1、12.4 一元二次方程根与系数的关系知|识|目|标1通过观察、猜想、归纳，理解一元二次方程根与系数的关系2在熟悉根与系数的关系的基础上，能够利用一元二次方程根与系数的关系求代数式的值目标一 理解一元二次方程根与系数的关系例 1 教材“动脑筋”改编设一元二次方程 ax2 bx c0(其中 a0， b24 ac0)的两根为 x1 ， x2 ，则 x1 x2 b b2 4ac2a b b2 4ac2a b b2 4ac2a ， x1x2 b b2 4ac2a 2b2a ba b b2 4ac2a b b2 4ac2a ，这就是一元二次方程的根与系数的关系，人们称之为韦达（ b） 2 （ b2 4ac
2、） 24a2 ca定理(1)若方程 x2 px q0( p24 q0)的两根为 x1， x2，则x1 x2_， x1x2_；(2)若 2x22 x50 的两根为 x1， x2，则 x1 x2_， x1x2_；(3)如果方程 2x2 mx n0 的两根为 x1， x2，且满足 x1 x22， x1x2 ，那么122m_， n_【归纳总结】 使用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即0.目标二 利用一元二次方程根与系数的关系求代数式的值例 2 高频考题已知 x1， x2是方程 x24 x20 的两根，求：(1) 的值；1x1 1x2(2)x12 x22的值【归纳总结】 常见的代数式
3、变形(1)x12 x22( x1 x2)22 x1x2；(2)(x1 x2)2( x1 x2)24 x1x2；(3) ；1x1 1x2 x1 x2x1x2(4)(x11)( x21) x1x2 x1 x21；(5) .x1x2 x2x1 （ x1 x2） 2 2x1x2x1x23知识点 一元二次方程根与系数的关系一元二次方程 ax2 bx c0( a0， b24 ac0)的两根 x1， x2和系数 a， b， c 有如下关系：x1 x2_， x1x2_点拨 (1)确定一元二次方程的两根之和与两根之积时，必须将原方程整理为一般形式；(2)将一元二次方程的二次项系数化为 1 后，直接利用“若 x2
4、 px q0( p24 q0)的两根为 x1， x2，则 x1 x2 p， x1x2 q”较为方便且不易出错若一元二次方程 x25 x60 的两根分别是 x1， x2，求 x1 x2的值解： x1 x25.上面的解答正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程4详解详析【目标突破】例 1 答案 (1) p q(2)1 52(3)4 1例 2 解析 由 x1，x 2是方程 x24x20 的两根可以求得 x1x 2与 x1x2的值，再分别将 与 x12x 22用含 x1x 2与 x1x2的式子表示，即可求得它们的值1x1 1x2解：因为 x1，x 2是方程 x24x20 的两根，所以 x1x 24，x 1x22.(1) 2.1x1 1x2 x1 x2x1x2 425(2)x12x 22(x 1x 2)22x 1x24 22212.【总结反思】小结 知识点 ba ca反思 解：不正确正解：一元二次方程 x25x60 的两根分别是 x1，x 2，x 1x 2 5.ba
