1、1 / 21专题 导数与不等式的解题技巧一知识点基本初等函数的导数公式()常用函数的导数()(为常数); () ；()； ；()()( )()初等函数的导数公式 ()； ( )；( ) ； ()；()； ( )；() 导数的运算法则()()()；()()()；()Error!复合函数的导数()对于两个函数() 和() ，如果通过变量，可以表示成的函数，那么称这两个函数(函数() 和() 的复合函数为()()复合函数() 的导数和函数()，()的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积二题型分析（一）函数单调性与不等式例 【一轮复习】已知函数() ，( ，)，则满足() ()的的取
2、值范围是( )(，) (， ) (， ) (， )【答案】【分析】在区间（， ）上，由（ ）（） ，且（）可知函数（）是奇函数且单调递增，由此可求出的取值范围2 / 21【点睛】本题考查了判断函数的奇偶性和单调性的问题，综合运用了函数的奇偶性和单调性解不等式进行合理的转化，属于中档题练习对任意 ，不等式 恒成立，则下列不等式错误的是（ ） 【答案】【分析】构造函数 ，对其求导后利用已知条件得到 的单调性，将选项中的角代入函数中，利用单调性化简，并判断正误，由此得出选项.【解读】构造函数 ，则 ， ，即 在 上为增函数，则 ，即 ，即 ，即 ，又 ，即 ，即 ，故错误的是故选：【点睛】本小题考查
3、构造函数法，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法.构造函数法主要应用于题目所给已知条件中含有 ，也含有其导数 的不等式，根据不等式的结构，构造出相应的函数.如已知是 ，可构造 ，可得 .（二）函数最值与不等式例 【福建省福州市学年高三第一学期质量抽测】已知函数 ，对于任意 ， 恒成立，则 的取值范围是（ ）3 / 21 【答案】【分析】由题意知 即等价转化为 ，通过研究函数导数从而得到最值，依次验证选项即可. （四）不等式中存在任意问题例 【安徽省皖南八校届高三第二次（月)联考数学】已知函数 ， ，对于 ， ，使得 ，则实数 的取值范围是 【答案】【解读】 ， ，使得 ，
4、可得 ，利用 ， 的单调性、最值即可求得.【详解】对于 ， ，使得 ,等价于 ，因为 是增函数，由复合函数增减性可知在 上是增函数，所以当 时， ，令 ，则 ， 若 时， ， ，所以只需 ，解得 .若 时， ， ，所以只需 ，解得 .当 时， 成立.4 / 21综上 ，故选.练习.已知函数 ，函数 （ ） ，若对任意的 ，总存在使得 ，则实数 的取值范围是（） 【答案】【解读】由题意，可得 在 的值域包含于函数 的值域，运用导数和函数的单调性和值域，即可求解.【详解】由题意，函数 的导数为 ，当 时， ，则函数 为单调递增；当 时， ，则函数 为单调递减，即当 时，函数 取得极小值，且为最小值
5、 ，又由 ，可得函数 在 的值域 ，由函数 在 递增，可得 的值域 ，由对于任意的 ，总存在 ，使得 ，可得 ，即为 ，解得 ，故选.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及导数在函数中的应用，其中解答中转化为 在的值域包含于函数 的值域，运用导数和函数的单调性和值域是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试卷.练习函数 ， ，若对 ， ， ，则实数 的最小值是【答案】【解读】利用导数以及指数函数的性质，分别求出函数（） ， （）的最值，将问题转为求（）（）即可 【详解】， 在 递减，在 递增，所以 ，在 单调递增， ，由已知对 ， ，可知只需（）
6、（）即 ，5 / 21故答案为：.练习已知函数 ，且 ， ，若存在 ，使得对任意 ， 恒成立，则 的取值范围是【答案】【解读】存在 ，使得对任意的 ， 恒成立，即 ，由 在上递增，可得 ，利用导数可判断 在 上的单调性，可得 ，由 ，可求得 的范围；【详解】 的定义域为 ， ，当 时， ， ， 为增函数，所以 ；若存在 ，使得对任意的 ， 恒成立，即 ，当 时 ， 为减函数， ， ， ，故答案为： .【点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。
7、（五）数列与不等式例 【湖北省武汉市届月高三数学试卷】等差数列 的前 项和 ，若 ，则下列结论正确的是（ ） ， ， ， ，6 / 21【答案】【解读】设（） 判断函数的奇偶性以及函数的单调性，然后判断，且，推出结果故选：【点睛】本题考查构造法的应用，利用函数的导数判断函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，数列与函数相结合，考查计算能力已知函数 在 处的切线方程为 .()求函数 的解读式；()若关于 的方程 恰有两个不同的实根,求实数 的值；()数列 满足 .证明： ； .【答案】 （） ；（） 或 ；（）证明见解读.【解读】 （）把代入切线方程，求出切点，把切点坐标代入二次函数得关于，方程，再
8、由 得另一方程，联立求解，的值，则函数解读式可求；（）把（）中求出函数（）的解读式代入方程（） ，然后转化为 （） ，然后利用导数求函数的极值，根据函 数 的极值情况，通过画简图得到使方程 （ ） ，即方程（） 恰有两个不同的实根时的实数的值；（）利用作差法证明即可；（）由 得到 ，分别取， ，代入7 / 21后化简，则 的整数部分可求【详解】() ,依题设,有 即 ，解得 ， . ()方程 ,即 ,得 ,记 ,则 .令 ,得 .当 时, 取极小值 ；当 时, 取极大值 . 作出直线 和函数 的大致图象,可知当 或 时,它们有两个不同的交点,因此方程 恰有两个不同的实根.()证明 ,得 ,又
9、. , . 由 ,得 ,即： ,.【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了函数解读式的求解及常用方法，考查了函数的零点与方程根的关系，考查了数列的和，解答此题的关键在于构造函数，然后利用导数分析函数的8 / 21极值借助于函数图象的大致形状分析函数零点的情况，是难度较大的题目（六）极值点偏移与证明不等式例 【福建省福州市学年高三第一学期质量抽测】已知函数 .（）求曲线 在点 处的切线 方程；（）函数 与函数 的图像总有两个交点，设这两个交点的横坐标分别为 ， .（）求 的取值范围；（）求证： .【答案】 （） （） （） ， （）见解读【解读】 （）求出 的导数，求得切线的斜
10、率，由 得切点由点斜式方程可得切线的方程；（） （）函数 与函数 的图像总有两个交点转化为函数有两个零点的问题，进而研究 的导数及图像即可.（）先由 （） 得 的单调性，分析出 、 不可能在同一单调区间内；设 ，将 导到上，利用函数 在 上单调性，欲证 ,只需证明 ，结合，只需证明 .再构造 ，结合单调性即可证明结论 【详解】 （）解：由已知得 ， ，又 ，曲线 在点 处的切线方程为： .（） （）令 ， ，由 得， ；由 得， 易知， 为 极大值点，又 时 ，当 时，即函数 在 时有负值存在，在 时也有负值存在.由题意，只需满足 ， 的取值范围是：9 / 21（）由题意知， ， 为函数 的两
11、个零点，由（）知，不妨设 ，则 ，且函数 在 上单调递增，欲证 ，只需证明 ，而 ，所以，只需证明 .令 ，则 . ， ，即所以， ，即 在 上为增函数，所以， ， 成立.所以， .【点睛】本题属于极值点偏移问题，主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研究函数的单调性、极值，教案中的重点和难点练习已知函数 的极小值为 .（）求 的值； （）任取两个不等的正数 ，且 ，若存在正数 ，使得 成立，求证：.【答案】 （） ； （）见解读.【解读】 （）求函数的导数，分类讨论，确定函数的单调性，即可得到结论；（）求出 后把 用 ，表示，再把 与 作差后构造辅助函数，求导后得到构造的辅助函
12、数的最小值大于，从而得到，运用同样的办法得到 ，最后得到要证的结论.【详解】 （）显然 ， ， 令 ，解得 .当 时，若 ， 为减函数；10 / 21若 ， 为增函数, 在 处取得极小值， 解得 当 时与题意不符，综上， .（）由（）知 ， ， , ，即 .设 ，则再设 ，则 ， 在 上是减函数 ，即 ，又 ，即 ， ， ,同理可证得 , .【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，由 ，得函数单调递增， 得函数单调递减；解题的关键亦为其难点即通过构造函数 和 ，利用函数的单调性和极值证明不等式，是一道难度较大的综合题型练习已知函数 ， .()当 时，求函数 在区间 上的最值；()若 ， 是
13、函数 的两个极值点，且 ，求证： .【答案】() 最小值为 ，最大值为 ； ()证明见解读。【解读】 （）求出函数（）的定义域，运用导函数判断函数的单调性，求解函数的最值即可（） ，是函数 的两个极值点，所以 （） （）令 通过 及构造函数 ，利用函数的导数判断函数的单调性，推出 ,所以，即可证明结论11 / 21【详解】() 当 时， ，函数 的定义域为 ，所以 ，当 时， ，函数 单调递减；当 时， ，函数 单调递增.所以函数 在区间 上的最小值为 ，又 ，显然所以函数 在区间 上的最小值为 ，最大值为 . 当 ， ，函数 单调递减；所以函数 的最大值为 。所以当直线 与函数图像有两个不同
14、的交点时， ，且要证 ，只要证 ， 易知函数 在 上单调递增，所以只需证 ,而 ，所以即证 ， 记 ，则 恒成立，12 / 21所以函数 在 上单调递减，所以当 时所以 ，因此 .练习.已知函数 （）讨论 的单调性； （）若 存在两个极值点 ，证明： 【答案】 （）见解读；（）证明见解读.【解读】 ()首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对 进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间；()根据 存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定 ，令 ，得到两个极值点 是方程的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果.【详解】（） 的定义域为 ，
15、 .（）若 ，则 ，当且仅当 ， 时 ，所以 在 单调递减.（）若 ，令 得， 或 .当 时， ；当 时， .所以 在 单调递减，在单调递增.（）由（）知， 存在两个极值点当且仅当 .由于 的两个极值点 满足 ，所以 ，不妨设 ，则 .由于，13 / 21所以 等价于 .设函数 ，由（）知， 在 单调递减，又 ，从而当 时，.所以 ，即 .【点睛】该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件，在解题的过程中，需要明确导数的符号对单调性的决定性作用，再者就是要先保证函数的生存权，先确定函数的定义域，要对参数进行讨论，还有
16、就是在做题的时候，要时刻关注第一问对第二问的影响，再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确.练习.已知函数 （）求 的单调区间；（）若 有极值，对任意的 ，当 ，存在 使 ，证明：【答案】 （）详见解读；（）详见解读. 【解读】 （）求导数后根据可分类讨论，找到导数大于零、小于零的解即可求出单调区间;（）由（） 有极值，则 ，由题设化简得 ，作差比较，构造函数，利用导数可得 ，进而可得 ，再利用由知 在 上是减函数，即可得出结论.【详解】 （） 的定义域为 ，.若 ，则 ，所以 在 上是单调递增.若 ，当 时， ， 单调递增.14 / 21当 时， , 单调递减.()由（）当 时， 存在极
17、值.由题设得又 ， 设 .则 .令 ，则所以 在 上是增函数，所以又 ，所以 ，因此即又由 知 在 上是减函数，所以 ，即 .（七）构造函数例 【河北省衡水中学届高三第一次摸考】已知函数 .（）讨论 的单调性；（）当 , 为两个不相等的正数，证明： .15 / 21【答案】 （） 时， 在区间 内为增函数； 时， 在区间 内为增函数； 在区间 内为减函数； （）见解读.【解读】 ()求出 ，分两种种情况讨论 的范围，在定义域内，分别令 求得 的范围，可得函数增区间， 求得 的范围，可得函数 的减区间；（）设 ，原不等式等价于，令 ，则原不 等式也等价于即 .设 ，利用导数可得 在区间 内为增函
18、数， ，从而可得结论.【详解】 （）函数 的定义域为 ， .若 ， ，则 在区间 内为增函数；若 ，令 ，得 .则当 时， ， 在区间 内为增函数；当 时， ， 在区间 内为减函数.（）当 时， .不妨设 ，则原不等式等价于 ，令 ，则原不等式也等价于即 下面证明当 时， 恒成立.设 ，则 ，故 在区间 内为增函数， ，即 ，所以 .【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要
19、观察不等式特点，16 / 21结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导 数证明.练习.设函数 .（）若 恒成立，求 的取值范围；（）对函数 图像上任意两个点 ， ，设直线 的斜率为 （其中 为函数 的导函数） ，证明： .【答案】 （） （）证明过程详见解读【解读】 （） 恒成立即 ，利用导函数研究函数的单调性与极值即可；（）由 要证 ，即证 ，令 ， ，即证.【详解】 （）解法一：，在 为减函数，在 为增函数. ，由已知 ，所以所求范围为 .解法二：由 ，有 ， ， 恒成立，易知 在 为减函数，在 为增函数，（）证明： ，17 / 21 ，要证
20、，即证 ，只要证 ，即证令 ， ，即证 ，也即证设 ， ， 在 为减函数故 ，即 ，所以 成立.【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略() 构造差函数 .根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.练习.已知函数 若函数 的最大值为，求实数 的值； 若当 时， 恒成立，求实数 的取值范围； 若 ， 是函数 的两个零点，且 ，求证： 【答案】 ； ；证明见解读.【解读】 求出函数 的定义域，利用导函数符号判断函数的单调性，由单调
21、性求解函数的最大值，然后 求出 即可； 化简恒成立的不等式为 ，得到令 ，利用函数的导数符号判断函数的单调性，得到，然后求解 的范围； ， 是函数 的两个零点，可得，构造函数 ，利用18 / 21函数的导数的符号判断函数的单调性，推出 ，得到 ，即可证明结论【详解】 函数 的定义域为 因为 ，所以在 内， ， 单调递增；在 内， ， 单调递减所以函数 在 处取得唯一的极大值，即 的最大值 因为函数 的最大值为，所以 ，解得 因为当 时， 恒成立，所以 ，所以 ，即 令 ，则 因为 ，所以 所以 在 单调递增 所以 ，所以 ，所以 即实数的取值 范围是 ； 由 可知： ， 所以 因为 ， 是函数
22、 的两个零点，所以 因为 19 / 21令 ，则 所以在 ， ， 单调递减所以 所以 ，即 由 知， 在 单调递增，所以 ，所以【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值、证明不等式以及不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常见方法： 分离参数 恒成立( 即可)或 恒成立（ 即可） ； 数形结合( 图 象在 上方即可)； 讨论最值 或 恒成立； 讨论参数.20 / 21（八）不等式与参数例 【江西省南康中学届高三数学试卷】已知函数 . （）讨论函数 的单调性； （）当时，若方程 在区间 上有唯一的实数解，求实数的取值范围； （）当时，若对于区间， 上的任意两个实数， ，且，都有 成立，求实数
23、的最大值【答案】 （）见解读；（） ；（）【解读】 （）求得函数定义域后对函数求导，对 分成 两类，讨论函数的单调区间.（）化简，分离出常数 .利用导数求得函数 的单调区间，由此求得 的取值范围.（）由（）知函数 在 上递增.由此去掉绝对值化简题目所给不等式，构造函数 ，利用在 上递减，导数小于零，分离出常数 ，再利用导数求得 的最大值.【详解】（） （）的定义域是（，） ， （） ， 时， （）， 故时， （）在（，）递增； 时，方程的判别式为： ， 令（），解得： ， 令（），解得： ， 故时， （）在（ ，）递增，在（， ）递减； （）时，由题意得： ， 整理得： ， 令（） ，（） ， 令（），解得：（， ） ，函数（）在（， ）递增， 令（），解得：（，） ，函数（）在（，）递减； 若方程（） 在，）上有唯一实数根， 须求（）在，）上的取值范围， （）（） ，又（） ， （） ， 的范围是（ ）， 21 / 21即； 令（） ，则（） ， 故（）在 ，递增， 故（） ， ， 故 实数 的最大值为 .
