1、1第 2 课时 平面直角坐标系中的位似变换一、选择题1如图 K291，在平面直角坐标系中，已知点 O(0，0)， A(6，0)， B(0，8)，以某点为位似中心，作出与 AOB 的位似比为 k 的 CDE，则位似中心的坐标和 k 的值分别为( )图 K291A(0，0)，2 B(2，2)，12C(2，2)，2 D(1，1)，122.如图 K22，已知点 E(4，2)， F(2，2)，以点 O 为位似中心，把 EFO 缩小为原来的 ，则点 E 的对应点 E的坐标为( )122图 K292A(2，1)或(2，1) B(8，4)或(8，4)C(2，1) D(8，4)二、填空题32017阿坝州如图 K
2、293，在平面直角坐标系中，已知 A(1，0)， D(3，0)，ABC 与 DEF 位似，原点 O 是位似中心，若 AB1.5，则 DE_图 K2934 ABC 三个顶点的坐标分别为 A(2，2)， B(4，2)， C(6，6)，在平面直角坐标系中作 DEF，使得 DEF 与 ABC 位似，且以原点 O 为位似中心，位似比为 ，则 DEF 的面积12为_图 K2945.如图 K294，等腰三角形 OBA 和等腰三角形 ACD 是位似图形，则这两个等腰三角形位似中心的坐标是_三、解答题6如图 K295，在平面直角坐标系中， OAB 的顶点坐标分别为 O(0，0)， A(2，1)，B(1，2)(1
3、)以原点 O 为位似中心，在 y 轴的右侧画出将 OAB 放大为原来的 2 倍的图形，并分别写出点 A， B 的对应点 A1， B1的坐标；(2)画出将 OAB 向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位后的 O2A2B2，并写出点A， B 的对应点 A2， B2的坐标；3(3)判断 OA1B1与 O2A2B2是不是，若是，请在图中标出位似中心 M，并写出点 M 的坐标图 K2957 一题多解如图 K296，在 66 的正方形方格中，每个小正方形的边长都为 1，顶点都在网格线交点处的三角形是格点三角形， ABC 是一个格点三角形(1)在图中，请判断 ABC 与 DEF 是否相似，并说明理由；
4、(2)在图中，以点 O 为位似中心，得 ABC 放大为原来的 2 倍；(3)在图中，请画出所有与 ABC 相似，且有一条公共边和一个公共角的格点三角形图 K29641解析 B 如图所示，位似中心 F 的坐标为(2，2)，k 的值为 ，故选 B.FDFO 122解析 A 以点 O 为位似中心，把EFO 缩小为原来的 ，则点 E 的对应点 E的坐12标为4( )，2( )或(4 ，2 )，即(2，1)或(2，1)，故选 A.12 12 12 123答案 4.5解析 ABC 与DEF 是位似图形，它们的位似中心恰好为原点，已知点 A 的坐标为(1，0)，点 D 的坐标为(3，0)，AO1，DO3，
5、.AB1.5，DE4.5.故答案为 4.5.AODO ABDE 134答案 1解析 如图所示，ABC 的面积为 244，DEF 与ABC 位似，且以原点 O12为位似中心，位似比为 ，DEF 与ABC 的面积比为 14，则DEF 的面积为 1.故答案12为 1.5答案 (2，0)解析 如图所示，点 P(2，0)为等腰三角形 OBA 与等腰三角形 ACD 的位似中心故答案为(2，0)56解：(1)如图所示，A 1(4，2)，B 1(2，4)(2)如图所示，A 2(0，2)，B 2(1，1)(3)OA 1B1与O 2A2B2是位似图形，如图，位似中心点 M 的坐标的(4，2)7 解：(1)ABC
6、与DEF 相似理由：AB1，BC ，AC2 ；DE ，EF5 2 2， DF4，10 ，ABC 与DEF 相似ABDE BCEF ACDF 12 22(2)如图所示，ABC即为所求(3)如图所示，ADC，ABF 和CEB 即为所求本章总结提升【整合提升】例 1 解析 D 令 k(k0)，a2 b3 c4则 a2k，b3k，c4k， .故选 D.a bc 2k 3k4k 5k4k 546例 2 解析 D 直线 l1l 2l 3， .EFDE BCABAB5，BH1，CH2，BCBHCH3， ， .故选 D.BCAB 35 EFDE 35例 3 解析 (1)要证 ，只需证明EGCADC；EGAD
7、CGCD(2)由(1)的结论及 EGAF 得 ，可证ADFCDG，从而得ADFCDG.AFAD CGCD解：(1)证明：在EGC 和ADC 中，EGCADC90，CC，EGCADC， .EGAD CGCD(2)FDDG.证明如下：由题意易知四边形 AFEG 是矩形，EGAF. ， ， .EGAD CGCD AFAD CGCD AFCG ADCDCCADBADCAD90，CBAD，ADFCDG，ADFCDG.ADGCDG90，ADFADG90，FDG90，即 FDDG.例 4 解析 C 5 212 213 2，三边长为 5，12，13 的三角形是直角三角形，面积为 51230.127两个三角形的
8、相似比为 ，1339 13则两个三角形的面积比为( )2 ，13 19较大的三角形的面积为 309270.故选 C.例 5 解析 要求楼高 AB，由太阳光所成影子的特点，可通过添加辅助线构造出三角形，加上人和大楼都垂直于地面，可得到相关的三角形相似，从而列式求解解：过点 D 作 DGAB，与 EF 交于点 H，则 EHAGCD1.2 m，DHCE0.8 m，DGCA30 m，FHEFEH1.71.20.5 m.因为 EFAB，所以DHFDGB，所以 ，即 ，FHBG DHDG 0.5BG 0.830解得 BG18.75( m)，所以 ABBGAG18.751.219.95( m)20.0( m
9、)答：楼高 AB 约为 20.0 m.例 6 解：(1)如图所示，A 1B1C1即为所求，点 M1的坐标为(a7，b3)(2)如图所示，A 2B2C2即为所求，点 A2的坐标为(1，4)【章内专题阅读】分类思想在相似三角形中的应用举例江西 许生友 周水平 数学思想是数学的灵魂，是打开数学学习与研究之门的金钥匙其中分类思想是数学思想中的一种重要的思想方法，本文举例说明分类思想在相似三角形中的应用8一、对应边不确定在ABC 中，AB10 cm，BC20 cm，点 P 从 A 开始沿 AB 边向 B 点以 2 cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向 C 点以 4 cm/s 的速度
10、移动，如果 P，Q 分别从 A，B同时出发，经过几秒钟PBQ 与ABC 相似？解析 本题是一道动态开放探索性问题，解决这类问题的思路是：动中求“静” ，“一般”中见“特殊” 由于点 P，Q 在移动过程中的路线都是B(即ABC 或PBQ)的两边，所以只需夹B 的两边对应成比例，则这两个三角形就相似，但没有明确B(即ABC或PBQ)的两边的对应关系，所以存在两种关系：PBQABC 或QBPABC.解：设经过 t s，PBQ 与ABC 相似，则有 AP2t，BQ4t，BP102t.(1)当PBQABC 时，有 ，即 ，解得 t2.5.PBAB BQBC 10 2t10 4t20(2)当QBPABC
11、时，有 ，QBAB BPBC即 ，解得 t1.4t10 10 2t20所以经过 1 s 或 2.5 s，PBQ 与ABC 相似二、对应角不确定如图，A50，B60，一直线 l 与ABC 的边 AC，AB 分别相交于点D，E，当ADE 为多少度时，ABC 与ADE 相似？解析 显然C70，A 是ABC 和ADE 的公共角，如果ADE 等于C 或B，那么ABC 与ADE 相似解：(1)当ADEC70时，ABCAED.(2)当ADEB60时，ABCADE.所以当ADE 等于 70或 60时，ABC 与ADE 相似三、图形的位置不确定如图，直角三角形铁片 ABC 的两条直角边 BC，AC 的长分别为
12、3 cm 和 4 cm，在这个三角形铁片中剪出一块正方形铁片，要使剪去正方形铁片后剩下的边角料最少，应如9何剪？解析 要使剩下的边角料最少，就是要使剪出的正方形铁片面积最大，需要利用相似三角形的性质求出正方形的边长，但剪出正方形的方法有两种，要进行分类讨论解：(1)按图的剪法，设正方形的边长为 x cm，则 AD(4x) cm.因为 DEBC，所以ADEACB，所以 ，即 ，解得 x .ADAC DECB 4 x4 x3 127所以正方形 DCFE 的面积 S1( )2 (cm2)127 14449图 图(2)按图的剪法，设正方形的边长为 y cm，过点 C 作 CHAB，垂足为 H，交 DE 于点M.因为 DEAB，所以CDECAB，所以 .DEAB CMCH因为 AB 5，AC2 BC2又因为 CHABBCAC，所以 CH (cm)，所以 CM( y) cm，345 125 125所以 ，解得 y ，y5125 y125 603710故正方形 DEFG 的面积 S2( )2 (cm2)6037 36001369因为 ，所以 S1S2.1444936001369所以采用(1)的剪法可使正方形的面积最大，即剩下的边角料最少
