1、三角形中的有关公式 1.内角和定理 : 三角形三内角之和为 , 即 A+B+C=.注 任意两角和与第三个角总互补 ;任意两半角和与第三个角的半角总互余 ; 锐角三角形 三内角都是锐角任两角和都是钝角设 ABC 中 , 角 A、 B、 C 的对边为 a、 b、 c, 任意两边的平方和大于第三边的平方 .三内角的余弦值为正值2.正弦定理 : = = =2R(R 为三角形外接圆的半径 ). sinC csinA asinB b注 正弦定理的一些 变 式 :(1)a:b:c=sinA:sinB:sinC; (3)a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC. 已知三角形两边一对角运用正弦定
2、理求解时 , 务必注意可能有两解 .3.余弦定理 : a2=b2+c2-2bccosA, cosA= 等 , 常选用余弦定理鉴定三角形的形状 . b2+c2-a2 2bc4.射影定理 : a=bcosC+ccosB.5.面 积 公式 : S= aha= absinC= r(a+b+c)(其中 r 为 三角形内切 圆 半径 ). 121212特别提醒 : (1)求解三角形中的 问题时 , 一定要注意 A+B+C=这 一特性 : A+B=-C, sin(A+B)=sinC, sin =cos ; (2)求解三角形中含有 边 角混合关系的 问题时 , 常运用正弦定理、余弦定理 实现边 角互化 .A+
3、B2 C2(2)sinA= , sinB= , sinC= ;c2Ra2R b2R应用一 : 解三角形例 1 设 ABC 的三内角 A, B, C 成等差数列 , 三边长 a, b, c 的倒数也成等差数列 , 求三内角 .例 3 在 ABC 中 , 若面积为 S, 且 2S=(a+b)2-c2, 求 tanC 的值 .A=B=C=60 提示 : 令 A-C=2, 可得 : 4cos2-3cos-1=0 得 : cos=1 得 : A=C. A=60, B=30, C=90 43-应用举例例 2 在 ABC 中 , 已知 b= 3 , c=2 3 , 角 A 的平分线 AD=2, 求三角形的三
4、内角的度数 . 应用二 : 判断三角形的形状例 1 ABC 中 , 若 sin2Acos2B-cos2Asin2B=sin2C, 判断 ABC 的形状 . 直角三角形 例 2 在 ABC 中 , 已知 = , 试判断三角形的形状 . sin2A-sin2B+sin2C sin2A+sin2B-sin2C 1+cos2B 1+cos2C 例 4 在 ABC 中 , 已知 (a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sinC, 试判断三角形的形状 .例 5 在 ABC中 , 若 a2sin2B+b2sin2A=2abcosAcosB, (1)试判断三角形的形状 ; (2)若 cosB=4(1-c
5、osA), 求 ABC 三边 a, b, c的比 .直角三角形或等腰三角形 正三角形 直角三角形或等腰三角形 直角三角形 ; 8:15:17 例 3 在 ABC 中 , 已知 (a+b+c)(a+b-c)=3ab, sinA+sinB= 3 , 试判断三角形的形状 .应用三 : 三角形的证明CBADab bbc提示 : (1)法一 : 边换角 法二 : 角换边 (2)法一 : 边换角 法二 : 角换边 法三 : 构造图形 (3)作差换 c2 即可 .差为 : 2(a2+b2)-4absin(C+30) 2(a2+b2)-4ab=2(a-b)20. (正三角形时取等号 ).例 1 在 ABC 中
6、 , 求证 : (1) = ; a-ccosB b-ccosA sinB sinA (2)a2-2abcos(60+C)=c2-2bccos(60+A); (3)a2+b2+c24 3 S(S 为 ABC 的面 积 ). 证 : 由余弦定理知 , cosA, cosB, cosC 为有理数 , cos5 即 -cosC 为有理数 , 而 cos=cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB, 证明 sinAsinB 为有理数即可 (由正弦定理可证 ).或由 coscos5=cos(3-2)cos(3+2) =cos23cos22-sin23sin22 =cos23cos22-(1-co
7、s23)(1-cos22) =cos2Acos2B-(1-cos2A)(1-cos2B) 为有理数 , 且 cos0, cos5 为有理数 知 :cos 为有理数 .例 2 已知 ABC 的三边均为有理数 , A=3, B=2, 试证 cos5 与 cos 均为有理数 .1. ABC 中 , A, B 的 对边 分 别为 a, b, 且 A=60, a= 6, b=4, 那么 满 足条件的 ABC ( ) A.有一个解 B.有两个解 C.无解 D.不能确定 C2.在 ABC 中 , AB 是 sinAsinB 成立的 _条件 . 充要 课后练习3.在 ABC 中 , (1+tanA)(1+ta
8、nB)=2, 则 log2sinC= . 12- 4. ABC 中 , a, b, c 分 别 是角 A, B, C 所 对 的 边 , 若 (a+b+c) (sinA+sinB-sinC)=3asinB, 则 C= .a2+b2-c2 4 35.在 ABC 中 , 若其面 积 S= , 则 C=_. 60 30 6.在 ABC 中 , a=60, b=1, 其面 积为 3 , 则 ABC 外接 圆的直径是 _.2 3937.在 ABC 中 , a, b, c 是角 A, B, C 的 对边 , a= 3 , cosA= , 则 cos2 = , b2+c2 的最大值为 .13B+C 29.设
9、 O 是 锐 角三角形 ABC 的外心 , 若 C=75, 且 AOB, BOC, COA 的面 积满 足关系式 S AOB+S BOC= 3 S COA, 求 A.(0, 6 8.在 ABC 中 , AB=1, BC=2, 则 角 C 的取 值 范 围 是 _. 13 92 45 10.在 ABC 中 , 已知 sinA= , cosB= , 求 cosC 的值 . 13535 60B90, 且 sinB= 1-cos2B = . 131235又 sinA= , 22 0A45 或 135A180. A+B180, 0A45. cosA= 1-sin2A 45= . cosC=-cos(A+
10、B)=sinAsinB-cosAcosB 13545= - 35 1312 = . 6516解 : 在 ABC 中 , cosB= , 135 12解 : (1) (a+c)(a-c)=b(b-c), b2+c2-a2=bc. 11.锐角 ABC 中 , a、 b、 c 分别是角 A、 B、 C 的对边 . (1)若(a+c)(a-c)=b(b-c), 求 A 的大小 ; (2)y=2sin2B+sin(2B+ ) 取最大值时 , 求 B 的大小 . 6故由余弦定理得 cosA= b2+c2-a2 2bc 12= . (2)y=2sin2B+sin(2B+ )=1-cos2B+sin2Bcos
11、 +cos2Bsin 6 6 6 =1- cos2B+ sin2B 12 32 =1+sin(2B- ) 2. 6 A 是锐角三角形的内角 , 0A . 2 A= . 3 当且仅当 B= 时取等号 . 3 B= . 3 12.已知 ABC 的三个内角 A, B, C 成等差数列 , 求 cosAcosC 的取值范围 . 解 : ABC 的三个内角 A, B, C 成等差数列 , 2B=A+C 且 A+B+C=180. B=60, C=120-A. cosAcosC=cosAcos(120-A) =cosAcos120cosA+cosAsin120sinA =- cos2A+ sinAcosA
12、3212 =- (1+cos2A)+ sin2A 3414= sin(2A-30)- . 12 14 0A120, - 302A-30210. - sin(2A-30) 1. 12- cosAcosC . 12 141412即 cosAcosC 的取值范围是 (- , .13.已知锐角 ABC 中 , sin(A+B)= , sin(A-B)= . (1)求证 : tanA=2tanB; (2)设 AB=3, 求 AB 边上的高 . 3515(1)证 : sin(A+B)= , sin(A-B)= , 35 15sinAcosB+cosAsinB= , 3515 sinAcosB-cosAsi
13、nB= , sinAcosB= , 2515 cosAsinB= , tanAtanB =2. tanA=2tanB. (2)解 : 由已知 A+B, sin(A+B)= , 2 35 tan(A+B)=- . 34tanA+tanB 1-tanAtanB 即 =- .34 将 tanA=2tanB代入上式并整理得 :2tan2B-4tanB-1=0. 解得 : tanB=1+ (负值舍去 ). 62 tanA=2tanB=2+ 6 . 设 AB 边上的高为 CD, 则 : 3=AB=AD+DB= + = 3CD2+ 6CDtanACDtanB CD=2+ 6 . AB 边上的高为 2+ 6 .
