1、141 正弦和余弦第 1 课时 正 弦知|识|目|标1在回顾相似三角形性质的基础上理解正弦的定义，能根据直角三角形的边长求锐角的正弦值2在理解正弦定义的基础上能根据直角三角形的已知边与锐角的正弦值求未知边长(线段的长度)3通过对含 30角的直角三角形边之间关系的探索，理解 30角的正弦值并能运用它解决问题目标一 会求锐角的正弦值例 1 教材例 1 针对训练如图 411 所示，在 Rt ABC 中， C90， BC AB，求12sinA 与 sinB 的值图 4112【归纳总结】 1在直角三角形中求锐角的正弦值的步骤(1)找出直角三角形中所求的角；(2)找出这个角的对边及直角三角形的斜边；(3)
2、利用定义 sinA 求出比值即可 A的 对 边斜 边2求锐角的正弦值的“两点注意”(1)求锐角的正弦值的前提是此锐角在直角三角形中，若题目中没有给出直角三角形则应先构造直角三角形再求解；(2)在直角三角形中，如果给出的边的条件不足，应先根据勾股定理计算出边的长度，再根据正弦的定义求得锐角的正弦值目标二 能根据正弦的定义求边长例 2 教材补充例题已知 ABC 中， C90，sin A ， BC2，求 AC， AB 的长13【归纳总结】 已知直角三角形中一边长与一锐角的正弦值求未知边长的情形与方法1已知一边长与一锐角的正弦值求未知边的长，有两种情形：已知锐角的对边，求3斜边；已知斜边，求锐角的对边
3、2常用公式是 sinA 及其变形公式： a csinA； c (c 为 Rt ABC 的斜ac asinA边)3若求邻边 b，则先求出 a 或 c，再利用勾股定理变形公式 b 计算( c 为斜边)c2 a2目标三 运用 30 角的正弦值解决问题例 3 教材补充例题如图 412，一棵树在一次强台风中于离地面 4 米处折断倒下，倒下部分与地面成 30角，求这棵树在折断前的高度图 412【归纳总结】 运用 30 角的正弦值解决问题的思路在含有 30角的直角三角形中，要充分利用 30角的正弦值的特征，将其对边与斜边的比等于 转化为线段之间的关系前面我们学过的“在直角三角形中，30角所对的直角12边等于
4、斜边的一半”是求 30角的正弦值的依据知识点一 正弦的定义4在直角三角形中，锐角 的_与_的比叫作角 的正弦，记作 sin，即sin_注意 (1)“ sin”是一个完整的符号，不能拆开，不要误解成 sin；(2)sin 表示一个比值，由于直角边小于斜边，所以 0 sin1；(3)锐角的正弦值只与锐角的大小有关，与锐角所在的直角三角形的大小无关知识点二 30 角的正弦值(1)sin30_；(2)求 30角的正弦值运用了数形结合的数学思想如图 413，锐角三角形 ABC 中，AB10 cm，BC9 cm，ABC 的面积为 27 cm2.求 sinC 的值解： sinC .ABBC 109上述解题过
5、程有错误吗？若有，请指出来，并写出正确的解题过程图 4135详解详析【目标突破】例 1 解：解法一：BC AB，12 sinA .BCAB 12又AC 2AB 2BC 2AB 2( AB)2 AB2，即 AC AB， sinB .12 34 32 ACAB 32解法二：BC AB，12 ，即 sinA .BCAB 12 12在 RtABC 中， sinA ，BCAB 12设 BCk，则 AB2k，AC k，（ 2k） 2 k2 3 sinB .ACAB 3k2k 32例 2 解析 先由锐角的正弦值得到边之间的关系，再结合勾股定理求出边长解：C90， sinA ， .13 BCAB 13BC2，
6、AB6.由勾股定理，得 AC 4 .AB2 BC2 62 22 32 2AC4 ，AB6.2例 3 解：依题意有 BAC30， BCA90.sin A ，sin30 ，BCAB BCAB 12而 BC4 米， AB8 米，这棵树在折断前的高度为 AB BC12 米答：这棵树在折断前的高度为 12 米6【总结反思】小结 知识点一 对边 斜边 角 的 对 边斜 边知识点二 (1)12反思 解：有错误求一个角的正弦值的前提是将这个角放到直角三角形中正确的解题过程如下：过点 A 作 AH BC 于点 H. S ABC27 cm 2， 9AH27， AH6 cm.12 AB10 cm， BH 8(cm)， HC981(cm)， ACAB2 AH2 102 62 (cm)，12 62 37sin C .AHAC 637 63737
