1、1第五节 椭圆A 组 基础题组1.已知方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围是( )22- 22-1A. B.(1,+) C.(1,2) D.(12,2) (12,1)2.椭圆 + =1 上一点 M 到焦点 F1的距离为 2,N 是 MF1的中点,则|ON|等于( )22529A.2 B.4 C.8 D.323.设 F1,F2分别是椭圆 C: + =1(ab0)的左,右焦点,点 P 在椭圆 C 上,线段 PF1的中点在 y 轴上,若2222PF 1F2=30,则椭圆 C 的离心率为( )A. B. C. D.33 36 13 164.已知椭圆 E: + =1(ab0
2、)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交 E 于 A,B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,-22221),则 E 的方程为( )A. + =1 B. + =1245236 236227C. + =1 D. + =1227218 218295.已知椭圆 C: + =1 的左,右焦点分别为 F1,F2,椭圆 C 上的点 A 满足 AF2F 1F2.若点 P 是椭圆 C 上的2423动点,则 的最大值为 ( )1 2A. B. C. D.32 332 94 15426.直线 x-2y+2=0 过椭圆 + =1 的左焦点 F1和一个顶点 B,则椭圆的方程为 . 22227.如图,椭圆 + =1
3、 的左、右焦点分别为 F1、F 2,点 P 在椭圆上 ,若|PF 1|=4,F 1PF2=120,则 a 的值为 2222. 8.(2016 北京西城一模)已知椭圆 C: + =1(m0)的长轴长为 2 ,O 为坐标原点.232 6(1)求椭圆 C 的方程和离心率;(2)设动直线 l 与 y 轴相交于点 B,点 A(3,0)关于直线 l 的对称点 P 在椭圆 C 上,求|OB|的最小值.9.(2017 北京,19,14 分)已知椭圆 C 的两个顶点分别为 A(-2,0),B(2,0),焦点在 x 轴上,离心率为 .32(1)求椭圆 C 的方程;(2)点 D 为 x 轴上一点,过 D 作 x 轴
4、的垂线交椭圆 C 于不同的两点 M,N,过 D 作 AM 的垂线交 BN 于点 E.求证:BDE 与BDN 的面积之比为 45.B 组 提升题组310.已知椭圆 E: + =1(ab0)的右焦点为 F,短轴的一个端点为 M,直线 l:3x-4y=0 交椭圆 E 于 A,B 两2222点.若|AF|+|BF|=4,点 M 到直线 l 的距离不小于 ,则椭圆 E 的离心率的取值范围是( )45A. B. C. D.(0,32 (0,34 32,1) 34,1)11.已知椭圆 + =1(ab0)上的动点到焦点的距离的最小值为 -1,以原点为圆心、椭圆的短半轴长2222 2为半径的圆与直线 x-y+
5、=0 相切,则椭圆 C 的方程为( )2A. + =1 B. + =12322 2422C. +y2=1 D. + =122 262212.已知椭圆 + =1(ab0)的离心率等于 ,其焦点分别为 A,B,C 为椭圆上异于长轴端点的任意一点,2222 13则在ABC 中, 的值等于 . +13.(2017 北京朝阳二模)已知椭圆 W: + =1(b0)的一个焦点的坐标为( ,0).2422 3(1)求椭圆 W 的方程和离心率;(2)若椭圆 W 与 y 轴交于 A,B 两点(A 点在 B 点的上方),M 是椭圆上异于 A,B 的任意一点,过点 M 作 MNy轴于 N,E 为线段 MN 的中点,直
6、线 AE 与直线 y=-1 交于点 C,G 为线段 BC 的中点,O 为坐标原点,求OEG的大小.14.(2017 北京西城一模)如图,已知椭圆 C: + =1(ab0)的离心率为 ,F 为椭圆 C 的右焦点.A(-a,0),2222 12|AF|=3.(1)求椭圆 C 的方程;4(2)设 O 为原点,P 为椭圆上一点,AP 的中点为 M.直线 OM 与直线 x=4 交于点 D,过 O 作 OEDF,交直线x=4 于点 E.求证:OEAP.答案精解精析A 组 基础题组1.C 方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆, 解得22- 22-1 2-0,2-10,2-12-, 12,1,故 k 的
7、取值范围是(1,2).2.B 设椭圆的另一个焦点为 F2.如图,连接 MF2,已知|MF 1|=2,又|MF 1|+|MF2|=10,|MF 2|=10-|MF1|=8.由题意知|ON|= |MF2|=4.故选 B.1253.A 如图,设 PF1的中点为 M,连接 PF2.因为 O 为 F1F2的中点,所以 OM 为PF 1F2的中位线.所以 OMPF 2,所以PF 2F1=MOF 1=90.因为PF 1F2=30,所以|PF 1|=2|PF2|.由勾股定理得|F 1F2|= = |PF2|,|1|2-|2|2 3由椭圆定义得 2a=|PF1|+|PF2|=3|PF2|a= ,2c=|F1F2
8、|= |PF2|c= ,3|2|2 3 3|2|2则 e= = = . 3|2|2 23|2| 334.D 直线 AB 的斜率 k= = ,0-(-1)3-1 12设 A(x1,y1),B(x2,y2),则212+212=1, 222+222=1, -得 =- .1-21-222 1+21+2即 k=- ,22 2-2 = . 2212又 a2-b2=c2=9, 6由得 a2=18,b2=9.椭圆 E 的方程为 + =1,故选 D.218295.B 由椭圆方程知 c= =1,4-3所以 F1(-1,0),F2(1,0),因为椭圆 C 上的点 A 满足 AF2F 1F2,所以可设 A(1,y0)
9、,代入椭圆方程可得 = ,所以 y0= .设 P(x1,y1),则 =(x1+1,y1), =(0,y0),所以 =y1y0,因2094 32 1 2 1 2为点 P 是椭圆 C 上的动点,所以- y 1 ,3 3故 的最大值为 ,选 B.1 23326. 答案 +y2=125解析 直线 x-2y+2=0 与 x 轴的交点为(-2,0),即为椭圆的左焦点,故 c=2.直线 x-2y+2=0 与 y 轴的交点为(0,1),即为椭圆的上顶点,故 b=1.所以 a2=b2+c2=5,所以椭圆的方程为 +y2=1.257. 答案 3解析 由题意知|F 1F2|=2 ,因为|PF 1|=4,|PF1|+
10、|PF2|=2a,所以|PF 2|=2a-4,在F 1PF2中,由余弦2-2定理得 cos 120=42+(2-4)2-(22-2)224(2-4)=- ,解得 a=3.128. 解析 (1)因为椭圆 C: + =1,232所以 a2=3m,b2=m,故 2a=2 =2 ,解得 m=2,3 6所以椭圆 C 的方程为 + =1.2622因为 c= =2,2-2所以离心率 e= = . 63(2)由题意,直线 l 的斜率存在,7设点 P(x0,y0)(y00),则线段 AP 的中点 D 的坐标为 ,(0+32 ,02)且直线 AP 的斜率 kAP= ,00-3由点 A(3,0)关于直线 l 的对称
11、点为 P,得直线 lAP,故直线 l 的斜率为- = ,且过点 D,13-00所以直线 l 的方程为 y- = ,023-00 (-0+32 )令 x=0,得 y= ,则 B ,20+20-920 (0,20+20-920 )由 + =1,得 =6-3 ,206202 20 20化简得 B .(0,-220-320 )所以|OB|= =|y0|+|-220-320 | 32|0|2|0|32|0|= .6当且仅当|y 0|= ,32|0|即 y0= - , 时等号成立.62 2 2所以|OB|的最小值为 .69. 解析 本题考查椭圆的方程和性质,直线的方程等知识,考查运算求解能力.(1)设椭圆
12、 C 的方程为 + =1(ab0).2222由题意得 =2,=32,8解得 c= .3所以 b2=a2-c2=1.所以椭圆 C 的方程为 +y2=1.24(2)证明:设 M(m,n),则 D(m,0),N(m,-n).由题设知 m2,且 n0.直线 AM 的斜率 kAM= ,故直线 DE 的斜率 kDE=- .+2 +2所以直线 DE 的方程为 y=- (x-m),+2直线 BN 的方程为 y= (x-2).2-联立得=-+2 (-),= 2-(-2),解得点 E 的纵坐标 yE=- .(4-2)4-2+2由点 M 在椭圆 C 上,得 4-m2=4n2.所以 yE=- n.45又 SBDE =
13、 |BD|yE|= |BD|n|,12 25SBDN = |BD|n|,12所以BDE 与BDN 的面积之比为 45.B 组 提升题组10.A 直线 l:3x-4y=0 过原点,从而 A,B 两点关于原点对称,于是|AF|+|BF|=2a=4,所以 a=2.不妨令M(0,b),则由点 M(0,b)到直线 l 的距离不小于 ,得 ,即 b1.所以 e2= = =45 432+(-4)2 45 222-22 ,又 0e1,4-24 34所以 e ,故选 A.(0,32911.C 由题意知 a-c= -1,b= =1,所以 a2-c2=1,联立,解得 所以椭圆 C 的方程为221+1 =2,=1,+
14、y2=1.故选 C.2212. 答案 3解析 在ABC 中,由正弦定理得 = ,因为点 C 在椭圆上,所以由椭圆定义知+ |+|CA|+|CB|=2a,而|AB|=2c,所以 = = =3.+ 22113. 解析 (1)依题意得,a=2,c= ,3所以 b2=a2-c2=1,则椭圆 W 的方程为 +y2=1.24离心率 e= = . 32(2)设 M(x0,y0),x00,则 N(0,y0),E .(02,0)因为 A(0,1),所以直线 AE 的方程为 y-1= x.2(0-1)0令 y=-1,得 C .(01-0,-1)又 B(0,-1),G 为线段 BC 的中点,所以 G .(02(1-
15、0),-1)所以 = ,(02,0)= ,(02- 02(1-0),0+1)所以 = +y0(y0+1)= - + +y0.0202- 02(1-0) 204204(1-0)20因为点 M 在椭圆 W 上,则 + =1,2042010所以 =4-4 .20 20所以 =1- +y0=1-y0-1+y0=0,204(1-0)因此 .故 OEG=90.14. 解析 (1)依题意,得 =12,+=3,解得 a=2,c=1.所以 b2=a2-c2=3,所以椭圆 C 的方程是 + =1.2423(2)证明:由(1)得 A(-2,0).设 M(x0,y0),P(x1,y1).设直线 AP 的方程为 y=k(x+2)(k0),将其代入椭圆方程,整理得(4k 2+3)x2+16k2x+16k2-12=0,所以-2+x 1=.-16242+3所以 x0= ,y0=k(x0+2)= ,-8242+3 642+3即 M .(-8242+3, 642+3)所以直线 OM 的斜率为 =- ,642+3-8242+3 34所以直线 OM 的方程是 y=- x.34令 x=4,得 D .(4,-3)由 F(1,0),得直线 DF 的斜率是-34-1=- ,1因为 OEDF,所以直线 OE 的斜率为 k,
