1、控制工程基础,第5章 控制系统的时间响应,本章主要内容： （1）研究控制系统在输入信号的作用下，输出信号随时间变化的规律，即研究系统的时间响应。 （2）希望系统的时间响应满足稳、准、快的要求。,5.1 时间响应的基本概念,时域分析是指在时间域内研究系统在一定输入信号的作用下，其输出信号随时间的变化情况。控制系统的输出响应是由瞬态响应和稳态响应两部分组成。 瞬态响应：系统在某一典型信号输入作用下，其系统输出量从初始状态到稳定状态的变化过程。瞬态响应也称动态响应，或过渡过程，或暂态响应。 稳态响应：系统在某一典型信号输入的作用下，当时间趋于无穷大时的输出状态，稳态响应有时也称为静态响应。,分析瞬态
2、响应，选择典型输入信号，有如下优点： （1）数学处理简单，在给定典型信号作用下，易确定系统的性能指标，便于系统分析和设计。 （2）在典型信号作用下的瞬态响应，往往可以作为分析系统在复杂信号作用下的基础和依据。 （3）便于进行系统辨识，确定未知环节的参数和传递函数。,常用的典型输入信号有阶跃信号、斜坡信号、加速度信号、脉冲信号及正弦信号。,典型输入信号的选择：,（1）阶跃函数(Step function),这意味着t=0时突然加到系统上的一个幅值不变的外作用。 幅值a=1的阶跃函数，称为单位阶跃函数，用1(t)来表示。一般将阶跃函数作用下的系统的响应特性作为评价系统动态性能指标的依据。,（2）斜
3、坡函数(Ramp function),表示在t=0时刻开始，以恒定速度a随时间变化的函数，也称为速度函数。 当a=1的斜坡函数，称为单位斜坡函数。,（3）加速度函数(Parabolic function),表示在t=0时刻开始，以恒定加速度随时间变化的函数，也称为抛物线函数。 当a=1/2的加速度函数，称为单位加速度函数。,（4）脉冲函数(Impulse function),当a=1时的脉冲函数，称为单位脉冲函数,记为(t)。当系统输入为单位脉冲函数时，其输出响应称为脉冲响应函数。由于(t)函数的拉氏变换等于1，因此系统传递函数即为脉冲响应函数的象函数。,上述各函数之间的关系：,（5）正弦函数
4、(Sinusoidal function),正弦函数(或余弦函数)是控制系统常用的一种典型的输入信号，系统在正弦函数作用下的响应，即频率响应。,究竟采用哪种典型信号来分析和研究系统，需要参照系统正常工作时的实际情况。 系统的输入量是突变的，采用阶跃信号。如室温调节系统。 系统的输入量是随时间等速变化，采用斜坡信号作为实验信号。 系统的输入量是随时间等加速变化，采用抛物线信号。 系统为冲击输入量，则采用脉冲信号。 系统的输入随时间往复变化时，采用正弦信号。,控制工程基础,第5章 控制系统的时间响应 5.2 一阶系统的时间响应,能够用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统，它的典型形式为一阶惯性环节。
5、其中T为时间常数。,闭环极点(特征根)：-1/T,5.2.1 一阶系统的数学模型,单位阶跃输入为,输出为,单位阶跃响应为,5.2.2 一阶系统的单位阶跃响应,根据上式，当t取T的不同倍数时，可得出下表3.1的数据。,表3.1 一阶惯性环节的单位阶跃响应,1/T,xo(t)=1-e-t/T,x0(t),0,1,t,T,2T,3T,4T,63.2%,86.5%,95.0%,98.2%,（1）一阶惯性系统总是稳定的，无振荡。 （2）经过时间T，曲线上升到0.632的高度。反过来，如果用实验的方法测出响应曲线达到0.632的时间，即是惯性环节的时间常数。 （3）经过时间3T4T，响应曲线达稳定值的95
6、98，可以认为其调整过程已经完成，故一般取调整时间(34)T。 （4）在t0处，响应曲线的切线斜率为1/T。,特点,（5）ln1-xo(t) 与时间t 成线性关系,判别系统是否为惯性环节 测量惯性环节的时间常数,其中,为常数。,一阶惯性环节识别曲线,5.2.3 一阶系统的单位脉冲响应,单位脉冲输入为,单位脉冲响应为,输出为,5.2.4 一阶系统的单位斜坡响应,单位斜坡输入为,单位斜坡响应为,输出为,误差计算：,输入为斜坡函数时, 一阶系统存在稳态误差T 。,5.2.5 一阶系统的单位加速度响应,单位加速度输入为,单位加速度响应为,输出为,误差计算：,这就是说，一阶惯性环节在单位加速度信号作用下
7、的稳态误差为无穷大，表示一阶惯性环节不能实现对单位加速度信号的跟踪。,输 入,输 出,三种响应关系,三种输入关系,一阶系统三种典型输入信号及响应关系：,积分时间常数由零初始条件确定。,5.2.6 线性定常系统时间响应的性质,线性定常系统的重要性质 系统对输入信号导数的响应，等于系统对该输入信号响应的导数。 系统对于输入信号积分的响应，等于系统对该输入信号响应的积分，积分时间常数则由零输出的初始条件确定。 注意：该性质只适用于线性定常系统，不适用于线性时变系统和非线性系统。,图5.8 温度测量装置的结构图,例5.1 已知温度测量装置的结构图如图5.8所示，其中T为时间常数。现在采用该装置测量某容
8、器中水的温度，发现需要一分钟的时间才能指示出实际水温98%的数值，试计算该温度测量装置的时间常数 。如果给容器加热，使水温以10/分钟的速度变化，试计算该温度测量装置的稳态指示误差。,解：,控制工程基础,第5章 控制系统的时间响应 5.3 二阶系统的时间响应,凡是能够用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。二阶系统包含两个贮能元件，能量在两个元件之间相互转换，引起系统具有往复振荡的趋势 。例如，由弹簧-质量-阻尼所组成的机械系统和RLC电路网络就是典型的二阶系统。, 阻尼比,无阻尼自然频率或固有频率,5.3.1 二阶系统的数学模型,系统的特征方程：,特征方程的根（闭环极点）,显然，特征根的性质取
9、决于阻尼比的大小，而特征根在复平面的分布决定系统的性能。,特征根位于s平面的左半部。,（1）0 1（欠阻尼）一对实部为负的共轭复根,特征根相等，且位于s平面的负实轴上。,（2） = 1（临界阻尼）两相等的负实根,特征根不相等，且位于s平面的负实轴上。,（3） 1（过阻尼）两不相等的负实根,特征根共轭纯虚根，位于s平面的虚轴上。,（4） = 0（零阻尼/无阻尼）一对共轭纯虚根,特征根位于s平面的右半部。,（5） 0（负阻尼）两根实部为正,例5.2,5.3.2 二阶系统的单位阶跃响应,（1）01（欠阻尼）一对实部为负的共轭复根,将二阶系统的单位阶跃响应分为下列五种情况分别计算： 欠阻尼、临界阻尼、
10、过阻尼、零阻尼、负阻尼,令,阻尼自振角频率,特点： （1）无稳态误差； （2）呈现出以d为角频率的衰减振荡，衰减的快慢由和n决定； （3）振幅随减小而加大。,（查表法）,（2）=1（临界阻尼）两相等的负实根,特点：单调上升，无振荡，无超调，无稳态误。,（3）1（过阻尼）两不相等的负实根,特点：单调上升，无振荡，过渡过程时间长，无稳态误差。,（4）=0（零阻尼）一对共轭纯虚根,特点：零阻尼的等幅振荡，振荡频率为n。n无阻尼固有频率,（5）0（负阻尼）两根实部为正,-1 0，振荡发散, -1，单调发散,上述五种情况分别称为二阶零阻尼、欠阻尼、临界阻尼、过阻尼系统和负阻尼。其阻尼系数、特征根、极点分
11、布和单位阶跃响应如下表所示：,正,正,正,负,负,结论:,二阶系统的阻尼比决定了其振荡特性,0时，阶跃响应发散，统不稳定。 =0时，等幅振荡。 01时，有振荡，愈小，振荡愈严重，但响应愈快。 1时，无振荡、无超调，过渡过程长。,一定时，n越大，瞬态响应分量衰减越迅速，系统能够更快达到稳态值，响应的快速性越好。,工程中除了一些不允许产生振荡的应用，如指示和记录仪表系统等，通常采用欠阻尼系统，且阻尼比通常选择在0.40.8之间，使系统有比较理想的响应曲线，瞬态响应时间短，且系统振荡适度。以保证系统的快速性同时又不至于产生过大的振荡。,0.7 时调节时间最短，称为最佳阻尼比。,5.3.3 二阶系统的
12、单位脉冲响应,阻尼系数,时 间 响 应 函 数（t 0）,特点： （1）衰减振荡。 （2）随着阻尼比的减小，振荡幅度加大。,例5.3,5.3.4 二阶系统的单位斜坡响应,阻尼系数,时 间 响 应 函 数（t 0）,误差计算：,输入为斜坡函数时, 二阶欠阻尼系统存在稳态误差。,误差计算：,输入为斜坡函数时, 二阶临界阻尼系统存在稳态误差。,误差计算：,输入为斜坡函数时, 二阶过阻尼系统存在稳态误差。,控制工程基础,第5章 控制系统的时间响应 5.4 高阶系统的时间响应,5.4.1 高阶系统的单位阶跃响应,一般的高阶机电系统可以分解成若干一阶惯性环节和二阶振荡环节的叠加。其瞬态响应即是由这些一阶惯
13、性环节和二阶振荡环节的响应函数叠加组成。对于一般单输入、单输出的线性定常系统，其传递函数可表示为,输入为单位阶跃时，其响应函数为,如果其极点互不相同，则上式可展开为,经拉氏反变换，得,可见，一般高阶系统瞬态响应是由若干一阶惯性环节和二阶振荡环节的响应函数叠加组成的。当所有极点均具有负实部时，系统稳定。极点的性质决定瞬态分量的类型：实数极点非周期瞬态分量共轭复数极点阻尼振荡瞬态分量。类似于低阶系统，高阶系统的极点的位置决定系统响应的基本形态：极点位于除原点外的虚轴上 等幅振荡极点位于右半复平面 发散极点位于左半复平面 收敛在收敛的情况下，收敛速度取决于极点与虚轴的距离：极点与虚轴的距离越大，收敛
14、速度越快。在收敛的情况下，收敛的平稳性（波动性）基本取决于极点与负实轴的夹角（阻尼），零点也有影响。,例1：已知某高阶系统G(s)的传递函数为,试求该系统的单位阶跃响应。,解：采用MATLAB软件计算,numerator=1 20 100; denominator=1 15 84 223 309 240 100; t=(0:0.1:20); step(numerator,denominator,t);,计算结果显示：,采用MATLAB软件将传递函数改写为零极点形式：,numerator=1 10 100; denominator=1 15 84 223 309 240 100; zpk(tf(
15、numerator,denominator),计算结果显示：,Zero/pole/gain:(s+10)2 - (s+5)2 (s+2)2 (s2 + s + 1),例2：将上例高阶系统G(s)的传递函数改写为零极点形式,即,例3：将上例高阶系统G(s)近似为低阶系统G1(s)来进行处理,采用MATLAB软件计算低阶系统G1的单位阶跃响应：,numerator1=4; denominator1=conv(1 4 4,1 1 1); system1=tf(numerator1,denominator1); t=(0:0.1:20); step(system1,r,t);,低阶系统G1的单位阶跃响
16、应（用红色表示）：,将高阶系统G （用蓝色表示）和低阶系统G1 （用红色表示）的单位阶跃响应画在同一张图上进行对比，发现二者非常近似：,5.4.2 主导极点,当部分极点与虚轴的距离远远小于其他极点与虚轴的距离时，称该部分极点为主导极点。主导极点对系统输出的影响较大，而其他非主导极点对系统输出的影响较小，可以忽略不计。,（1）主导极点与非主导极点,时间常数1（主导极点对应的时间常数）,xo(t),近似 xo(t),近似前后的单位阶跃响应曲线,在一般情况下，当某些极点与虚轴的距离是其它极点与虚轴距离的45倍及以上时，这些极点可以略去。,xo(t),近似 xo(t),结论： 高阶系统的各个闭环极点对
17、系统时间响应的影响程度是不相同的。在s平面左半平面内，距离虚轴越远的极点，其负实部的绝对值就越大，与这些极点相对应的指数项分量与阻尼指数项分量衰减越快。因此，对高阶系统的时间响应进行近似分析时，可以忽略这些分量的影响。 相反地，距离虚轴很近的极点则对系统的时间响应起主导作用，因而这种极点就被称为主导极点。 在工程上，一般将高阶系统中距离虚轴最近、其实部的绝对值为其它极点绝对值的1/5或更小的闭环极点作为主导极点。主导极点对高阶系统的瞬态响应起主导作用。 对于高阶系统，如果能够找到主导极点，就可以忽略其它远离虚轴的极点的影响，近似为一阶或二阶系统进行处理。,当零点与虚轴的距离远大于主导极点与虚轴
18、的距离时，这样的零点可以忽略，称为非主导零点。,（2）主导极点与非主导零点,5.4.3 偶极子相消,系统零点分布对时域响应的影响,高阶系统的各个闭环极点对系统时间响应的影响程度还取决于在各个闭环极点上的留数的相对大小。如果有一对靠得很近的零点和极点，那么就会使此极点上的留数很小，这可以从计算留数的公式中看出。,相距很近的一对零点和极点叫作偶极子。 一对靠得很近的零点和极点，在输出中，与该极点相对应的分量可以忽略，也即这一对靠得很近的零点和极点可以一起消掉，这种情况称为偶极子相消。经验指出，如果闭环零点和极点之间的距离比它们本身的模值小一个数量级时，则这一对零点和极点就构成了偶极子。偶极子的概念
19、对控制系统的综合设计是很有用的，有时可以有目的地在系统中加入适当的零点，以抵消对动态性能影响较大的不利的极点，使系统的性能得到改善。,讨论不同位置偶极子对系统响应的影响： （1）远离原点的偶极子，其影响可略。 （2）接近原点的偶极子，其影响必须考虑。,情况(1)：,情况(1)时的单位阶跃响应曲线,情况(2)：,情况(2)时的单位阶跃响应曲线,情况(3)：,情况(3)时的单位阶跃响应曲线,对于高阶的复杂系统，为了简化分析和设计，常常需要将高阶系统转化为低阶系统，而“主导极点”、“非主导零点”和“偶极子”的概念则是高阶系统低阶化的主要依据。综上所述，对于高阶系统，如果能够找到一对共轭复数主导极点，
20、就可以忽略其它远离虚轴的极点和那些偶极子的影响，从而把它近似成二阶系统来处理，相应的性能指标都可以按二阶系统得到估计，这样就大大简化了系统的分析和设计工作。但是，采用这种方法时必须注意条件。在精确分析中，其它极点和零点对系统时间响应的影响则不能忽略。,控制工程基础,第5章 控制系统的时间响应 5.5 控制系统的动态性能分析,5.5.1 时域性能指标的概念,（1）动态过程与稳态过程,在输入信号的作用下，控制系统的时间响应由动态过程与稳态过程两部分组成。 动态过程又称为过渡过程或瞬态过程，指时间响应从初始状态到最终状态的过程。 稳态过程就是系统的最终状态，即时间趋于无穷大时的时间响应。,（2）动态
21、性能指标与稳态性能指标,在单位阶跃输入信号的作用下，描述控制系统时间响应的指标，称为系统的性能指标。描述动态过程的指标，称为系统的动态性能指标。主要有：上升时间，峰值时间，调整时间，超调量，振荡次数等。描述稳态过程的指标，称为系统的稳态性能指标。主要有：稳态误差。,上升时间tr 响应曲线从零时刻出发首次到达稳态值所需时间。对于无超调系统，响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间。 峰值时间tp 响应曲线从零上升到第一个峰值所需时间。 调整时间ts 响应曲线到达并保持在允许误差范围内所需的时间。其中允许误差范围一般取稳态值的2%或5%。 延迟时间td 响应曲线从0上升到稳态值的50%所需的
22、时间。,（3）评价系统快速性的性能指标,最大超调量Mp 响应曲线的最大峰值与稳态值之差。通常用百分数表示：,振荡次数N 在调整时间ts内，系统响应曲线的振荡次数。实测时，可按响应曲线穿越稳态值次数的一半计数。,（4）评价系统平稳性的性能指标,5.5.2 二阶欠阻尼系统时域性能指标计算,二阶系统在欠阻尼时，在单位阶跃信号的作用下，其输出响应为：,(1)上升时间tr,响应曲线从零到第一次达到稳态值所经过时间。,当t=tr时,由此可见：,当一定时，n越大，则tr越小。tr与n成反比。 当n一定时，越大，则tr越大。,得,(2)峰值时间tp,指输出响应从0开始第一次达到最大峰值所需要的时间。,令,得,
23、，当,时，,峰值时间等于阻尼振荡周期的一半。,当一定时，n越大，则tp越小。 tp 与n成反比。当n一定时，越大，则tp越大。,得,(3)最大超调量Mp,将峰值时间tp代入输出xo(t)，得,峰值时间,得,最大超调量Mp只与阻尼比有关。越大，则Mp 越小，系统的输出的波动性越小，即输出的平稳性越好。一般系统的常用阻尼比的范围：=0.40.8，Mp=25.4%1.5%。,表3.2 不同阻尼比的最大超调量,(4)调整时间ts,瞬态响应曲线进入并永远保持在稳态值%允许误差范围内的最小时间。,即当 t = ts 时，,通常由响应曲线的一对包络线近似计算。在整个瞬态响应过程中，xo(t)总是包络在这对曲
24、线内，同时包络线对称于稳态分量。,包络线：,包络线方程为：,代入,有,得,得,当阻尼比一定时，无阻尼自振角频率n越大，则调整时间ts 越短，系统响应越快。当 较大时，前面两式的近似度降低。当n一定时，变化求ts的极小值，可得当=0.707左右时，系统单位阶跃响应的调整时间ts最短，即响应最快。,在欠阻尼状态下，当00.7时，,而当0.020.05时，,因此，,相对于,可以忽略不计，所以有,(5)振荡次数N,调整时间ts内响应曲线振荡的次数。,N 仅与阻尼比有关。越大，N越小，系统的平稳性越好。,几点结论：,二阶系统的动态性能由固有频率n和阻尼比决定。 增加 降低振荡，减小超调量Mp和振荡次数N
25、。 系统快速性降低，tr、tp、ts增加。 一定，n越大，系统响应快速性越快， tr、tp、ts越小。 Mp、N仅与有关，而tr、tp、ts与和n有关。 通常根据允许的最大超调量Mp来确定。一般选择在0.40.8之间，然后再调整n以获得合适的瞬态响应时间。,小结：对于欠阻尼二阶系统，极点的阻尼角（阻尼比）决定响应的平稳性；阻尼比（阻尼角）一定时，极点与虚轴的距离决定响应的快速性。,例题,例1 如图所示系统，要使系统的最大超调量等于20%，峰值时间等于1秒，试确定增益K和Kh的数值，并确定在此K和Kh数值下，系统的上升时间tr和调整时间ts。,解：（1）系统的闭环传递函数为,此系统为二阶系统，其
26、中,（2）已知系统的最大超调量等于20%，即,可解得系统的阻尼比为,（3）已知系统的峰值时间等于1秒，即,可解得系统的固有频率为,（4）增益K,（5）增益Kh,（6）上升时间tr,（7）调整时间ts,（8）系统的单位阶跃响应曲线,例2 图(a)所示为一机械系统，当在质量M上施加8.9N的阶跃力后，测得其位移的时间响应曲线如图(b)所示，试求系统的质量M、弹簧刚度K和粘性阻尼系数D。,(a) 机械系统,(b) 时间响应曲线,解：（1）根据牛顿第二定律，列出系统的微分方程,在零初始条件下进行拉氏变换，整理后可得系统的传递函数,此系统为比例环节与二阶振荡环节的串联，其中令,（2）已知系统的输入为阶跃
27、力,又已知系统的稳态响应为,根据拉氏变换的终值定理，有,可解得弹簧刚度,其拉氏变换为,（3）已知系统的最大超调量,可解得阻尼比,（4）已知系统的峰值时间,可解得固有频率,，可得质量,（5）因为,（6）因为,，可得粘性阻尼系数,（7）施加8.9N的阶跃力后，系统的响应曲线,习题： P.146 5-1 5-5,控制工程基础,第5章 控制系统的时间响应 5.6 控制系统的稳态性能分析,对控制系统的要求：稳定、准确、快速。 准确性，即系统的精度，是对控制系统的基本要求之一。 系统的精度用系统的稳态误差来度量。 稳态误差是指误差的终值。 本节讨论稳态误差。,5.6.1 稳态误差的基本概念,本课程与误差有
28、关的概念都是建立在反馈控制系统基础之上的。稳态的定义：时间趋于无穷大（足够长）时的固定响应称为控制系统的稳定状态，简称稳态。稳态误差：当系统在特定类型输入信号作用下，达到稳态时系统精度的度量。说明：误差产生的原因是多样的，本节只研究由于系统的结构、参量和输入信号的形式不同等所引起的误差。,系统偏差 ：系统的输入 和主反馈信号 之差。即,系统稳态偏差 ：当t时的系统偏差，用 表示。即,控制系统的方框图如图所示。其中实线部分与实际的控制系统有对应关系，虚线部分只用于说明概念。误差与偏差的定义：,系统误差 ：输出量的希望值 和实际值 之差。即,系统稳态误差 ：当t时的系统误差，用 表示。即,对单位反
29、馈系统，给定作用 即为输出量的希望值 ， ，误差 等于偏差 ，即,对非单位反馈系统，给定作用 不等于希望输出值 ，二者一般相差一个倍数 ，误差 不等于偏差 ，即,误差 和偏差 的关系： 或,这里 是基于控制系统在理想工作情况下，偏差 得到的。,即当控制系统的偏差信号 时，该控制系统无调节控制作用，此时的实际输出信号 就是希望输出信号 。,因为偏差,对于单位反馈系统，因为H(s)=1 ，所以误差等于偏差。 对于非单位反馈系统，因为H(s)1，所以误差不等于偏差，二者相差H(s)倍。 说明：在工程中，在明确误差和偏差的概念的情况下，二者可以不加区分。对于单位反馈系统，可以认为，偏差就是误差，误差就
30、是偏差。,误差 和偏差 的关系：,或,对于单位反馈系统，偏差就是误差，误差就是偏差，二者往往不加区分。实际上，单位反馈系统与非单位反馈系统之间可以相互转换，如下所示。,5.6.2 稳态误差的计算,偏差传递函数：,根据拉普拉斯变换的终值定理，计算稳态偏差：,得系统的偏差：,根据拉普拉斯变换的终值定理，计算稳态误差：,根据误差 和偏差 的关系：,得系统的误差为：,例1：某单位反馈系统如图所示，求当xi(t)=1(t)时的稳态误差。,解：,5.6.3 稳态误差系数,定义： 当=0时，称开环为0型系统，没有积分环节； 当=1时，称开环为I型系统，有1个积分环节； 当=2时，称开环为II型系统，有2个积
31、分环节； ,依次类推。,（1）开环系统的“型”的定义,闭环负反馈控制系统的开环传递函数一般可以表示为:,开环为0型系统:,开环为I型系统:,开环为II型系统:,所对应的稳态误差为：,（2）稳态误差系数的定义,闭环系统在输入信号xi(t)作用下的稳态偏差为：,稳态位置误差系数 闭环系统在单位阶跃输入信号作用下的稳态误差为：,定义稳态位置误差系数：,则闭环系统在单位阶跃输入信号作用下的稳态误差可以写为：,对于单位反馈控制系统，有：,稳态速度误差系数 闭环系统在单位速度输入信号作用下的稳态误差为：,定义稳态速度误差系数：,则闭环系统在单位速度输入信号作用下的稳态误差可以写为：,对于单位反馈控制系统，
32、有：,稳态加速度误差系数 闭环系统在单位加速度输入信号作用下的稳态误差为：,定义稳态加速度误差系数：,则闭环系统在单位速度输入信号作用下的稳态误差可以写为：,对于单位反馈控制系统，有：,开环为0型系统时，=0,（3）不同类型的单位反馈控制系统的稳态误差系数和稳态误差,开环为I型系统时，=0,开环为II型系统时，=0,此表概括了开环分别为0型、型和型时的闭环单位负反馈控制系统在不同输入信号作用下的稳态误差。在对角线上，稳态误差为有限值；在对角线以上部分，稳态误差为无穷大；在对角线以下部分，稳态误差为零。由此表可以得如下结论：(1) 同一个系统，如果输入的控制信号不同，其稳态误差也不同。(2) 同
33、一个控制信号作用于不同的控制系统，其稳态误差也不同。(3) 系统的稳态误差与其开环增益有关，开环增益越大，系统的稳态误差越小；反之，开环增益越小，系统的稳态误差越大。,（4）稳态误差系数和稳态误差的总结,例2：某单位反馈系统如图所示，求闭环系统在单位阶跃、斜坡、加速度输入时的稳态误差。,单位阶跃输入时的稳态误差：,单位斜坡输入时的稳态误差：,单位加速度输入时的稳态误差：,解：单位反馈闭环系统的开环传递函数为I型。,影响稳态误差的因素： （1）给定作用下的稳态误差与外作用有关。对同一系统加入不同的输入，稳态误差不同。 （2）与时间常数形式的开环增益有关。开环增益K，稳态误差，但同时系统的稳定性和
34、动态特性变差。 （3）与积分环节的个数有关。积分环节的个数，稳态误差，但同时系统的稳定性和动态特性变差。减小和消除稳态误差方法： （1）提高系统的开环增益。 （2）增加系统开环传递函数中积分环节的个数。 但是这两种方法会降低系统的稳定性。 由此可见，对稳态误差的要求往往与系统的稳定性和动态特性的要求是矛盾的。 因此，系统的稳定性、准确性与快速性之间的关系是相互关联和相互矛盾的。,系统在多个信号共同作用下总的稳态偏差（误差），等于多个信号单独作用下的稳态偏差（误差）之和。当系统的输入信号由位置、速度和加速度等分量组成时，即,下面再说明几个问题。用稳态误差系数Kp、Kv和Ka表示的稳态误差分别被称
35、为位置误差、速度误差和加速度误差，都表示系统的过渡过程结束后，虽然输出能够跟踪输入，但是却存在着位置误差。速度误差和加速度误差并不是指速度上或加速度上的误差，而是指系统在速度输入或加速度输入时所产生的在位置上的误差。位置误差、速度误差和加速度误差的量纲是一样的。在以上的分析中，习惯地称输出量是“位置”， 输出量的变化率是“速度”，但是，对于误差分析所得到的结论同样适用于输出量为其它物理量的系统。例如在温度控制中，上述的“位置”就表示温度，“速度”就表示温度的变化率，等等。因此，对于“位置”、“速度”等名词应当作广义的理解。,5.6.4 扰动引起的稳态误差,跟随误差：表示系统跟随系统的输入信号的
36、变化所产生的误差，用esr表示。扰动误差：表示系统在扰动信号作用下，系统偏离平衡点的情况，用esn表示。 稳态误差：跟随误差与扰动误差的叠加，用ess表示。 ess=esr+esn,给定作用下的偏差传递函数,扰动作用下的偏差传递函数,对于稳定的系统，采用拉氏变换的终值定理计算稳态偏差,注意：只有稳定的系统，才可以计算稳态偏差。,给定和扰动同时作用下的偏差表达式,例3 系统的结构图如图所示。当输入信号 ，干扰信号 时，求系统的稳态误差 。如果要求稳态误差为零，应当如何改变系统结构?,当给定输入为单位阶跃输入时，稳态误差为,解：（1）给定作用下的误差传递函数为,（2）扰动作用下的误差传递函数为,当
37、扰动输入为单位阶跃输入时，稳态误差为,（3）输入作用与扰动作用共同作用下的稳态误差为,（4）如果要求稳态误差为零，可以在G1中串联积分环节，令,则有,习题： P.146 5-10 5-12,控制工程基础,第5章 控制系统的时间响应 5.7 借助MATLAB进行时间响应分析,5.7.1 基于Toolbox工具箱的时域分析,MATLAB函数： step( )：单位阶跃响应 impulse( ) ：单位脉冲响应 lsim( ) ：任意输入下的时间响应,例1：,MATLAB程序： num=50; den=25 2 1; step(num,den); grid;,运行结果：右图,例2：,MATLAB程序
38、： num=50; den=25 2 1; impulse(num,den); grid;,运行结果：右图,例3：采用step进行计算 MATLAB程序： num=0 0 0 50; den=25 2 1 0; t=0:0.01:100; step(num,den,t); hold on; plot(t,50*t,r); hold on; grid; 运行结果：右图,例4：采用lsim进行计算 MATLAB程序： num=50; den=25 2 1; t=0:0.01:100; r=t; c=lsim(num,den,r,t); plot(t,c); hold on; plot(t,50*r,r); hold on; grid; 运行结果：右图,5.7.2 系统框图输入与仿真工具SIMULINK,SIMULINK= SIMULATION+LINK,
