1、第 4 节 抛体运动的规律【知识要点】1、分解平抛运动的理论依据上节的实验探究得到了这样的结论：平抛运动竖直方向的分运动是自由落体运动，水平方向的分运动是匀速直线运动。这个结论还可从理论上得到论证：物体以一定初速度 v 水平抛出后，物体只受到重力的作用，方向竖直向下，根据牛顿第二定律，物体的加速度方向与所受合外力方向一致，大小为 amg/mg，方向竖直向下；由于物体是被水平抛出的，在竖直方向的初速度为零。所以，平抛运动的竖直分运动就是自由落体运动。而水平方向上物体不受任何外力作用，加速度为零，所以水平方向的分运动是匀速直线运动，速度大小就等于物体抛出时的速度v。2、平抛物体的规律如图 41 所
2、示，以物体水平抛出时的位置为坐标原点，以水平抛出的方向为 x 轴的正方向，竖直向下的方向为 y 轴的正方向，建立坐标系，并从这一瞬间开始计时。（1）位移：水平方向的分运动 xvt竖直方向的分运动 y gt212（2）轨迹：从以上两式中消去 t，可得 y 2vgx2y vgx2 是平抛运动物体在任意时刻的位置坐标 x 和 y 所满足的方程，我们称之为平抛运动的轨迹方程。（3）速度：水平分速度 vxv，竖直分速度 vygt根据运动的合成规律可知物体在这个时刻的速度（即合速度）大小v 22tgyx设这个时刻物体的速度与竖直方向的夹角为 ，则有tan xyv t。3、对平抛运动的进一步讨论（1）飞行时
3、间：由于平抛运动在竖直方向的分运动为自由落体运动，有 21gth，ght2即平抛物体在空中的飞行时间取决于下落高度 h，与初速度 v0 无关。（2）水平射程：由于平抛运动在水平方向的分运动为匀速直线运动，故平抛物体的水平射程即落地点与抛出点间的水平距离 xvt v g2即水平射程与初速度 v 和下落高度 h 有关，与其他因素无关。（3）落地速度：根据平抛运动的两个分运动，可得落地速度的大小O xyv图 41ghvvyxt 22以 表示落地速度与 x 轴正方向间的夹角，有 vxytan即落地速度也只与初速度 v 和下落高度 h 有关。（4）速度改变量：因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度 g，
4、所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔t 内的速度改变量v gt 相同，方向恒为竖直向下。（5）速度与位移两方向间的关系：做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为 ，位移与水平方向的夹角为 。如图 42 所示，由平抛运动规律得tan vgtxy，tan xy vtg21 t所以，tan2tan （6）平抛物体速度反向延长线的特点：如图 643 所示，设平抛运动物体的初速度为 v，从坐标原点 O 到 A 点的时间为 t，A 点的坐标为（x，y） ，B 点的坐标为（x ，0） ，则由平抛运动的规律可得 xvt，y gt2，v ygt12又 tan vy x，联立以上各
5、式解得 。即做平抛运动的物体在任意时刻瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。4、斜抛物体的位置随时间变化的规律如图 43，物体以初速度 v 斜向上抛出，我们以物体离开手的位置为坐标原点，以水平抛出的方向为 x 轴的正方向，竖直向下的方向为 y 轴的正方向，建立坐标系，并从这一瞬间开始计时。物体在水平方向不受任何外力的作用，所以物体在水平方向做匀速直线运动，速度 vx vcos，则物体位置的横坐标随时间变化的规律为 xv xtvtcos；物体在竖直方向只受重力作用，由牛顿第二定律可知，物体的加速度 ag，方向竖直向下。注意，与平抛运动不同的是，小球在竖直方向的初速度并不为零，而是等于
6、vyv sin，由匀变速直线运动规律可得小球位置的纵坐标随时间变化的关系为yv yt at2vt sin gt2。12 125、斜抛物体的运动轨迹从以上两式中消去 t，可得y 2)cos(xvgtan x因此，斜抛物体的运动轨迹为抛物线。我们可作以下讨论：xyOvvxvy图 43xyOvty图 42vxvyB（x，0）A（x，y）xsv（1）对 yax 2bx c，当 x ab2时，y 有最大值 ym ab42c。所以，对上述斜抛运动轨迹方程，当x gvv2sin)cos2(tn2时，y 有最大值 ym vg2i)cs(4ta 。对于炮弹的运动而言，此即弹道曲线最高点的位置坐标，也常称作射高。
7、（2）设斜抛运动轨迹方程中的 y0，则有x1=0， x2 gvgv2sincosin4式中 x2 的物理意义是斜上抛运动的水平射程（如炮弹发射后在同一水平面上的弹着点与发射位置的距离） 。由此式可以知道，要增大射程，一是要增大发射速度，二是适当调节抛射方向，由水平射程表达式可知，在 v 一定时，当 45（ 常称作投射角）时，水平射程有最大值 xm gv2。6、斜抛物体的速度随时间变化的规律我们已经知道，斜抛运动可以看成是水平方向速度为 v cos 和竖直方向初速度为v sin 的竖直上抛运动或竖直下抛运动的合运动，以斜上抛运动为例，从抛出开始计时，经过时间 t 后，物体水平方向的速度 vxtv
8、cos竖直方向的速度 vytv sin gt。根据运动的合成规律可知物体在这个时刻的速度（即合速度）大小 v222 )sin(cogtvytxt 速度的方向可用图 44 中的 表示，tan cosivtxty【例题解析】【例 1】如图 45 所示，一高度为 h0.2m 的水平面在 A 点处与一倾角为 30的斜面连接，一小球以 v05m/s 的速度在水平面上向右运动。求小球从 A 点运动到地面所需的时间（平面与斜面均光滑。g 取 10m/s2） 。某同学对此题的解法为：小球沿斜面运动，则 sinhv 0t g sin t2。12由此可求得落地的时间 t。xyOvvxt图 44vyt图 45hAv
9、0问：你同意上述解法吗？若同意，求出所需的时间；若不同意，则请说明理由，并求出你认为正确的结果。【解析】不同意上述解法，小球应在 A 点离开平面做平抛运动，而不是沿斜面下滑。正确的解法是：假如小球直接落至地面，则小球在空中运动的时间为t 2s.01.2gh落地点与 A 点的水平距离 xv 0t50.2m=1m 。斜面底宽 lhcot0.2 m0.35m。3因为 xl，所以小球离开 A 点后确实不会落到斜面上，而是直接落至地面，因此落地时间即为平抛运动时间 0.2s。【例 2】飞机在 2km 的高空以 360km/h 的速度沿水平航线匀速飞行，飞机在地面上观察者的正上方空投一包裹。 （g 取 1
10、0m/s2，不计空气阻力）（1）试比较飞行员和地面观察者所见的包裹的运动轨迹。（2）包裹落地处离地面观察者多远？离飞机的水平距离多大？（3）求包裹着地时的速度大小和方向。【解析】 （1）飞机上的飞行员以正在飞行的飞机为参照物，从飞机上投下去的包裹由于惯性，在水平方向上仍以 360km/h 的速度沿原来的方向飞行，但由于离开了飞机，在竖直方向上同时进行自由落体运动，所以飞机上的飞行员只是看到包裹在飞机的正下方下落，包裹的轨迹是竖直直线；地面上的观察者是以地面为参照物的，他看见包裹做平抛运动，包裹的轨迹为抛物线。（2）抛体在空中的时间取决于竖直方向的运动，故t s102gh20s包裹在完成竖直方向
11、 2km 运动的同时，在水平方向的位移是xv 0t m6.32000m即包裹落地位置距观察者的水平距离为 2000m。空中的包裹在水平方向与飞机是同方向同速度的运动，即水平方向上它们的运动情况完全相同，所以，落地时包裹与飞机的水平距离为零。（3）包裹着地时，对地面速度可分解为水平方向和竖直方向的两个分速度，vxv 0 100m/s，v ygt1020m/s200m/s故包裹着地速度的大小为vt 2201yx m/s100 m/s224m/s。5而 tan xy 02故着地速度与水平方向的夹角为 arctan2 。【例 3】一水平放置的水管，距地面高 h1.8m ，管内横截面积 S2.0cm 2
12、，有水从管口处以不变的速度 v2.0m/s 源源不断地沿水平方向射出。设出口处横截面积上各处水的速度都相同，并假设水流在空中不散开，g 取 10m/s2，不计空气阻力，求水流稳定后在空中有多少立方米的水？【解析】水由出口处射出到落地所用的时间为t gh单位时间内喷出的水量为 Q Sv空中水的总量为 VQt由以上三式联立可得VSv 108.2.10.24ghm 32.4 410m3。【例 4】如图 46 所示，高为 h 的车厢在平直轨道上匀减速向右行驶，加速度大小为 a，车厢顶部 A 点处有油滴滴下落到车厢地板上，车厢地板上的 O 点位于 A点的正下方，则油滴的落地点必在 O 点的_（填“左 ”
13、或“ 右”）方，离 O 点的距离为_。【解析】因为油滴自车厢顶部 A 点脱落后，由于惯性在水平方向具有与车厢相同的初速度，因此油滴做平抛运动，水平方向做匀速直线运动 x1vt竖直方向做自由落体运动 h gt212又因为车厢在水平方向做匀减速直线运动，所以车厢（O 点）的位移为x2vt at2。12如图 47 所示，xx 1x 2 hgaat21，所以油滴落地点必在 O 点的右方，离 O 点的距离为 h。ag【例 5】在电影或电视中经常可以看到这样的惊险场面：一辆高速行驶的汽车从山顶上落入山谷。为了拍摄重为 15000N 的汽车从山崖上坠落的情景，电影导演通常用一辆模型汽车来代替实际汽车。设模型
14、汽车与实际汽车的大小比例为 125，那么山崖也必须用 125 的比例模型来代替真实的山崖。设电影每秒钟放映的胶片张数是一定的，为了能把模型汽车坠落的情景放映得恰似拍摄实景一样，以达到以假乱真的视觉效果，在实际拍摄的过程中，电影摄影机每秒拍摄的胶片数应为实景拍摄的胶片数的几倍？模型汽车在山崖上坠落前的行驶速度应是真实汽车的实际行驶速度的几倍？【解析】由 h gt2，可得 ht2，又 h 模 h 实 ，所以有 t 模 t 实 ，故实际拍摄时每秒钟12 125 15拍摄的胶片张数应是实景拍摄时胶片张数的 5 倍。因为模型汽车飞行时间是实际汽车飞行时间的 ，而模型汽车在水平方向飞行的距离为15实际汽车
15、在水平方向飞行距离的 ，则由 xv 0t 可得 v0 模 v0 实 。125 15【例 6】观察节日焰火，经常可以看到五彩缤纷的焰火呈球形。一般说来，焰图 48xy图 46AOvAOAx1x2 xO图 47火升空后突然爆炸成许许多多小块（看作发光质点） ，各发光质点抛出速度 v0 大小相等，方向不同，所以各质点有的向上做减速运动，有的向下做加速运动，有的做平抛运动，有的做斜抛运动，这些发光质点怎么会形成一个不断扩大的球面（“礼花”越开越大）呢？请说明理由。【解析】设某一发光质点的抛出速度为 v0，与水平方向夹角为 ，将 v0 沿水平方向（x 轴）和竖直方向（y 轴，向上为正方向）正交分解。由抛
16、体运动的研究可知质点的位置坐标为xv 0 cos tyv 0 sin t gt2。12联立以上两式，消去 即得x2(y gt2)2 ( v0t)212这是一个以 C（0， gt2）为圆心、以 v0t 为半径的圆的方程式。可见，只要初速度12v0 相同，无论初速度方向怎样，各发光质点均落在一个圆上（在空间形成一个球面，其球心在不断下降， “礼花” 球一面扩大，一面下落） ，如图 48 所示。高一物理必修 2 章节练习题（平抛运动）一、选择题1. 做平抛运动的物体，每秒的速度增量总是（ A ）.大小相等，方向相同 .大小不等，方向不同.大小相等，方向不同 .大小不等，方向相同2. 在高空匀速水平飞
17、行的飞机，每隔 1s 投放一物体，则（ AC ）.这些物体落地前排列在一条竖直线上 .这些物体都落在地同上的同一点.这些物体落地时速度大小和方向都相同.相邻物体在空中距离保持不变3. 从高 h 处以水平速度 v0 抛出一物体，物体落地速度方向与水平地面夹角最大的时候，h 与 v0 的取值应为下列四组中的（ D ）.h 30m， v0 10m/s .h 30m， v0 30m/s .h 50m， v0 30m/s .h 50m， v0 10m/s4. 物体做平抛运动时，它的速度方向与水平方向的夹角 的正切 tan 随时间 t 变化的图像是图 1 中的（ B ）tan0 ttan0 ttan0 t
18、tan0 tA B C D图 15. 如图 2 所示,重物 A、B 由刚性绳拴接,跨过定滑轮处于图中实际位置,此时绳恰好拉紧,重物静止在水平面上,用外力水平向左推 A,当 A 的水平速度为 vA时,如图中虚线所示,则此时 B 的速度为( C ). 3/Av. 4. Av. 2/36. 对于一个做平抛运动的物体，它在从抛出开始的四段连续相等的时间内，在水平方向和竖直方向的位移之比，下列说法正确的是（ C ）.1:2:3:4；1:4:9:16 .1:3:5:7；1:1:1:1 .1:1:1:1；1:3:5:7 .1:4:9:16；1:2:3:47. 在用描迹法研究平抛物体的运动的实验中，让小球依次
19、沿同一轨道运动，通过描点画出小球做平抛运动的轨迹，为了能够准确地描绘出运动的轨迹，下面列出了一些操作要求，你认为正确的选项有（ ABCD ）.通过调节，使斜槽的末端保持水平 .每次释放小球的位置必须相同.每次必须由静止释放小球 .小球运动时不应与木板上的坐标纸相接触.记录小球位置用的凹槽每次必须严格地等距离下降.将球位置记录在纸上后，取下纸，用直尺将点连成折线8. 雨滴在空中以 4m/s 的速度竖直下落，人打着伞以 3m/s 的速度向东急行，如果希望让300 600vA F图 2雨滴垂直打向伞的截面而少淋雨，伞柄应指向什么方向（ AC ）.应向前倾斜，与竖直方向成 370 角 .应向后倾斜，与
20、水平方向成 530 角. 应向前倾斜，与水平方向成 530 角 . 应竖直向上9. 如图 3 所示，斜面上有 a、 b、 c、 d 四个点，ab bc cd，从 a 点正上方 以速度 v 水平抛出一个小球，它落在斜面的 b 点；若小球 从 以速度 2v 水平抛出，不计空气阻力，则它落在 斜面上的（ A ）.b 与 c 之间某一点 .c 点 .d 点 .c 与 d 之间某一点10. 平抛物体的运动规律可以概括为两点：（1）水平方向做匀速运动；（2）竖直方向做自由落体运动.为了探究平抛物体的运动规律，可做下面的实验：如图 4 所示，用小锤打击弹性金属片，球就水平习出，同时球被松开，做自由落体运动，
21、无论球的初速度大小如何，也无论两球开始距地面高度如何，两球总是同时落到地面，这个实验（ B ）.只能说明上述规律中的第（1）条. 只能说明上述规律中的第（2）条.不能说明上述规律中的任何一条.能同时说明上述两条规律二、填空题11. 小球在离地面高为 h 处，以初速度 v 水平抛出，球从抛出到着地，速度变化量的大小为 ，方向为 竖直向下 g212. 如图 5 所示，飞机距离地面高 500m，水平飞行速度为 v1 100m/s，追击一辆速度为 v2 20m/s 同向行驶的汽车，欲使投弹击中汽车，则飞机应在距汽车水平距离x 图 4acbdO图 3v1v2图 5800 m 远处投弹. （ g 10m/
22、s2）13. 如图 6 所示为一小球做平抛运动的闪光照片的一部分，图中方格的边长为 5cm，如果取 g 10m/s2,那么（1）闪光频率是 10 z.（2）小球运动的水平分速度为 1.5 m/s.（3）小球经过点时速度的大小为 2.5 m/s.14. 一个同学做研究平抛物体运动实验时，只在纸上记下了重垂线的方向，忘记在纸上记下斜槽末端位置，并只在坐标上描出了如图 7 所示的曲线.现在在曲线上取、两点，用刻度尺分别量出它们到 y 轴的距离 AA x1,BB x2,以及 的竖直距离 h.则小球抛出时的初速度 v0 h2)-x1（g三、计算题15. 、两小球同时从距地面高为 h15m 处的同一点抛出
23、，初速度大小均为v0 10m/s.球竖直向下抛出，球水平抛出， （空气阻力不计，g 取 10m/s2）.求：（1）球经多长时间落地？（2）球落地时，、两球间的距离是多少？解：（1）球做竖直下抛运动，由平抛运动规律可知mh5图 6x1 ABx2AB图 7smv/102gth联立方程解得： st1（2）球做平抛运动，由平抛运动规律可知tvx021gy联立方程解得：x 10m、y 5m此时，球与球的距离为：m210y)-(h22L所以，球经 1s 落地；球落地时，球与球的距离 .m210y)-(hx22L16. 跳台滑雪是勇敢者的运动，它是利用依山势特别建造的跳台进行的，运动员穿着专用滑雪板峭带雪杖
24、在助滑路上取得高速后起跳，在空中飞行一段距离后着陆，这项运动极为壮观，设一位运动员由 a 点沿水平方向跃起，到 b 点着陆，如图 8 所示测得 ab 间距离 40m，山坡倾角 300,试计算运动员起跳的速度和他在空中飞行的时间.（不计空气阻力，g 取 10m/s2）解：由题意知，运动员起跳后做平抛运 动，由平抛运 动规律可知：水平位移 x v0t cos 竖直位移 y gt2/2 sin 题中已知 L 40m， 300 联立方程解得： ，t=2sm/s31v所以，运动员起跳的速度为 ，0他在空中运动的时间为 t=2s.aL图 817. 如图 9 所示，与水平面成 角将一小球以 v0 2m/s
25、的初速度抛出（不计空气阻力，g取 10m/s2）求：（1）抛出多长时间小球距水平面最远？最远距离为多少？（2） 角为多少度时 ,小球具有最大射程 ?,最大射程为多少 ?解：（1）小球抛出后做斜抛运动，以抛出点为坐标原点，水平方向 为 x 轴， 竖直方向为 y 轴建立直角坐 标系，当小球在竖直方向上的分速度为零时，小球达到最高点，即 ，解得0sin0gtvysin2.0si0gvt此时小球距地面高度为 20i.2inty（2）设小球做斜抛运动的水平最大射程为 x当小球在竖直方向上的位移为零时，即 021sin0gtvy解得 时，小球的水平最大射程 为gvtsin0 vtx2sinco0即当 角为
26、 450时,x 有最大射程 xmax=0.4m18. 某同学在做平抛运动实验时，不慎未定好原点，只画出了竖直线，而且只描出了平抛物体的后一部分轨迹，如图 10 所示，依此图只用一把刻度尺，如何计算出平抛物体的初速度 v0？解：在轨迹上取两两水平距离相等的三点、，、点与点的竖直距离分别为 y1、y2，如 图所示.设物体由运动到的时间为 T，有：Tvx0212gy联方方程 解得：图 10yv0图 9x xy2y1y120ygxv19. 甲乙两船在静水中的速度分别是 v 甲 的 v 乙 ，两船从同一渡口的河对岸划去，已知甲船以最短时间过河，乙船以最短航程过河，结果两船抵达对岸的地点恰好相同，求甲、乙两船渡河所用的时间之比.解：设河水速度为 v 水 ，由题信息可知，两船在河水的合速度方向相同且 ，如 图所示，水乙 v则有： 水乙vcos两船在河对岸同一点靠岸则有： 乙乙水甲水 tvt)cos(联立方程 和 解得： 2水 乙水乙甲t由图中几何关系可得： 2cos水甲 甲水乙 vv两边平方整理得： 222v水乙甲乙水甲 即： 22甲乙水 乙水 联立方程 和 解得： 2:甲乙乙甲 vt所以，甲、乙两船渡河所用的时间之比为 2:甲乙乙甲 t v 乙 v 乙合v 甲合v 甲v 水
