1、构造法求数列通项公式专题讲座,高中数学教师欧阳文丰制作,引言,求数列的通项公式是数列的难点和重点内容，两类特殊数列等差数列和等比数列可以根据公式直接求解，还有些特殊数列可用累加法、累乘法等来直接求解，但有些数列却不能直接求解，它们往往要转化为等差、等比数列和其他数列后再运用各自的通项公式求解，从而体现化归思想在数列中的运用，此时可用构造法求解。,构造法的定义,所谓构造法就是在解决某些数学问题中通过对条件和结论的充分剖析，有时会联想出一些适当的辅助模型，以促成命题的转换，产生新的解题方法。下面就构造法求数列的通项公式的分类和解题方法分别进行论述。,基本思路：可用待定系数法,设,与已知式子相比较得
2、,从而数列 成等比数列,易得.,类型1形如 的递推式,类型1形如 的递推式,例1、已知数列 满足，求数列 的通项公式。,解:因为,得,且,.所以,.从而得,.,类型1形如 的递推式,练习3、已知数列 的前 项和为 ，且 求数列 的通项公式。,类型1形如 的递推式,类型2形如 的递推式,解法：只需构造数列,，消去,带来的差异,一般地，要先在原递推公式两边同除以,，得：,引入辅助数列,（其中,），得：,再用待定系数法解决。,例2、已知数列,中，,，求,解：在,两边乘以,得：,令,，则,解之得：,所以,类型2形如 的递推式,例3、,类型2形如 的递推式,已知数列,前n项和,求 通项公式,.,由,得：
3、,于是,所以,.,上式两边同乘以,得：,由,.于是数列,是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以,练习1、数列 满足 ， 则,解：,构成了一个以,首项 ，公差为3的等差数列，,解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令 ，与已知递推式比较，解出 ,从而转化 为 是公比为p 的等比数列。,类型3形如 的递推式,例4:设数列,：,，求,. 解：设,，将,代入递推式，得,（）则,又,，故,代入（）得,说明：（1）若 为 的二次式，则可设; (2)本题也可由, （ ）两式相减得 转化为 求之.,练习1 数列,前,项和为,且,，求数列,的通项公式。,练习2 在数列an中，a1=1，an+1=4a
4、n+3n+1， 求数列an通项。,a1=1,求数列an通项。,类型四：已知（利用取倒数法，构造等差数列）。,例5：数列,中，若,，,，则,解：,又,是首项为,公差3的等差数列。,例6数列,中，,，求,解：,是首项为,公比为,的等比数列,类型4补充形如 的递推式,.,基本思路：一般的,设,是递推关系,的特征方程,的两个根. (1)当,时,可令,则,为等比数列; (2) 当,时,可令,则,为等差数列。.,例7 在数列,中, 求数列,的通项公式。 解:由于,的特征方程,的两根为, 所以,两式相除得,.则数列,为等比数列. 因为,所以,所以,所以,.,例8已知数列,满足：对于,都有,若,求,解：作特征方程,变形得,令,则,对于,类型5形如 的递推式,定理 设,，且,是,的不动点，数列,满足递推关系,，,，则有,；若,，则,是公比为,的等比数列。,例9（2010北京东城区二模试题）已知数列,满足,，,求数列,的通项公式,解：依题,，记,，令,，求出不动点,；由定理知：,，,， 所以,，又,，所以,所以, 又,，令,，则数列,是首项为,，公比为,的等比数列所以,由,，得,补充例题 设数列,的前项和为,成立，(1)求证：,是等比数列。 (2) 求这个数列的通项公式,
