1、1第一节 变化率与导数、导数的计算A 组 基础题组1.(2015 北京东城一模)记函数 f(x)的导数为 f (x),若 f(x)对应的曲线在点(x 0,f(x0)处的切线方程为 y=-x+1,则( )A.f (x0)=2 B.f (x0)=1C.f (x0)=0 D.f (x0)=-12.曲线 f(x)= 在点(1, f(1)处的切线的倾斜角为 ,则实数 a=( )2+a+1 34A.1 B.-1 C.7 D.-73.已知 f(x)=x(2 014+ln x),若 f (x0)=2 015,则 x0=( )A.e2 B.1 C.ln 2 D.e4.已知 y=f(x)是可导函数,如图,直线 y
2、=kx+2 是曲线 y=f(x)在 x=3 处的切线,令 g(x)=xf(x),g(x)是g(x)的导函数,则 g(3)=( )A.-1 B.0 C.2 D.45.已知 f(x)为偶函数,当 x0 时, f(x)=e -x-1-x,则曲线 y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是 . 6.已知 aR,设函数 f(x)=ax-ln x 的图象在点(1, f(1)处的切线为 l,则 l 在 y 轴上的截距为 . 7.已知函数 f(x)=ex-mx+1 的图象为曲线 C,若曲线 C 存在与直线 y=ex 垂直的切线,则实数 m 的取值范围为 . 28.已知函数 f(x)=x- ,g(x)=a(2-l
3、n x)(a0).若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在 x=1 处的切线斜率相同,2求 a 的值,并判断两条切线是否为同一条直线.9.已知函数 f(x)= x3-2x2+3x(xR)的图象为曲线 C.13(1)求过曲线 C 上任意一点切线斜率的取值范围;(2)若在曲线 C 上存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线 C 的切点的横坐标的取值范围.B 组 提升题组10.已知函数 f(x)=ex-2ax,g(x)=-x3-ax2.若不存在 x1,x2R,使得 f (x1)=g(x2),则实数 a 的取值范围为( )A.(-2,3) B.(-6,0)C.-2,3 D.-6,011.已知 f
4、(x)=acos x,g(x)=x2+bx+1,若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在交点(0,m)处有公切线,则 a+b=( )A.-1 B.0 C.1 D.212.若函数 f(x)=ln x+ax 的图象存在与直线 2x-y=0 平行的切线,则实数 a 的取值范围是 . 13.设函数 f(x)=ax- ,曲线 y=f(x)在点(2, f(2)处的切线方程为 7x-4y-12=0.(1)求 f(x)的解析式;(2)证明:曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.3答案精解精析A 组 基础题组1.D 2.C 3.B 4.B 5
5、. 答案 y=2x解析 当 x0 时,-x0),点(1,2)在曲线 f(x)=ex-1+x(x0)上,易知 f (1)=2,故曲线 y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是 y-2=f (1)(x-1),即 y=2x.6. 答案 1解析 本题主要考查导数的几何意义以及直线方程与截距.由题意可知 f (x)=a- ,1所以 f (1)=a-1,因为 f(1)=a,所以切点坐标为(1,a),所以切线 l 的方程为 y-a=(a-1)(x-1),即 y=(a-1)x+1.令 x=0,得 y=1,即直线 l 在 y 轴上的截距为 1.7. 答案 (1e,+ )解析 函数 f(x)=ex-mx+1 的导
6、函数为 f (x)=ex-m,要使曲线 C 存在与直线 y=ex 垂直的切线,则需 ex-m=- 有解,即 m=ex+ 有解,1e 1e由 ex0,得 m ,则实数 m 的取值范围为 .1e (1e,+ )8. 解析 根据题意有曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线斜率为 f (1)=3,4曲线 y=g(x)在 x=1 处的切线斜率为 g(1)=-a.又 f (1)=g(1),所以 a=-3.曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程为 y-f(1)=3(x-1),得 y+1=3(x-1),即切线方程为 3x-y-4=0.曲线 y=g(x)在 x=1 处的切线方程为 y-g(1)=3(x-1)
7、,得 y+6=3(x-1),即切线方程为 3x-y-9=0,所以两条切线不是同一条直线.9. 解析 (1)由题意得 f (x)=x2-4x+3,则 f (x)=(x-2)2-1-1,即过曲线 C 上任意一点切线斜率的取值范围是-1,+).(2)设曲线 C 的其中一条切线的斜率为 k,则由(2)中条件并结合(1)中结论可知, k-1,-1k-1,解得-1k-2a,g(x)=-3x2-2ax , -2a,a23 a23解得-6a0.11.C 依题意得, f (x)=-asin x,g(x)=2x+b, f (0)=g(0),-asin 0=20+b,故 b=0,m=f(0)=g(0),m=a=1,
8、因此 a+b=1,选 C.12. 答案 (-,2-1) (2-1,2)解析 f (x)= +a(x0).1函数 f(x)=ln x+ax 的图象存在与直线 2x-y=0 平行的切线,方程 +a=2 在区间(0,+)上有解,即1a=2- 在区间(0,+) 上有解,a2.若直线 2x-y=0 与曲线 f(x)=ln x+ax 相切,1设切点为(x 0,2x0),5则 解得 x0=e,a=2- .10+=2,20= 0+0, 1综上,实数 a 的取值范围是 .(-,2-1) (2-1,2)13. 解析 (1)方程 7x-4y-12=0 可化为 y= x-3,74当 x=2 时,y= ,故 2a- =
9、 ,12 212又 f (x)=a+ ,即有 a+ = ,2 474解得 a=1,b=3.故 f(x)=x- .3(2)证明:设 P(x0,y0)为曲线上任一点,由(1)知, f (x)=1+ ,则曲线在点 P(x0,y0)处的切线方程为 y-32y0= (x-x0),即 y- = (x-x0).(1+320) (0-30)(1+320)令 x=0,得 y=- ,从而得切线与直线 x=0 的交点坐标为 .60 (0,-60)令 y=x,得 y=x=2x0,从而得切线与直线 y=x 的交点坐标为(2x 0,2x0).所以曲线 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形面积为 |2x0|=6.12 | -60|故曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形的面积为定值,此定值为 6.
