导数在中学数学解题中的应用.doc

1、1导数在中学数学解题中的应用摘 要导数不仅是中学教材中必不可少的一部分，也是历年高考的考点。导数在中学数学解题中的应用是十分广泛的，它包含了导数对不等式的证明、求曲线在某一点的切线斜率、分析函数的图像、极值与最优化、函数单调性等方面的应用。应用导数知识解决中学数学问题不仅可以锻炼学生的思维，同时也简化了解题的难度，因此对导数知识进行整理是十分有必要的。本文对导数在中学数学解题中的应用进行了归纳整理，同时也对导数应用中需要注意的几点事项做出了标注，分析了导数应用中的易错点。从而为初学者查询导数相关知识提供了资料。关键词： 导数 中学数学 应用 2ABSTRACTDerivative is not

2、 only an essential part of the middle school textbooks, but also the college entrance examination over the years. The application of derivative in high school in mathematics is very extensive, it contains a proof, derivative of inequality in the analysis of the demand curve, tangent at a point in th

3、e application of function optimization, image, extremum and monotony of function etc The application of derivative knowledge to solve mathematical problems in middle school can not only train the students thinking, but also simplify the difficulty of solving the problem. This paper summarizes the ap

4、plication of derivative in the middle school in mathematics, but also on some matters needing attention in the application of derivative made annotation, analyzes the application of derivative in error prone points. So as to provide useful information for beginners to query derivative knowledge. Key

5、words: Derivatives； Middle school mathematics；application31.绪论导数是微积分中一个重要的核心内容，导数的推广已经十分广泛，大多数的国家已经将导数列入到了中学教材中。在我国，导数也是历年高考常常出现的考点。导数是解决许多数学问题的有力工具，利用导数知识可以解决中学的很多数学问题。可以解决中学数学中计算曲线在某一点的切线斜率、分析函数的性质与图像、求解方程的根、证明不等式、判断函数的单调性、求解最值的最优化问题等。2导数在中学数学解题中的应用2.1 导数在计算曲线在某一点的切线斜率中的应用在计算曲线在某一点的切线斜率的问题时，主要就是利用

6、到导数的几何意义： 在某一点fx的导数 就是曲线 在 处切线的斜率。0,pxy0fxyfx0例 2.1 已知曲线 L： ，求经过点 的曲线 L 的切线方程。212,1p分析：主要是计算出曲线 L 在 P 点处的斜率 K，又因为点 ，此时便可根据点斜式能够计,算出过点 P 的曲线 L 的切线方程了。解：由题意可知：曲线 L： 21yx2yx,1p过点 P 的斜率 K 为：22xk曲线 L 过 P 点的切线方程为： 1y化简得： 230x点评：本题在计算曲线 L 的切线方程时，主要考查的对象是导数的几何意义。例 2.2 在 上求一点 P，使 P 到直线 的距离最短。2xy4y 2分析：本题的解法有

7、多种，它可以利用初等解法，也可以利用导数的几何意义进行计算。下面4我将用不同的解法进行作答，进行对比。便可以充分的体现出导数解题时的便利性。解法 1：平移直线 ，使其与曲线 相切，可知 P 点即为所求。4yx2xy设切线 ，代入曲线方程 ，得：b（1）21xb又因为直线 与曲线 相切，yxy0解得： 12b（1）式为210x故切点为 ,解法 2：设点 则点 P 到直线的距离为：0,pxy2220000 1717442xxxd由上式可知，当 时 取得最小值01xd74故点 P 为 ,2解法 3：由题可知，点 P 必为平行于直线 的直线与抛物线 的切点 。yxb2xy因此过 P 点的切线必定平行于

8、直线 4由导数的几何意义可知， 在 P 点的数值为 121yx又 设 则yx0,p05，故012xy,p点评：利用不同的解法，我们可以清楚地认识到利用导数工具进行求解的简洁性与便利性，掌握导数这一工具，可以提高我们解题的效率。本题在导数方面主要运用的是导数求解曲线的斜率的知识，即利用导数的几何意义进行求解。2.2 导数在分析函数的性质与图像中的运用在利用导数分析图像时应着重注意其切线变化的大小关系。理清导数与函数图像之间的关系。倒数图像与函数的图像有者密不可分的联系，下面我将用 3 个例题来简单讲解他们之间的关系。2.2.1 已知函数图像，画出其导函数的图像例 2.3 已知函数 的图像如图 2

9、.1、图 2.2 所示，请画出其导函数 图像的大致情况fx fx3分析：根据导数与函数图像之间的关系，在已知函数图像的情况下要求其导函数的图像，我们就只需判断出其函数图像在其各个切点的斜率的变化情况，便可以得出其导函数图像的大致情况。解：图 2.1 的 的曲线上的切点的斜率变化是越来越大，当 时，斜率大于 0；当fx 0x时，斜率等于 0；当 时，斜率小于 0.其图 2.1 的导函数图像如图 2.3 所示。0x图 2.2 的 的曲线上的切点的斜率变化是各切点每处都不小于 0，当 时斜率越来越f大；当 时，斜率等于 0；当 时斜率越来越小。其图 2.2 的导函数图像如图 2.4 所示。xy0图

10、2.1 函数图像yx0图 2.2 函数图像yx0图 2.3 导函数图像yx0图 2.4 导函数图像6点评：此类题目在解题时主要应用的是导数与函数图像之间的关系以及利用到导数的几何意义，在解决此类问题时要紧紧抓住切线的斜率的大小变化的情况。2.2.2 已知导函数图像，画出其原函数的图像例 2.4 已知函数 的图像如图 2.5 所示，下面 4 个图像中能大致表示 的图yxf yfx像是（） 3-1 xy0 1图 2.5 导函数图像图 2.5-2 选择原函数图xy0-1 2 3Axy0-1 1 2Bxy0-2 -1 1Cxy0-1 1 2D7分析：根据 的符号变化，可以得到 的符号变化。因此而得到其

11、 的单调性的变化，xfxfx便能够以此来画出其原函数的大致图像。解：由图 2.5 可知，当 时 ，则 ，原函数为增函数，图像上升；当10f 0f时 ，则 ，原函数为减函数，图像下降；当 时 ，10xfxfx 1x0fx则 ，原函数为减函数，图像下降；当 时 ，则 ，原函数为增函f 1xfx0f数，图像上升。综上所述，只有 C 选项满足上述条件，故选 C。点评：本题解题时所用方法与例 2.3 相同，但例 2.3 与例 2.4 是两个完全相反的问题，在做此类题目时要注意题目要求，分清两个题目类型之间的区别。2.2.3 已知导函数图像，求解原函数例 2.5 已知函数 在点 处取得极大值 5，其导函数

12、 的图像32fxabcx0 yfx经过点 ， 如图 2.6 所示，求：（1） 的值；（2）函数的解析式。1,02, 3分析：首先根据图像信息，判断出其极大值点即 的值。再利用题干信息，找出三个已知点，0x再分别代入其相应的函数式中，解出待定系数，从而得到函数的解析式。解：（1）由图像可知，当 时 ， 在 上递增；当 时1xff,112x， 在 上递减；当 时 ， 在 上递增。0fxfx,220xfx2因此 在 处取得极大值。00 1 2 xy图 2.6 导函数图像8（2）由题意可知： 32fxabcx又 210f2f15f解得3145cab912abc故函数的解析式为 329fxx点评：本题主

13、要利用的是导函数的性质，结合图像信息来进行解题的。在利用导数解题时，我们不仅要找寻题干中蕴含的信息，同时也不能忽视图像中所包含的信息。2.3 导数在求解方程的根中的应用利用导数求解方程的根可以分为以下几个方面:1.利用导数解决根的唯一性。2.利用导数求方程根的个数。3.利用导数求解待定系数的取值范围。4.利用导数求解有关超越方程的根。下面本人将结合实例对以上几个方面进行分析。2.3.1 利用导数解决根的唯一性判断方程 在某区间内有唯一实根，即判断函数 在该区间上有唯一零点。0fx yfx我们可以通过探究函数的单调性，利用零点存在定理进行判断。例 2.6 证明函数 在区间 上有唯一零点。13fx

14、In0,e 4分析：对于证明函数有唯一零点（方程有唯一实根）的问题上，首先应考虑的是零点是否存在，利用导数研究函数区间的单调性，证明函数在该区间上单调就可证明出函数在该区间上有唯一零点。证明：对函数 进行求导，得：13fxInx13xfx在区间 上 ， 为减函数0,e0ff又 1f 103ef故函数 在区间 上有唯一零点yfx,oe点评：在此问题上，如果区间两端的函数值是一正一负且函数单调，则在该区间内函数必有唯一零点（方程有唯一实根） 。2.3.2 利用导数求解方程根的个数用导数来求解方程根的个数，实际上用导数来探究函数 的图像与函数 的图yfxygx9像有几个交点的问题。例 2.7 已知

15、， ，若 与 在 有两个不同41fxInx21gxkfxg0,的交点，求 的取值范围。k 4分析：此题主要考查的是对数函数与二次函数的交点问题且含有参数 ，因为对数函数与二次k函数曲线结构的特点，我们很难具体有效地把握它们交点的情况，所以对于此类问题我们可以用导数将曲线交点的问题转化为 在 有实根的问题。fxg0,解：令 则fxg2411Ink241Inxk构造函数 2hxIx421hxx要让 则0x,1时 ， 在 上递增；,1hx0,时 ， 在 上递减。x故 的极大值点为 1，极大值为 142hIn又 且 （1）0h24Inxk转化为 与 的交点问题。xyk要使（1）式在 有两个不同的实根，

16、则,解得0421kIn42kIn当 时（1）式有两个不同的实根，即在该区间 与 有两个不同的fxg交点。点评：用导数工具来探究 与 的交点问题时有下面五个步骤：1.构造函数fxg；2.求 ；3.求出 的单调性与极值;4.找出 与 轴的交点情况,列hxfgxhhxhx出不等式;5.求解不等式,得出结论。102.3.3 利用导数求解待定系数的取值范围例 2.8： 取何值时，关于 的方程 在 上有解？ax20ax1, 5分析：可以先将 与 分离开，再利用导数求函数的值域。解：则 将 看作是 的函数20xa2xax，0,120在 上是增函数2ax0,1故 3点评：此题也可以结合二次函数 的图像，使其问

17、题转变为区间根的分布问2fxa题，但需分类讨论，然而利用导数来求其函数的值域，就可以将其运算量减少，从这个方面看，也可以看出其导数解题的简洁性。2.3.4 利用导数求解有关超越方程的根例 2.9 证明方程 有唯一解。22xInx 6分析：此方程由观察易知 是其一个实根，但我们无法说明此方程根的唯一性。我们可以1利用导数工具来解决这一问题，在解题过程中我们应注意函数的定义域，必须要在定义域范围内进行求解。证明： 22xInx移项得： 2 0I令22fxInxx 12221xfx 0x11220xx当 即 时 ， 为增函数；10x0ff当 即 时 ， 为减函数.1xx如图 2.7 所示，此时图像与

18、 轴相切，与 轴只有唯一的一个交10极 小 值fxf xx点。故方程 有唯一解22Inx1x点评：在解决有关超越方程根时，我们很难进行猜根求解，但我们可以通过构造函数后，进行求导，画出草图。结合图像，便可以找出其交点，使我们能够较快地解决问题。2.4 导数在证明不等式中的应用利用导数证明不等式，可以根据导数的定义、函数的单调性、最值性以及构造函数来证明不等式。其中构造函数可以通过作差法、换元法、取对数等方法进行构造，然后再通过求导的方法加以证明。在构造函数证明不等式方面我将以其中的换元法来进行叙述。2.4.1 利用导数的定义证明不等式例 2.10 已知函数 ，求证 时，21fxInx132xI

19、nx 7分析：令 ， .因为 要证当 时，3g,106g1即 ，只需证 在 上单调递增。0x10xgx证明：0 1 xy图 2.7 函数图像12令 则321gxxIn21gxx当 时1x22xxx10214， 在 上单调递增0gxx,故 106gx即321xIn32xIn点评：在利用导数的定义来证明不等式时，先要将函数的一阶导数给计算出来，然后在确定函数在某点的导数值和函数值，接着便利用导数的定义来证明其不等式。2.4.2 利用函数的单调性来证明不等式例 2.11 已知 ， .且 ，求证：0mn,abR10bmnnmabb 8分析：nmnn nmnabIIaII，在 上单调递0xnm abII

20、abfffn,减。证明：令 则xInabf 0x2 2 xxxxxxxIInabaInbabInf2 20xxxxxxaInbIIIabab13在 上单调递减xInabf0,又 0mnffm即 n nmIabIabIabIabmnnIabb点评：利用函数的单调性证明不等式，首先是利用导数工具先计算出函数的导函数，再利用导函数的性质判断出函数的单调性，再证明不等式。2.4.3 利用最值性证明不等式例 2.12： 的定义域是 ，其中 ， ，若221Axbga,Aab,Rab， 求证： 221,kxI 221,kIk1241iiIIgxkN7分析：首先构造一个函数，然后求出在某区间中的全部驻点和不可

21、导之处的函数的极值和区间两个端点之处的函数值，将它们进行比较，证明不等式成立。证明： 221Axbga令 时，223Axx0Agx则 432ab即 4220xxa化简得 22abb14或20xab20xab无解0由 解得： 或20xab舍 去时 ， 在 上单调递增；g,xabgx,ab时 ， 在 上单调递减是 的极小值点xabAx又 在 上只有一个极值点g,是 的最小值321AabAgx故 的最小值为：1Igx，22 233 3111iIkkkg k的最小值为：12iIgx 221kk又 2332411kkk， 时231,kxI 221,kxI成立124iiIIgN点评：根据连续函数在封闭区间

22、上的连续性、顺序性等可得到如果函数在封闭区间 上连,ab续时，则一定存在其最大（最小）值。这就是我们用来求解连续函数的最大（最小）值的理论依据。如果函数 在 处可导。那么 还是其稳定点。因此我们只需通过比较 的稳定点、区间fx00x fx端点和不可导处的所有函数值，便可以找出 在区间上的最大（最小）值，从而证明不等式的f成立。152.4.4 利用构造函数证明不等式（换元法）例 2.13 已知函数 ， ，函数 的图像在点 处fxIn23gxfaxgx1,g的切线平行于 轴（1）求 的值；（2）求函数 的极小值；（3）设斜率为 的直线与函数a k的图像交于两点 ，其中 ，证明fx12,AxyB12

23、x21x 9分析：此题是一道综合性较强、难度较大的题目，它属于函数与导数的综合性题目，主要运用到导数的几何意义以及导数的性质等方面来证明不等式，下面是利用换元法来构造函数，再利用导数知识对不等式进行证明。解：（1） （2） 的极小值为agx12g（3）由题意，可得： 即2121yInxk21InxkIxk令 则hxInhxk当 时 ， 在 上为减函数；1k0,当 时 ， 在 上为增函数。0xhx10,k又12hx12xk故 21x点评：此题运用导数求函数的单调性、极值、柯西不等式的应用及不等式证明等方面的知识进行解题，在本题的处理上运用换元法便大大减小了计算时的难度。2.5 导数在判断函数单调

24、性中的应用如果函数 是连续函数，若 在 处其导函数 ，也就是指其该点处切fxfx00fx线的斜率大于 0，那么函数 在点 处附近单调递增；若 在 处其导函数 ，f0 0fx也就是指其该点处切线的斜率小于 0，那么函数 在点 处附近单调递减。fx016例 2.14 讨论函数 的单调性。23fx 10分析：函数的单调性与其导函数的正负有关。如果导函数为正，则函数为增函数；如果导函数为负，则函数为减函数。解：23fx263fxx令 解得： 令 解得：0fx0,0f ,0,在 上单调递增，在 上单调递减。23,2点评：假设 在 上连续，在 内处处可导，则有如果在 内 ，则fx,ab,ab,ab0fx函

25、数 在 上为增函数；如果在 内 ，则函数 在 上为减函数；f, 0fxfx如果函数 在 内 ，则函数 在 上为常函数。x0fx,2.6 导数在求解最值和最优化问题中的运用2.6.1 导数在求解函数的最大(小)中的应用例 2.15 求函数 在闭区间 上的最大值和最小值。3214fxx3,4分析：先将函数 进行求导，再找出其极值点，最后对所有的极值点、区间端点的函数值进行对比找出其最大值和最小值。解： 3214fxx266f令 解得： 且没有不可导的点存在0fx12,x是 的极值点12,f又32f34f17f412f比较上述四个值： 12ffff在 上的最大值为 142，最小值为 7fx3,4点评

26、：在求解可导函数的最值问题时要将所有的极值点、不可导点、区间端点的函数值进行对17比，要做到不重不漏。2.6.2 导数在求解最优化问题中的应用例 2.16 某新农村需要围建一个面积为 矩形晒谷场，一边可以利用原来的石条沿，其它251m三边也需要砌新的石条沿。问：晒谷场的长和宽各为多少，才能使材料用得最省？分析：在求解本题时，首先设出晒谷场的宽为 ，则长为 。因此，便可以设出一个关x512mx于 的函数 ，再利用导数工具便可以算出材料最省的方案。xf解：设晒谷场的宽为 ，则长为xm512x令石条沿的总长为 f022165xfx在 内只有一个极值点 即 的极小值点为 16fx0,16f又 523当

27、晒谷场的长为 ，宽为 ，才能使材料用得最省。32m16点评：在求解最优化问题时，应利用导数求出极值点，找出其最值。从中找到解决问题的最佳方案。3导数在中学数学解题时的几点评注及易错点3.1 对导数的几何意义不明确而导致在应用中的错误对导数的几何意义理解地不够透彻，也可能会使其在解题时出错，函数 在 处的导数的（ ）fx0几何意义是函数曲线在点 处的切线斜率。利用导数的几何意义使我们更加容易求解0,Pxf函数的曲线的切线方程。例 3.1 求解曲线 经过点 的切线方程。2y1,错解：2yx41yx将 代入 ，可得：1,41yx13ky18切线方程为:34yx错因：本题时由于思维上的定势而造成的错误

28、，因为点 不在曲线上，故在解题时盲目地1,将 代入导数方程求出的切线斜率是错误的。1,正解：设 则1,Pxy211x14kyx1又 2112联立 得：12102或x当 时切线方程为 ；当 时切线方程为0xy1x78yx3.2 导数在解题时对极值点、驻点和拐点的区分极值点定义：令函数 。给定 的一个小邻域 ，对于任意 ，f00,0,x都有 ，称 是 的极小值点；否则，称 是 的极大值点。极小值点和极0fxf0xxf大值点统称为极值点。驻点定义：令函数 ，若 ，称 是驻点。yf0fx0拐点定义：连续曲线弧上的上凹弧与下凹弧的分界点，称为曲线弧的拐点。拐点的判定定理：令函数 ，若 ，且 ， ； 时f

29、0f0xfx0x或 ， ； 时， ，称点 为 的拐点。0fx0xf0x,f极值点的必要条件：令函数 ，在点 处可导，且 是极值点，则 。yf0x0x0x在区分极值点、驻点与拐点时需从上述的几个定义、定理进行仔细理解与区分。驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。在可导的情况下，极值点一定是驻点。3.3 导数在中学解题时不可导点的判定在判定不可导点时可以从导函数、导数的定义以及假想延拓法来判定不可导点。例 3.2 为了使函数 在 处连续且可导， 应该取何值。2,1xfxabfx1,ab解：19据已知函数在 处连续且可导，因此在 处左右导数均存在。1x1x根据假想延拓法知，函数在 左导数为x2f

30、于是再根据假想延拓法知，函数在 处右导数为 12faf再根据函数 在 处连续，得：fx11ab解得： 3.4 导数在中学数学解题时忽视了定义域的错误分析例 3.3 求函数 的单调区间。23yInx错解： 23yInx令 即 解得：0y32x23x函数的单调增区间为 ，减区间为,3,错因：忽视了定义域。正解：的定义域为23yInxy2,3又 032yx故函数的单调减区间为 2,3.5 导数在解题中因极值点与导数为零的点区分不清的错误分析例 3.4 已知函数 在 处有极值为 10，求 的值。322fxabx1,ab错解：322f a23fxx20故 即 解得： 或10f2301ab41ab3错因：

31、函数可导时在 处取得极值的充要条件为 ；在 左右两侧的0x0fx0x导数值的符号相反。错解没有对条件加以检验。正解：322fxabx23fxaxb故 即 解得： 或10f201ba41b当 时， ，易知 在 的两侧同号，故3ab22363fxxfx1在 处不存在极值。fx1当 时， 在 的两侧异号，故 在 处存在极值。4abfx1fx1综上所述： 4,ab本文将归纳总结出利用导数解决中学数学问题的若干方法及在利用导数解题时需注意的方面和易错点，从而方便导数初学者便于查找，在学习导数的初级阶段能够有更多的资料进行学习借鉴，在利用导数解题时注意到自己平时忽略到的方面。由于篇幅的原因，对于运用导数知

32、识解题的错误类型 1.函数在某点的导数是一个函数值；2.曲线过某点的切线方程，其点不在曲线上；3.单调区间的记法错误；4.把极值误认为最值；5.忽视其定义域等不再一一列举。参考文献1 王锦. 导数在中学数学中的应用J. 中学时代,2012,24:131.2 吴涛. 关于导数教学的建议J. 中学数学月刊,2004,02:13-14.3 蒋金鹏. 函数与导数图像关系问题解析J. 中学生数理化(高二版),2012,Z1:19.4 谢喆. 如何用导数思想探究方程根的分布问题J. 甘肃教育,2012,19:87.5 李萍. 导数和方程的根J. 数学通讯,2005,06:17.6 鞠桥兴. 借助导数、数形

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