1、三角形的重心,高中数学 毛 维,播种行为，收获习惯！,主要内容：一、 三角形重心的定义 二、 重心的五个重要性质 三、 三角形的五“心”简介,连接AD,BE,交于点O，,O点即为ABC的重心.,如图所示：在ABC中， 点D、E分别是BC、 AC的中点.,A,B,C,D,E,重心的定义,三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心,重心分中线之比为2:1. 即 AO:OD=2:1,A,B,C,D,E,O,取EC中点H，连接DH,可证 AO：OD= 2:1,重心性质1,重心性质2,连接CO并延长，交AB于F,根据性质1，可以证明,过点D作DG/CF ，交AB于G,三角形的三中线必然交于一点. 此
2、点恰是重心.,故F为AB中点.,AF:FG=2:1,FG:GB=1:1,分别延长中线，可交对边的中点.,易知：SAOB= 2SBOD= SBOC,重心性质3,B,C,O,A,由中线向量的性质：,？,如果O为ABC的重心，那么,重心性质4,B,C,O,A,D,E,F,重心向量常见变化形式：,（2）,（3）中线AD上的点P满足：,（1）,B,C,O,A,N,M,连接AO,因为M、O、N三点共线,可得,所以,重心性质5,，,则 .,，,，,设直线l过重心O，交AB、AC于点M、N，,B,C,A,N,M,它的逆命题也成立！,则直线l必过ABC的,重心,C,【友情链接】,1. （2010年湖北卷）已知A
3、BC和点M满足,，若存在实数m使得,成立，则,（ ）,A2 B,C3 D6,解析：,【补充内容】,三角形“五心”向量形式的充要条件：,设O为ABC所在平面内一点，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,则,（1） O为重心 （三条中线的交点）,（2） O为垂心（三条垂线的交点）,（3） O为外心（中垂线交点，外接圆圆心）,（4） O为内心（角平分线交点，内切圆圆心）,（5） O为A旁心 （旁切圆圆心，A平分线与两外角平分线交点）,(1)(2)(3)常考； (4)(5)只作了解 .,【友情链接】 2.（2009宁夏海南卷）已知O,N,P在ABC所在平面内，且 ， ，,，则O,N,P依次是ABC的,A.重心 外心 垂心,C.外心 重心 垂心,D.外心 重心 内心,B.重心 外心 内心,答案：(C),解析：,提示： 连GA,【课后思考】：1设G为ABC的重心， M、N分别为AB、CA的中点， 求证：四边形GMAN和GBC的面积相等,G,AMG的面积=GBM的面积，GAN的面积=GNC的面积,【课后思考】 2.已知A,B,C三点不共线，且点O满足,，下列结论正确的是（ ）,A.,C.,D.,B.,提示：,小结,1.重心的定义,2.重心五个性质及其变化形式,3.“五心”的认识及其向量的基本形式,4. 友情链接高考试题,聪明由于积累， 天才出于勤奋。,敬请各位老师批评指正！ 谢 谢！,
