1、第二章线性时不变系统 2.1 引言,当线性时不变（LTI linear time-invariant）系统的输入和输出信号都表示为时间的函数时的描述方式称为时域描述。 响应：输入信号经过系统后的输出信号称为系统对对应输入信号的响应。 冲激（脉冲）响应：系统对时间冲激输入信号的输出信号称为系统的冲激响应。对于LTI系统，其冲激响应代表了系统的所有特性，是表征和测试LTI系统的重要方法。,如果保持输入信号的形式不变，只是延迟或超前一段时间，经过系统后的输出信号也只是原来的输出信号延迟或超前一段相同的时间，称该系统为时不变系统,2.1 引言,输入信号可以描述为时移（延迟）单位冲激信号（序列）的线性组
2、合。 可以用四种方法描述LTI系统：输出信号是输入信号与系统冲激响应的卷积；以常系数线性微分方程（连续时间系统）或差分方程（离散时间系统）描述LTI系统的输入输出关系；由乘法器、加法器和延迟器等基本运算单元来描述系统；用状态变量方法描述系统。 四种描述方法是从不同的角度描述同一个系统。第一种方法不考虑系统的具体结构，第二种方法需要考虑系统结构和元件的性能参数，第三种方法把系统结构和元件作用进行了功能化处理，第四种方法则能详细说明系统的结构。,2.2 卷积和的概念,任意离散时间信号可以用时移冲激序列的加权叠加表示，这种方法表示的信号经过LTI系统后的输出可以表示为卷积和的形式。,信号的整体时移冲
3、激序列加权叠加表示,0时刻信号的冲激函数表示,k时刻信号的冲激函数表示,信号的时移冲激序列加权叠加表示,加权因子,图2.1,2.2 卷积和的概念,LTI系统的输出,任意系统的输出,线性系统的输出, 叠加性, 齐次性,图2.2,2.2 卷积和的概念,LTI系统的输出,其中, 非时变性,是LTI系统对单位冲激信号的响应，简称冲激响应, 卷积和,卷积和的中间信号,图2.3,2.3 卷积和的计算,卷积和的计算步骤 1、确定信号和冲激响应（函数），以冲激响应函数或信号对起始原点做反折，并根据输出信号的坐标点做平移； 2、从负无穷开始，到正无穷进行平移； 3、写出所有的中间信号或中间信号的数学表达式； 4
4、、对中间信号的数学表达式或所有的中间信号求和，得到一个坐标点的输出信号； 5、确定一个新的输出函数坐标点，重复步骤3和步骤4； 6、对所有输出函数坐标点重复步骤3和步骤4。,图2.4,2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,2.10,2.11,2.4 卷积积分,连续时间信号的时移冲激加权积分表示,信号经过系统H后的输出,系统H为LTI系统时的输出,其中,图2.17, 2.18,2.19,2.5 卷积积分的计算,1.首先确定f(x)和h(x)取值区间a，b和k，l，考虑到卷积的平移不变性，f(x)和h(x)取值区间均可从零开始，即0，b和0，l； 2. 将h(x)（或f(x) ）以y轴为对称轴旋
5、转180，反折为h(- x)； 3. 将反折后的h(- x)平移为积分中的h(x-)，保持积分中f()的位置不变，将h(x-)的右端h(0)与f()的左端f(0)重合，并计算它们的乘积，得到第一个卷积积分值h(0) f(0)； 4.使h(x -) 整体向右移动一段距离x后，使x = x1，计算f()与h(x1-)在0，x1范围内重合位置的乘积，并求这些乘积的积分（叠加），得到第二卷积积分值h(x1)* f(x1)；,2.5 卷积积分的计算,5. 重复步骤（4），h(x -) 整体向右移动i段距离x后，使x = xi，计算f()与h(xi -)在0，xi范围内重合位置的乘积，并求这些乘积的积分（
6、叠加），得到第i +1个卷积积分值h(xi)* f(xi)； 6.最后一次移动h(x -)，使x = b + l，计算f(b)与h(l)的乘积，得到最后一个个卷积积分值f(b)h(l)； 7.将求出的所有卷积积分值按对应的坐标顺序排列在一起，形成随x坐标变化的卷积积分函数。,2.5 卷积积分的计算0,卷积中的函数f(x)（a）、h(x)（b）及h(x)的反折函数h(-x)（c）,2.5 卷积积分的计算,卷积积分h(x-)与f() 的重合情况 （a）进入重合阶段 （b）完全重合阶段 （c）退出重合阶段,2.5 卷积积分的计算,例2.7: p72,例2.8：p74,2.6 LTI系统的互连卷积积分
7、的性质,交换律性质,输入为x(t)，单位冲激响应h(t)的LTI系统的输出与输入为h(t)和单位冲激响应x(t)的输出是完全相同的,分配性质,LTI系统对两个输入和的响应一定等于系统对单个输入响应的和,结合律性质,卷积和信号的顺序是无关的,2.6 LTI系统的互连卷积积分的性质,2.6.2 LTI系统的级联,一个信号通过第一个LTI系统后的 输出信号再通过第二个LTI系统 后 等效于信号通过了一个冲激响应函数是两个 相当于信号通过由两个LTI系统的冲激响应卷积和构成的一个系统，而且与系统的前后顺序无关。说明LTI系统满足结合律和交换律。,2.7 不同特性LTI系统的冲激响应,2.7.1 无记忆
8、LTI系统的冲激响应,无记忆LTI系统的输出只与当时的输入信号有关，即：,因此，必然有,只关心冲激响应的形式时，得到：,2.7 不同特性LTI系统的冲激响应,2.7.2 因果LTI系统的冲激响应,因果LTI系统的输出只与过去和当时的输入信号有关，即：,由于不满足 条件时，输入信号不一定等于零，因此因果LTI系统的冲激响应必须满足,只关心冲激响应的形式时，得到：,2.7 不同特性LTI系统的冲激响应,2.7.3 稳定LTI系统的冲激响应,其中 是输入信号的最大绝对值。,欲使,当输入为有界时，输出也一定有界的系统称为有界输入有界输出意义下的稳定系统，其输出一定满足,必须,2.7 不同特性LTI系统
9、的冲激响应,2.7.4 可逆LTI系统的冲激响应信号恢复和反卷积,可逆系统是指对一个系统至少存在一个逆系统，使原系统输出信号通过逆系统后还原为输入信号。,系统,系统描述 反卷积,冲激响应,2.8 阶跃响应,系统对单位阶跃输入信号的输出即是阶跃响应。LTI系统的阶跃响应可以系统的冲激响应来描述。,冲激响应的阶跃响应表示,2.9 LTI系统的微分和差分方程描述,一阶微分方程,如果,例2.14,常系数线性微分方程或差分方程具有LTI性质，它们是另外一种描述LTI系统输入输出关系的常用手段。常系数线性微分方程的一般形式是：,ak和bk是与时间无关的常系数，N是方程的阶数,对离散情况，常系数线性微分方程
10、用差分方程表示,2.9 LTI系统的微分和差分方程描述,差分方程的递归求解,例2.15,2.10 微分和差分方程的求解方法,当描写LTI系统的常系数线性微分方程或差分方程中与输入信号直接有关的变化均为零时，该方程称为齐次方程，即：,任何时候都满足齐次方程的解叫齐次解，齐次解可能不止一个！ 在与输入信号直接有关的变化均为零的某一时刻该方程的状态所决定的解，称为满足初始条件的齐次解，这时方程所对应的系统输出信号叫自然响应。,及,2.10 .1 齐次方程、齐次解及自然响应,2.10 微分和差分方程的求解方法,当描写LTI系统的常系数线性微分方程或差分方程中与输入信号直接有关的变化不全为零时，该方程称
11、为非齐次方程。,满足非齐次方程的解可能不止一个，其中任意一个满足非齐次方程的解称为其特解。 当系统的自然响应为零，且零时刻的输出信号仅与零时刻的输入信号有关时，系统的输出信号称为强迫响应。,2.10 .2 非齐次方程、特解及强迫响应,2.10 微分和差分方程的求解方法,在给定输入信号后微分方程任何时候都能够满足的解叫常系数线性微分方程或差分方程的通解。,满足初始条件的非齐次方程的通解完全解，完全解所对应的系统的输出信号就是完全响应。 完全响应就是自然响应与强迫响应的叠加。,2.10 .3 非齐次方程的通解、完全解与完全响应,非齐次常系数线性微分方程或差分方程的通解由其齐次解和一个特解完全确定。
12、,2.10 微分和差分方程的求解方法,1、,2.10 .4 常系数线性微分方程解的形式和求解步骤,是齐次方程的一个解。,2、ri 满足特征方程,3、方程的齐次解：,4、 是方程的一个特解,5、通解,6、完全解满足初始条件的通解,2.10 微分和差分方程的求解方法,1、建立微分方程,2.10 .4 常系数线性微分方程解的形式和求解步骤,2、求方程的齐次解,3、方程在 x (t) = cos(0t)情况下的特解,4、方程的完全解,5、回路的自然响应满足初始条件的齐次解,6、回路的强迫响应初始条件为零的完全解,例：求阻容回路的微分方程及解,7、回路的完全响应满足初始条件的完全解,求解常系数线性微分方程的核心，是将求解微分方程化为求解代数方程！,2.12 LTI系统微分(差分）方程的方框图表示,线性常系数差分和微分方程的LTI系统可以用若干基本运算的方框图表示。方框图内部的基本运算部件可以分为三种：数乘器、加法器和积分（或延迟）器。,乘数器,加法器,延迟器,积分器,2.12 LTI系统微分方程的方框图表示,由,得,2.12 LTI系统微分方程的方框图表示,2.12 LTI系统的状态变量描述,2.12 LTI系统的状态变量描述,由图中可得,
