1、7 向量应用举例,平行、垂直、夹角、距离、全等、相似等，是平面几何中常见的问题，而这些问题都可以由向量的线性运算及数量积表示出来.因此，平面几何中的某些问题可以用向量方法来解决，但解决问题的数学思想、方法和技能，需要我们在实践中去探究、领会和总结.,思考1 用向量方法解决平面几何问题的基本思路是什么？,几何问题向量化 向量运算关系化 向量关系几何化.,探究点1 点到直线的距离公式,仓库,铁路,点到直线的距离,l,l,M,.,: Ax+By+C=0,(x0,y0),点到直线的距离,已知点M(x0, y0)和直线l:Ax+By+C=0.,则点M到直线 l 的距离d为:,点到直线的距离公式,思考2
2、如何借助向量的方法来证明点到直线的距离公式？,l,l: Ax+By+C=0,1.在使用该公式前，需将直线方程化为一般式 2. A=0或B=0，此公式也成立，但当A=0且B=0时一般不用此公式计算距离,特别提醒:,当A=0或B=0时,直线方程为y=y1或x=x1的形式.,Q,Q,(x0,y1),(x1,y0),技巧方法: 认清公式的形式，找准每一个变量代表的数值，准确代入，精确计算.,求下列各点到相应直线的距离,课堂练习,探究点2 几何中的应用举例 例2 如图,已知AD，BE，CF分别是ABC的三条高，求证：AD，BE，CF相交于同一点.,思路分析,解决此类问题一般是将相关的线段用向量表示，利用
3、向量的三角形法则和平行四边形法则，结合题目中的已知条件进行运算，得出结果，再翻译成几何语言 .,简述：,1.建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. 2.通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题. 3.把运算结果“翻译”成几何元素.,思考3 根据例题你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗？,用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：,形到向量,向量的运算,向量和数到形,思考4 物理中力的合成与分解中体现了向量的哪种运算? 提示：体现了向量的加减法的运算. 思考5 在物体的运动过程中,是否力越大,做的功就越多? 提示：不一
4、定.力所做的功不仅取决于力的大小,还和力与物体运动方向的夹角有关系.,探究点3 物理中的应用举例,例3 一架飞机从A地向北偏西60的方向飞行1 000km到达B地，然后向C地飞行.设C地恰好在A地的南偏西60，并且A，C两地相距2 000km，求飞机从B地到C地的位移.,分析:,要求飞机从B地到C地的位移，需要解决两个问题： 利用解三角形的知识求线段BC的长度. 求BC与基线的夹角.,向量解决航空、航海问题方法： 1.按照题意正确作图. 2.分析图形的边角关系. 3.利用平面几何的知识求出答案.,30,分析：本题是向量在物理学中“力学问题”上应用的例子，可以清楚地看出向量的直接作用，根据向量数
5、量积的几何意义，可知对物体所做的功即是表示力的向量和表示位移的向量的数量积.,例4 已知力 与水平方向的夹角为30（斜向上）， 大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力 的作用在 动摩擦因数=0.02的水平平面上运动了20 m.问力 和摩擦力 所做的功分别为多少？（g=10 m/s2）,向量解决物理问题方法： 1.将物理中的矢量用向量表示. 2.找出向量与向量的夹角. 3.利用向量的数量积计算功.,1.证明直径所对的圆周角是直角.,如图所示，已知O，AB为直径，C 为O上任意一点，不与AB重合.求证 ACB=90.,证明：设 则 ， 由此可得：,即 ， ACB=90.,思路分析,本题方法： 1.计算速度的合速度. 2.计算时间必须使速度的方向和位移的方向一致.,答：行驶航程最短时，所用的时间是3.1 min.,注意:用该公式时应先将直线方程化为一般式.,1.点到直线的距离公式： ，,2.掌握用向量方法解决平面几何问题的三个步骤：,
