1、12.2 等 差 数 列第一课时 等差数列的概念及通项公式(1)等差数列的定义是什么？(2)等差数列的通项公式怎样表示？(3)如何判定一个数列是等差数列？新 知 初 探 1等差数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示点睛 (1)“从第二项起”是指第 1 项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合(2)“每一项减去它的前一项所得的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项” ，强调了：作差的顺序；这两项必须相邻(3)定义中的“同一个常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个
2、常数，否则这个数列不能称为等差数列2等差数列的通项公式已知等差数列 an的首项为 a1，公差为 d.定义 通项公式an an1 d(n2) an a1( n1) d(nN *)点睛 由等差数列的通项公式 an a1( n1) d 可得 an dn( a1 d)，如果设p d， q a1 d，那么 an pn q，其中 p， q 是常数当 p0 时， an是关于 n 的一次函数；当 p0 时， an q，等差数列为常数列小 试 身 手 预习课本 P3539，思考并完成以下问题 21下列数列是等差数列的是_(填序号)5,5,5,5,5；3,7,11,15,19；2，1,0,2,4,6.解析：所给数
3、列是首项为 5，公差为 0 的等差数列所给数列是首项为 3，公差为 4 的等差数列因为 0(1)20，所以这个数列不是等差数列综上，为等差数列答案：2已知等差数列 an中，首项 a14，公差 d2，则通项公式为_解析： a14， d2， an4( n1)(2)62 n.答案： an62 n3已知等差数列 an的前三项依次为 a1， a1,2 a3，则实数 a 的值为_解析：由题意知： a1( a1)2 a3( a1)，即 2 a2， a0.答案：04在1 和 8 之间插入两个数 a， b，使这四个数成等差数列，则公差为_解析：由已知 a(1) b a8 b d，8(1)3 d， d3.答案：3
4、等差数列的通项公式及应用典例 在等差数列 an中，(1)已知 a51， a82，求 a1与 d；(2)已知 a1 a612， a47，求 a9.解 (1) a51， a82，Error!解得Error!(2)设数列 an的公差为 d.由已知得，Error!解得Error! an1( n1)22 n1， a929117.在等差数列 an中，首项 a1与公差 d 是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关 a1， d 的关系列方程组求解，但是要注意3公式的变形及整体计算，以减少计算量活学活用1在等差数列 an中， a22， a34，则 a10_.解析：设等
5、差数列 an的首项为 a1，公差为 d，依题意得Error!由此解得Error! 所以a10 a19 d18.答案：182已知等差数列 an中， a1533， a61217，试判断 153 是不是这个数列的项，如果是，是第几项？解：设首项为 a1，公差为 d，则 an a1( n1) d，由已知Error!解得Error!所以 an23( n1)44 n27，令 an153，即 4n27153，解得 n45N *，所以 153 是所给数列的第 45 项.等差数列的判定与证明典例 已知数列 an满足 a14， an4 (n1)，记 bn .求证：数列4an 1 1an 2bn是等差数列；证明 b
6、n1 bn 1an 1 2 1an 2 1 4 4an 2 1an 2 an2 an 2 1an 2 ，an 22 an 2 12又 b1 ，1a1 2 12数列 bn是首项为 ，公差为 的等差数列12 12要判定或证明一个数列 an是等差数列，主要是利用等差数列的通项公式，证明an1 an d(常数) 活学活用判断下列数列是否为等差数列(1)在数列 an中 an3 n2；(2)在数列 an中 an n2 n.4解：(1) an1 an3( n1)2(3 n2)3( nN *)，由 n 的任意性知，这个数列为等差数列(2)an1 an( n1) 2( n1)( n2 n)2 n2，不是常数，所
7、以这个数列不是等差数列.等差数列通项公式的综合应用题点一：求通项公式中的未知项1在等差数列 an中，首项 a11，公差 d0，若 7ak a1 a2 a7，则k_.解析：因为 a1 a2 a77 a121 d721 d，而 ak1( k1) d，所以 7ak77( k1) d，所以 77( k1) d721 d，即 k4.答案：4题点二：求通项公式中公差的范围2在等差数列 an中，首项 a11，且从第 10 项起开始比 2 大，则公差 d 的取值范围为_解析：由 an1( n1) d，所以Error!即Error!所以 d .19 18答案： (19， 18题点三：求通项公式中共同项3等差数列
8、 an中， a11，公差 d4，若存在另一等差数列 bm， bm3 m1，它们的项数均为 100，则它们有多少对相同的项解：显然，通项分别为 an4 n3， bm3 m1( m， nN *，且 1 n100,1 m100)，令 an bm，得 4n33 m1，即 n .3m 24由 m， nN *,1 n100,1 m100，即Error!所以 m2,6,10，98.所以共有 25 对相同项等差数列通项公式的应用主要使用的是方程思想，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性，遇到一些复杂的方程组时，要注意整体代换思想的运用，使运算更加便捷5层级一 学业水平达标1若等差数列 an中
9、，公差 d ， a28 ，则首项为_34 574解析： a28 a127 ，所以 a16.34 574答案：62若数列 an满足条件： an1 an ，且 a1 ，则 a30_.12 32解析：由已知得数列 an是以 a1 为首项， d 为公差的等差数列32 12 an a1( n1) n n1.12 32 12 12 12 a30 30116.12答案：163在等差数列 an中， a37， a5 a26，则 a6_.解析：设等差数列 an的公差为 d，由题意，得Error!解得Error! an a1( n1) d3( n1)22 n1. a626113.答案：134在等差数列 an中，已知
10、 a3 a810，则 3a5 a7_.解析：设公差为 d，则 a3 a82 a19 d10，3 a5 a74 a118 d2(2 a19 d)20.答案：205已知等差数列 an中， a26， a515，若 bn a2n，则 b15等于_解析：设数列 an的公差为 d，由Error!得Error! an33( n1)3 n， bn a2n6 n， b1561590.答案：906正项数列 an满足： a11， a22,2 a a a (nN *， n2)，则2n 2n 1 2n 1a7_.解析：因为 2a a a (nN ， n2)，所以 a a a a d，所2n 2n 1 2n 1 2n 2
11、n 1 2n 1 2n以数列 a 是以 a 1 为首项，以 d a a 3 为公差的等差数列，所以2n 21 2 216a 13( n1)3 n2，所以 an ， n1，所以 a7 .2n 3n 2 37 2 19答案： 197已知递增的等差数列 an满足 a11， a3 a 4，则 an_.2解析：设等差数列的公差为 d，则由 a3 a 4，得 12 d(1 d)24，2 d24， d2.由于该数列为递增数列， d2. an1( n1)22 n1.答案：2 n18如果有穷数列 a1， a2， am(m 为正整数)满足条件：a1 am， a2 am1 ， am a1，那么称其为“对称”数列例如
12、数列 1,2,5,2,1 与数列8,4,2,4,8 都是“对称”数列已知在 21 项的“对称”数列 cn中， c11， c12， c21是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，则 c2_.解析：因为 c11， c12， c21是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，所以c20 c119 d19219，又 cn为 21 项的对称数列，所以 c2 c2019.答案：199已知等差数列 an的前三项和为3，前三项的积为 8，求等差数列 an的通项公式解：设等差数列 an的首项为 a，公差为 d，则 a2 a1 d， a3 a12 d由题意得Error!解得Error!或Error!所以 an3 n5
13、 或 an3 n7.10已知数列 an满足 a12， an1 ，则数列 是否为等差数列？说明理2anan 2 1an由解：数列 是等差数列，理由如下：1an因为 a12， an1 ，2anan 2所以 ，1an 1 an 22an 12 1an所以 (常数)1an 1 1an 12所以 是以 为首项，公差为 的等差数列1an 1a1 12 12层级二 应试能力达标1等差数列 0，2，4，2 016 的项数是_解析：根据题意，知等差数列 0，2，4，2 016 的首项为 0，公差为2，7所以 an02( n1)22 n.由 22 n2 016，解得 n1 009.答案：1 0092已知 an为等
14、差数列，且 a72 a41， a30，则公差 d_.解析：根据题意得：a72 a4 a16 d2( a13 d) a11， a11.又 a3 a12 d12 d0， d .12答案：123在数列 an中， a13，且对于任意大于 1 的正整数 n，点( ， )都在直线an an 1x y 0 上，则 an_.3解析：由题意得 ，所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，an an 1 3 an 3 3所以 n， an3 n2.an 3答案：3 n24数列 an是首项为 2，公差为 3 的等差数列，数列 bn是首项为2，公差为 4 的等差数列若 an bn，则 n 的值为_解析： an2( n1
15、)33 n1，bn2( n1)44 n6，令 an bn，得 3n14 n6， n5.答案：55设数列 an， bn都是等差数列，且 a125， b175， a2 b2100，那么数列an bn的第 37 项为_解析：设等差数列 an， bn的公差分别为 d1， d2，则( an1 bn1 )( an bn)( an1 an)( bn1 bn) d1 d2，所以数列 an bn仍然是等差数列，公差为 d1 d2.又d1 d2( a2 b2)( a1 b1)100(2575)0，所以数列 an bn为常数列，所以a37 b37 a1 b1100.答案：1006已知 ABC 内有 2 016 个点
16、，其中任意三点不共线，把这 2 016 个点加上 ABC 的三个顶点，共 2 019 个点作为顶点组成互不相叠的小三角形，则一共可组成小三角形的个数为_解析：设 ABC 内有 n 个点时，小三角形有 an个现增加一个点，则此点必落入某一个小三角形内，且此点把此小三角形分成三个与原来所有小三角形都不相叠的三个小三角形，故总数多出了两个，即 an1 an2.因此，数列 an是以 a13 为首项，2 为公差的等8差数列，于是 a20163(2 0161)24 033.答案：4 0337甲、乙两人连续 6 年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示甲调查表明：从第 1 年每个养鸡场出
17、产 1 万只鸡上升到第 6 年平均每个养鸡场出产2 万只鸡乙调查表明：由第 1 年养鸡场个数 30 个减少到第 6 年 10 个请您根据提供的信息说明，求(1)第 2 年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；(2)到第 6 年这个县的养鸡业比第 1 年是扩大了还是缩小了，并说明理由解：由题干图可知，从第 1 年到第 6 年平均每个养鸡场出产的鸡只数成等差数列，记为数列 an，公差为 d1，且 a11， a62；从第 1 年到第 6 年的养鸡场个数也成等差数列，记为数列 bn，公差为 d2，且 b130， b610；从第 1 年到第 6 年全县出产鸡的总只数记为数列 cn，则 cn anbn.(1)
18、由 a11， a62，得Error!Error! a21.2.由 b130， b610，得Error!Error! b226. c2 a2b21.22631.2.(2)c6 a6b621020 c1 a1b130，所以到第 6 年这个县的养鸡业比第 1 年缩小了8已知函数 f(x) ，数列 xn的通项由 xn f(xn1 )(n2 且 nN *)确定3xx 3(1)求证： 是等差数列；1xn(2)当 x1 时，求 x100.12解：(1)证明： xn f(xn1 ) (n2 且 xN *)，3xn 1xn 1 39 ，1xn xn 1 33xn 1 13 1xn 1 (n2 且 xN *)1x
19、n 1xn 1 13 是等差数列1xn(2)由(1)知 ( n1) 2 ，1xn 1x1 13 n 13 n 53 35.1x100 100 53 x100 .135第二课时 等差数列的性质(1)等差数列通项公式的推广形式是什么？该公式有哪些作用？(2)等差中项的定义是什么？(3)等差数列的运算性质是什么？应用此性质可以解决哪些问题？新 知 初 探 1等差数列通项公式的推广通项公式 通项公式的推广an a1( n1) d(揭示首末两项的关系)an am( n m)d(揭示任意两项之间的关系)预习课本 P41 习题 T11T 15，思考并完成以下问题 102.等差中项如果 a， A， b 这三个
20、数成等差数列，那么 A ，把 A 叫做 a 与 b 的等差中项a b23等差数列的性质若 an是公差为 d 的等差数列，正整数 m， n， p， q 满足 m n p q，则： am an ap aq.(1)特别地，当 m n2 k(m， n， kN *)时， am an2 ak.(2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1 an a2 an1 ak an k1 .(3)若 an是公差为 d 的等差数列，则 c an(c 为任一常数)是公差为 d 的等差数列； can(c 为任一常数)是公差为 cd 的等差数列； an an k(k 为常数， kN *)是公差为
21、 2d 的等差数列(4)若 an， bn分别是公差为 d1， d2的等差数列，则数列 pan qbn(p， q 是常数)是公差为 pd1 qd2的等差数列小 试 身 手 1在等差数列 中，若 a24， a42，则 a6_.an解析： 为等差数列，2 a4 a2 a6， a62 a4 a2，即 a62240.an答案：02 x1 与 y1 的等差中项为 10，则 x y_.解析：( x1)( y1)210， x y20.答案：203若 a2 a8180，求 a3 a4 a5 a6 a7_.解析：因为 a2 a82 a5180，所以 a590.又因为 a3 a7 a4 a62 a5，所以a3 a4 a5 a6 a75 a5590450.答案：4504已知数列 an是等差数列，若 a1 a5 a9 a13 a17117，则 a3 a15_.解析： a3 a15 a1 a17 a5 a13，所以 a9117，所以 a3 a15 a9 a9234.答案：234等差中项公式的应用典例 (1)已知数列 xn的首项 x13，通项 xn2 np nq(nN *， p， q 为常数)，且x1， x4， x5成等差数列求 p， q 的值
