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§3.2 函数极限的性质.doc
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1、第三章 函数的极限 2 函数极限的性质 数学分析电子教案第 1 页 共 4 页2 函数极限的性质【教学目的】掌握函数极限的基本性质唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性、迫敛性以及四则运算性等,并能应用相关性质解决函数的极限问题。【教学重点】函数极限的性质及其计算。【教学难点】函数极限性质证明及其应用。在1 中我们引入了下述六种类型的函数极限:1) f ( x ) 2) f ( x ) 3) f ( x )xlimxlilim4) 5) 6)000x它们具有与数列极限相类似的一些性质,下面以第 4)种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质.至于其他类型极限的性质及其证明, 只要相应地作些修改
2、即可.定理 3.2(唯一性) 若极限 存在,则此极限是唯一的 .)(li0fx证 设 A 、B 都是 f 当 xx 0时的极限,则对任给的 0 分别存在正数 1 与 2 使得当 0 0 使得对一切 x 0(x0; )有li0xf1)(1)(Axf这就证明了 f 在 0(x0; ) 内有界. 定理 3.4(局部保号性) 若 = A 0 (或 r 0 (或 f(x) 0,对任何 r(0,A)取 =A - r,则存在 0 使得对一切 x 0(x0; )有f(x) A = r这就证明得结论.对于 A 0 分别存在正数 1 与 2 使得当 )(li0fx0g0 0 分别存在正数 1 与 2 使得当 0 0 时有1x 1)0lixa证 任给 0 (不妨设 1 时) 的严格增性,只要Loga(1 ) x loga(1 + )于是,令= minlog a (1+ ),loga(1- ),则当 0 |x| 时,就有(9) 式成立,从而证得结论.
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