代点的函数梯度达到足够小而建立的准则，表示为,或,迭代法必须要解决的三个问题迭代算法具有收敛性；在收敛性前提下，选择比较好的初始点X(0) 和适宜的终止判据及收敛精度 ；选取使目标函数值下降较快的迭代探索方向 S(k) 和最优的迭代步长 (k) ，确保较快的收敛速度。,如何确定 S(k) 、(k),优化方法,优化设计软件,MATLAB 优化工具箱LINGO 交互式的线性和通用优化求解器 (Lingo System Inc.) iSight、ModelCenter等集成优化软件系统CAD/CAE 软件中优化功能,作 业,P58： 2-1 至 2-4,
