1、1*2.4 一元二次方程根与系数的关系一、选择题12017怀化若 x1， x2是一元二次方程 x22 x30 的两个根，则 x1x2的值是( )A2 B2 C4 D322017济南关于 x 的方程 x25 x m0 的一个根为2，则另一个根是( )A6 B3 C3 D63已知实数 x1， x2满足 x1 x27， x1x212，则以 x1， x2为根的一元二次方程可以是( )A x27 x120 B x27 x120C x27 x120 D x27 x1204设 a， b 是方程 x2 x20200 的两个根，则 a22 a b 的值为( )A2017 B2018 C2019 D20205已知
2、关于 x 的一元二次方程 x24 x m20 有两个实数根 x1， x2，则 m2( )的1x1 1x2值是( )A. B C4 D4m44 m4426若实数 a， b(a b)分别满足 a27 a20， b27 b20，则 的值为( )ba abA. B.452 492C. 或 2 D. 或 2452 492二、填空题7写出一个以1 和2 为两根的一元二次方程(二次项系数为 1)：_8若矩形的长和宽是方程 2x216 x m0(0 m32)的两根，则矩形的周长为_9若关于 x 的方程 x2( a1) x a20 的两根互为倒数，则 a_10已知关于 x 的方程 x26 x k0 的两根分别是
3、 x1， x2，且满足 3，则 k1x1 1x2的值是_11等腰三角形的三边长分别为 a， b，2，且 a， b 是关于 x 的一元二次方程x28 x n20 的两根，则 n 的值为_三、解答题12已知关于 x 的方程 3x2 mx80 有一个根是 ，求另一个根及 m 的值233132017南充已知关于 x 的一元二次方程 x2( m3) x m0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两实根为 x1， x2，且 x12 x22 x1x27，求 m 的值14已知 ABC 的两边 AB， AC 的长是关于 x 的一元二次方程 x2(2 k5)x k25 k60 的两个实数根， B
4、C 边的长为 5.(1)当 k 为何值时， ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形？(2)当 k 为何值时， ABC 是等腰三角形？并求出此时 ABC 的周长415已知 x1， x2是一元二次方程 4kx24 kx k20 的两个实数根是否存在实数k，使(2 x1 x2)(x12 x2) 成立？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由3216关于 x 的一元二次方程 x2( m3) x m20.(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根；(2)设这个方程的两个实数根为 x1， x2，且| x1| x2|2，求 m 的值及方程的根517 阅读理解题阅读材料，解答问题：为了解方程( x21) 2
5、5( x21)40，如果我们把 x21 看作一个整体，然后设x21 y，则原方程可化为 y25 y40，易得 y11， y24.当 y1 时，即 x211，解得 x ；2当 y4 时，即 x214，解得 x .5综上可知，原方程的根为 x1 ， x2 ， x3 ， x4 .2 2 5 5我们把以上这种解决问题的方法叫作换元法，这种方法通常体现了数学中复杂问题简单化、把未知化成已知的转化思想请根据这种思想完成下列问题：(1)直接应用：解方程 x4 x260.(2)间接应用：已知实数 m， n 满足 m27 m20， n27 n20，则 的值是( )nm mnA. B.152 452C2 或 D2
6、 或152 452(3)拓展应用：已知实数 x， y 满足 3， y4 y23，求 y4的值4x4 2x2 4x461答案 D2解析 B 设方程的另一个根为 n，则有2n5，解得 n3.故选 B.3答案 A4解析 C 把 xa 代入方程 x2x20200 得a2a20200，a 2a2020.a，b 是方程 x2x20200 的两个根，ab1，a 22aba 2aab2020(1)2019.故选 C.5解析 D x 24xm 20 有两个实数根x1，x 2，x 1x 24，x 1x2m 2，m 2( )m 2 m 2 4.1x1 1x2 x1 x2x1x2 4 m26解析 A 由实数 a，b
7、分别满足 a27a20，b 27b20，且 ab，得a，b 是方程 x27x20 的两个根，ab7，ab2， ba ab a2 b2ab .故选 A.（ a b） 2 2abab 49 42 4527答案 (x1)(x2)0 或 x23x20解析 法一：将一元二次方程的两根 x11 和 x22 代入 a(xx 1)(xx 2)0(a0)，得 ax(1)x(2)0(a0)，a(x1)(x2)0.方程的二次项系数为 1，方程为(x1)(x2)0.展开，得 x23x20.法二：两根之和为1(2)3，两根之积为1(2)2，根据根与系数的关系，方程为 x2(x 1x 2)xx 1x20，将代入，得 x2
8、3x20.8答案 16 解析 设矩形的长和宽分别为 x1，x 2，根据题意得 x1x 28，所以矩形的周长为2(x1x 2)16.9答案 1解析 方程的两根互为倒数，两根的乘积为 1，即 a21，a1 或 a1.当 a1 时，原方程化为 x210，方程无实数根，不符合题意，故舍去；当 a1 时，原方程化为 x22x10， 0，符合题意故 a1.710答案 2 解析 x 26xk0 的两个根分别为 x1，x 2，x 1x 26，x 1x2k， 1x1 1x2 3，解得 k2.x1 x2x1x2 6k11答案 18解析 当 2 为底边长时，则 ab，ab8，ab4.4，4，2 能围成三角形，n24
9、4，解得 n18.当 2 为腰长时，a，b 中有一个为 2，则另一个为 6.6，2，2不能围成三角形，此种情况不存在故答案为 18.12解：设方程的另一个根为 t.由题意，得 t ， t ，23 m3 23 83解得 t4，m10.故另一个根为4，m 的值为 10.13解：(1)证明：x 2(m3)xm0， b 24ac(m3) 241(m)m 22m9(m1) 280，方程有两个不相等的实数根(2)x 2(m3)xm0，方程的两实根为x1，x 2，x 1x 2m3，x 1x2m.x 12x 22x 1x27，(x 1x 2)23x 1x27，即(m3) 23(m)7，解得 m11，m 22，
10、即 m 的值是 1 或 2.14解：(1)AB，AC 的长是关于 x 的一元二次方程 x2(2k5)xk 25k60 的两个实数根，ABAC2k5，ABACk 25k6，AB 2AC 2(ABAC) 22ABAC(2k5) 22(k 25k6)4k 220k252k 210k122k 210k13.若ABC 是以 BC5 为斜边的直角三角形，则 AB2AC 2BC 2，即 2k210k1325，k 25k60，k 11，k 26(不合题意，舍去)，即当 k 的值为 1 时，ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形(2)因为 x2(2k5)xk 25k60，8即(xk2)(xk3)0，x 1k2，
11、x 2k3.若 k25，k3，则 k36，此时ABC 的周长55616；若 k35，k2，则 k24，此时ABC 的周长55414.综上，当 k 的值为 3 或 2 时，ABC 是等腰三角形当 k 的值为 3 时，ABC 的周长为16；当 k 的值为 2 时，ABC 的周长为 14.15解：不存在理由如下：根据题意得 4k0，且 b 24ac(4k)244k(k2)0，k0.x 1，x 2是一元二次方程 4kx24kxk20 的两个实数根，x 1x 21，x 1x2 .(2x 1x 2)(x12x 2) ，2(x 1x 2)29x 1x2 ，即k 24k 32 322129 ，解得 k ，而
12、k0，不合题意，舍去，不存在 k 的值，使k 24k 32 185(2x1x 2)(x12x 2) 成立3216 解：(1)证明：b 24ac(m3) 24m 25 0，(m35)2 365无论 m 取何实数，该方程总有两个不相等的实数根(2)x 1，x 2是原方程的两根，x 1x 2m3，x 1x2m 2.|x 1|x 2|2，|x 2|x 1|2，(|x 2|x 1|)22 24，即 x122|x 1x2|x 224.方程有两个不相等的实数根，且 x1x2m 2，x 1x20，x 12x 222x 1x24，即(x 1x 2)24，9x 1x 22.x 1x 2m3，m32，解得 m5 或
13、 m1.当 m1 时，原方程为 x22x10，解得 x11 ，x 21 .2 2当 m5 时，原方程为 x22x250，解得 x31 ，x 41 .26 2617、解：(1)设 x2y，则原方程可化为 y2y60.分解因式，得(y2)(y3)0，解得 y12，y 23.当 y2 时，x 22，此方程无实数根；当 y3 时，x 23，解得 x1 ，x 2 ，3 3原方程的根为 x1 ，x 2 .3 3(2)当 mn 时，则原式112；当 mn 时，则 m，n 是方程 x27x20 的两个不相等的实数根，mn7，mn2，原式 .（ m n） 2 2mnmn 49 42 452综上所述，原式的值是 2 或 .故选 D.452(3)由题意知 ( )2( )3，y 4y 2(y 2)2y 23，4x4 2x2 2x2 2x2 ，y 2是方程 t2t3 的根，2x2解得 t . 113210 0，y 20，2x2 ，y 2 ，2x2 1 132 1 132 y 4( )2(y 2)2( )2( )27.4x4 2x2 1 132 1 132
