1、12012 年全国中考数学（159 套）选择填空解答压轴题分类解析汇编专题 15：综合问题一、选择题1. （2012 广东湛江 4 分）已知长方形的面积为 20cm2，设该长方形一边长为 ycm，另一边的长为 xcm，则 y 与 x 之间的函数图象大致是【 】A. B. C. D.【答案】B。【考点】反比例函数的性质和图象。【分析】根据题意，得 xy=20， 。故选 B。20y=x,2. （2012 浙江湖州 3 分）如图，已知点 A（4，0） ，O 为坐标原点， P 是线段 OA 上任意一点（不含端点O，A） ，过 P、O 两点的二次函数 y1 和过 P、A 两点的二次函数 y2 的图象开口
2、均向下，它们的顶点分别为 B、C，射线 OB 与 AC 相交于点 D当 OD=AD=3 时，这两个二次函数的最大值之和等于【 】A B C3 D4 5453【答案】A。【考点】二次函数的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。【分析】过 B 作 BFOA 于 F，过 D 作 DEOA 于 E，过 C 作 CMOA 于 M，BF OA，DEOA，CM OA，BFDE CM。OD=AD=3， DEOA，OE=EA= OA=2。12由勾股定理得：DE= 。5设 P（2x，0） ，根据二次函数的对称性得出 OF=PF=x，2BF DECM，OBFODE，ACMADE。 ，即 ，解得：
3、 。BFOCMADEE 四BFxCM2x 5四 52x5BF xCM2四BF+CM= 。故选 A。53. （2012 天津市 3 分）若关于 x 的一元二次 方程（x2） （x3）=m 有实数根 x1,x2，且 x1x2，有下列结论：x 1=2，x 2=3； ；1m4二次函数 y=（xx 1） （xx 2）m 的图象与 x 轴交点的坐标 为（2，0）和（3，0） 其中，正确结论的个数是【 】（A）0 （B）1 （C）2 （D ）3 【答案】C。【考点】抛物线与 x 轴的交点，一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。【分析】一元二次方程实数根分别为 x1、x 2，x 1=2，x
4、 2=3，只有在 m=0 时才能成立，故结论错误。一元二次方程（x2） （x3）=m 化为一般形式得：x 25x6m=0 ，方程有两个不相等的实数根 x1、x 2，=b 24ac=（5） 24（6m）=4m 10，解得： 。故结论正确。1m4一元二次方程 x25x6m=0 实数根分别为 x1、x 2，x 1x 2=5，x 1x2=6m。二次函数 y=（xx 1） （xx 2）+m=x 2（x 1x 2）xx 1x2m=x 25x（6m）m=x25x6=（x2） （x3） 。令 y=0，即（x2） （x3）=0，解得：x=2 或 3。抛物线与 x 轴的交点为（2，0）或（3，0） ，故结论正确。
5、综上所述，正确的结论有 2 个：。故选 C。4. （2012 四川广元 3 分） 已知关于 x 的方程 有唯一实数解，且反比例函数22(1)(xb)的图象在每个象限内 y 随 x 的增大而增大，那么反比例函数的关系式为【 】1byxA. B. C. D. 12yx2yx【答案】D。【考点】一元二次方程根的判别式，反比例函数的性质。3【分析】关于 x 的方程 化成一般形式是：2x 2（22b）x（b 21）=0，22(1)(xb)它有唯一实数解，=（22b） 28（b 21）=4（b3） （b1）=0 ，解得：b=3 或 1。反比例函数 的图象在每个象限内 y 随 x 的增大而增大，yx1+b0
6、。b1。b= 3。反比例函数的解析式是 ，即 。故选 D。12x5. （2012 四川凉山 4 分）如图，在平面直角坐标系中，O 的半径为 1，则直线 与O 的yx2位置关系是【 】A相离 B相切 C相交 D以上三种情况都有可能【答案】B。【考点】坐标与图形性质，直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】如图，在 中，令 x=0，则 y= ；令 y=0，则 x= ，yx222A（0， ） ，B（ ，0） 。OA=OB= 2 。AOB 是等腰直角三角形。AB=2，过点 O 作 ODAB，则 OD=BD= AB= 2=1。1又O 的半径为 1，圆心到直线的距离等于半径。直线
7、 y=x- 2 与O 相切。故选 B。6. （2012 辽宁朝阳 3 分）如图，矩形 ABCD 的对角线 BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点 C 在反比例函数 的图象上，若点 A 的坐标为（2，3） ，则 k 的值为【 】k+41y=x4A.1 B. 5 C. 4 D. 1 或5【答案】D。【考点】矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征。【分析】如图：四边形 ABCD、HBEO、OECF、GOFD 为矩形，又BO 为四边形 HBEO 的对角线，OD 为四边形 OGDF 的对角线， 。BEOHOFDGCBDASSS四 。CDAHOG 。EOFHGO236四边 边xy=k 2+4k
8、+1=6，解得，k=1 或 k=5。故选 D。7. （2012 贵州安顺 3 分）下列说法中正确的是【 】A 是一个无理数9B 函数 的自变量的取值范围是 x1x+1y=2C 若点 P（ 2，a ）和点 Q（b，3）关于 x 轴对称，则 ab 的值为 1D 8 的立方根是 2【答案】C。【考点】无理数，函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，关于 x 轴对称的点的坐标，立方根。【分析】A、 =3 是有理数，故此选项错误；9B、函数 的自变量的取值范围是 x1，故此选项错误；x+1y=2C、若点 P（2，a ）和点 Q（b，3）关于 x 轴对称，则 b=2，a=3，故 ab=32=1，故此选
9、项正确；D、8 的立方根式2，故此选项错误 。故选 C。58. （2012 广西柳州 3 分）小兰画了一个函数 的图象如图，那么关于 x 的分式方程 的ay1xa12解是【 】Ax=1 Bx=2 Cx=3 D x=4 【答案】A。【考点】反比例函数的图象，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，关于 x 的分式方程 的解就是函数a12中，ay1x纵坐标 y=2 时的横坐标 x 的值根据图象可以得到：当 y=2 时，x=1。故选 A。9. （2012 广西钦州 3 分）在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点（x，y） ，若规定以下两种变换：f（x，y）= （y，
10、x） 如 f（2，3）=（3，2） ；g（x，y）=（x，y） ，如 g（2，3）=（2，3） 按照以上变换有：f（g（2， 3） ）=f（2，3）= （3，2） ，那么 g（f（6，7） ）等于【 】A （7，6） B （7，6） C （7，6） D （7，6）【答案】C。【考点】新定义，点的坐标。【分析】由题意应先进行 f 方式的变换，再进行 g 方式的变换，注意运算顺序及坐标的符号变化：f（6，7）=（7，6） ，g（f（6，7） ）=g（7，6）=（7，6） 。故选 C。10. （2012 吉林长春 3 分） 如图，在平面直角坐标系中，在 x 轴、y 轴的正半轴上分别截取 OA、OB,
11、使OA=OB；再分别以点 A, B 为圆心，以大于 AB 长为半径作弧，两弧交于点 C若点 C 的坐标为12(m1,2n),则 m 与 n 的关系为【 】6(A)m2n=1 (B)m2n=1 (C)2nm=1 (D)n2m=1【答案】B。【考点】作图（基本作图） ，角平分线性质，点到 x 轴、y 轴距离。【分析】如图，根据题意作图知，OC 为AOB 的平分线，点 C 的坐标为(m1,2n)且在第一象限，点 C 到 x 轴 CD=2n，到 y 轴距离 CE= m1。根据角平分线上的点到角两边距离相等，得 m1=2n，即 m2n=1 。故选B。11. （2012 青海西宁 3 分）如图，将矩形沿图
12、中虚线(其中 xy) 剪成四块图形，用这四块图形恰能拼一个正方形若 y2，则 x 的值等于【 】A3 B2 1 C1 D15 5 2【答案】C。【考点】一元二次方程的应用（几何问题） ，图形的剪拼。【分析】如图所示，四块图形拼成一个正方形边长为 x，根据剪拼前后图形的面积相等可得，y（x+y）=x 2。y=2，2（x+2）=x 2，整理得， x2-2x-4=0，解得 x1=1 ，x 2=1 （舍去） 。故选 C。5 512. （2012 内蒙古呼和浩特 3 分）下列命题中，真命题的个数有【 】一个图形无论经过平移还是旋转，变换后的图形与原来图形的对应线段一定平行函数 图象上的点 P（x，y）一
13、定在第二象限21y=x+正投影的投影线彼此平行且垂直于投影面使得|x| y=3 和 y+x2=0 同时成立的 x 的取值为 132A3 个B1 个C4 个D2 个【答案】D。7【考点】命题与定理，平移和旋转的性质，非负数的性质，平行投影，公式法解一元二次方程，绝对值，二次根式有意义的条件。【分析】平移后对应线段平行；对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小没有发生变化；旋转后对应线段不平行；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化。故此命题错误。根据二次根式的意义得 x0，y0，故函数 图象上的点 P（x，y）一定在第二象21y=x+限。故此命题正确。根据正投影的定义得出，正投
14、影的投影线彼此平行且垂直于投影面。故此命题正确。使得|x| y=3 和 y+x2=0 同时成立，即 y=|x|3，y= x 2，故|x| 3= x 2，x 2|x| 3=0。当 x0，则 x2x3=0，解得：x 1= ，x 2= （不合题意舍去） ；+13当 x0，则 x2+x3=0 ，解得：x 1= （不合题意舍去） ，x 2= 。13使得|x| y=3 和 y+x2=0 同时成立的 x 的取值为： ， 。1+3故此命题错误。故正确的有 2 个。故选 D。 二、填空题1. （2012 山西省 3 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的对角线 AC 平行于 x 轴，边 OA 与 x轴
15、正半轴的夹角为 30，OC=2，则点 B 的坐标是 【答案】 （2，2 ） 。3【考点】矩形的性质，平行的性质，坐标与图形性质，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】过点 B 作 DEOE 于 E，矩形 OABC 的对角线 AC 平行于 x 轴，边 OA 与 x 轴正半轴的夹角为30，CAO=30。又OC=2， AC=4。OB=AC=4。8又OBC=CAO=30，DEOE，CBA=90，OBE=30。OE=2，BE=OBcosOBE =2 。3点 B 的坐标是（2，2 ） 。2. （2012 陕西省 3 分）如图，从点 A（0，2）发出的一束光，经 x 轴反射，过点 B（
16、4，3） ，则这束光从点 A 到点 B 所经过路径的长为 【答案】 。41【考点】跨学科问题，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】如图，过点 B 作 BDx 轴于 D，A（0，2） ，B（4，3） ，OA=2，BD=3，OD=4。根据入射角等于反射角的原理得：ACO=BCD。AOC=BDC=90 ，AOCBDC。OA：BD=OC：DC=AC ：BC=2：3，设 OC=x，则 DC=4x， ，解得 ，即 OC= 。2 x4四 8x=5 。2AC O15 ：BC=2：3，解得 BC= 。41534AC+BC= ，即这束光从点 A 到点 B 所经过的路径的长为 。413. （2
17、012 广东佛山 3 分）如图，边长为 m的正方形纸片剪出一个边长为 m 的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长 为 4，则另一边长为 9【答案】2m4。【考点】图形的变换，一元一次方程的应用（几何问题） 。【分析】根据拼成的矩形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可得解：设拼成的矩形的另一边长为 x，则 4x=（m4） 2m 2=（m4m） （m 4m ）=8m16，解得 x=2m4。4. （ 2012 浙江湖州 4 分）如图，将正ABC 分割成 m 个边长为 1 的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成 n 个边长为 1 的小三角形，若 ，则A
18、BC 的边长是 7n25【答案】12。【考点】一元二次方程的应用（几何问题） ，菱形的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数定义。【分析】设正ABC 的边长为 x，则由勾股定理，得高为 ， 。3x 22ABC13Sx x24所分成的都是正三角形，根据锐角三角函数定义，可得黑色菱形的较长的对角线为 ，较短的对角线为3 。31x=x 22黑色菱形的面积= 。2313xx28 ，整理得，11x 2144x144=0。23 xm4748=n5解得 （不符合题意，舍去） ，x 2=12。1x 所以，ABC 的边长是 12。5. （2012 江苏 连云港 3 分）如图，直线 yk 1xb 与双曲线 交于 A
19、、B 两点，其横坐标分别为 12ky=x10和 5，则不等式 k1x b 的解集是 2【答案】5x1 或 x0。【考点】不等式的图象解法，平移的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，对称的性质。【分析】不等式 k1x b 的解集即 k1xb 的解集，根据不等式22与直线和双曲线解析式的关系，可以理解为直线 yk 1xb 在双曲线下方的自变量 x 的取值范围即可。2ky=x而直线 yk 1xb 的图象可以由 yk 1xb 向下平移 2b 个单位得到，如图所示。根据函数 图象的对称性可得：直线 yk 1xb 和2=yk 1xb 与双曲线 的交点坐标关于原点对称。x由关于原点对称的坐标点性质，直线
20、yk 1xb 图象与双曲线 图象交点 A、B的横坐标为2ky=xA、B 两点横坐标的相反数，即为1，5。由图知，当5x1 或 x0 时，直线 yk 1xb 图象在双曲线 图象下方。2不等式 k1x b 的解集是5x1 或 x0。26. （2012 江苏南通 3 分）无论 a 取什么实数，点 P(a1 ，2a 3)都在直线 l 上，Q(m，n)是直线 l 上的点，则(2mn3) 2 的值等于 【答案】16。【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，求代数式的值。【分析】由于 a 不论为何值此点均在直线 l 上，令 a=0，则 P1（1，3） ；再令 a=1，则 P2（0，1） 。设直线 l
21、 的解析式为 y=kx+b（ k0） ，11 ，解得 。kb31k2 b1直线 l 的解析式为：y=2x 1。Q（m，n）是直线 l 上的点， 2m 1=n，即 2mn=1。(2mn3) 2=（1+3 ）2=16。7. （2012 福建龙岩 3 分）如图，平面直角坐标系中， O 1 过原点 O，且O 1 与O 2 相外切，圆 心 O1 与O2 在 x 轴 正 半 轴 上 ， O1 的 半 径 O1P1、 O2 的 半 径 O2P2 都与 x 轴垂直，且点 P1 、P 2 在xy四xy四反比例函数 （x0 ）的图象上，则 y=y+=【答案】 。2【考点】反比例函数综合题。【分析】O 1 过原点
22、O，O 1 的半径 O1P1，O 1O=O1P1。O 1 的半径 O1P1 与 x 轴垂直，点 P1（x 1，y 1）在反比例函数 （x0）的图象上，1y=x 1=y1，x 1y1=1。x 1=y1=1。O 1 与O 2 相外切，O 2 的半径 O2P2 与 x 轴垂直，设两圆相切于点 A，AO 2=O2P2=y2，OO 2=2+y2。P 2 点的坐标为：（2+y 2，y 2） 。点 P2 在反比例函数 （ x0）的图象上，1=（2+y 2）y 2=1，解得：y 2=1+ 或1 （不合题意舍去） 。2y 1+y2=1+（1+ ）= 。8. （2012 湖北武汉 3 分）在平面直角坐标系中，点
23、A 的坐标为(3 ，0)，点 B 为 y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且 AC2设 tanBOCm ，则 m 的取值范围是 【答案】 。5m2【考点】锐角三角函数定义，勾股定理，一元二次方程根的判别式。12【分析】如图，设 C 点坐标为（ ） 。xy 四tanBOCm， ，即 。E=mDxyA 的坐标为(3，0)，DA= 。3又AC2由勾股定理，得 ，2x+y=4即 ，整理得23my+=41m650由 得 。26524tanBOCm0 ， 。9. （2012 湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田 3 分）平面直角坐标系中，M 的圆心坐标为（0，2） ，半径为 1，点 N 在 x 轴的正
24、半轴上，如果以点 N 为圆心，半径为 4 的N 与M 相切，则圆心 N 的坐标为 【答案】 （ ，0）或（ ，0） 。215【考点】相切两圆的性质，坐标与图形性质，勾股定理。【分析】分别从M 与N 内切或外切去分析：M 与N 外切，MN=4+1=5， ，22ON=M51圆心 N 的坐标为（ ， 0） 。21M 与N 内切，MN=4 1=3， ，2235圆心 N 的坐标为（ ，0 ） 。5综上所述，圆心 N 的坐标为（ ，0）或（ ，0） 。21510. （2012 辽宁阜新 3 分）如图 1，在边 长为 a 的大正方形中剪去一个边长为 b 的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图
25、2这个拼成的长方形的长为 30，宽为 20则图 2 中部分的面积是 13【答案】100。【考点】解二元一次方程组的应用（几何问题） 。【分析】由题意，得图 2 中部分长为 b，宽为 ab， ，解得 。a+b=30a=5图 2 中部分的面积是 。b25=1011. （2012 吉林长春 3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A 是抛物线 与 y 轴的交点，点2y=ax3+kB 是这条抛物线上的另一点，且 ABx 轴，则以 AB 为边的等边三角形 ABC 的周长为 .【答案】18。【考点】二次函数的性质，等边三角形的性质。【分析】根据二次函数的性质，抛物线 的对称轴为 x=3。2y=ax3+kA
26、是抛物线 与 y 轴的交点，点 B 是这条抛物线上的另一 点，且 ABx 轴。2y=ax3+kA，B 关于 x=3 对称。AB=6 。又ABC 是等边三角形，以 AB 为边的等边三角形 ABC 的周长为 63=18。12. （2012 甘肃兰州 4 分）如图，M 为双曲线 上的一点，过点 M 作 x 轴、y 轴的垂线，分别交直3y=x线 yxm 于点 D、C 两点，若直线 yxm 与 y 轴交于点 A，与 x 轴相交于点 B，则 ADBC 的值为 14【答案】2 。3【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】如图，作 CEx 轴于 E，
27、DF y 轴于 F， 在 yxm 中，令 x0，则 ym；令 y0， xm 0，解得 xm。A(0， m)，B(m，0) 。OAB 等腰直角三角形。ADF 和 CEB 都是等腰直角三角形。设 M 的坐标为(a，b)，则 ab ，CE b，DFa。3AD DF a，BC CE b，ADBC a b2ab2 。22 3三、解答题1. （2012 上海市 12 分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+6x+c 的图象经过点 A（4，0） 、B（1，0） ，与 y 轴交于点 C，点 D 在线段 OC 上，OD=t ，点 E 在第二象限，ADE=90，tanDAE=，EFOD，垂足为 F2（
28、1）求这个二次函数的解析式；（2）求线段 EF、OF 的长（用含 t 的代数式表示） ；（3）当ECA=OAC 时，求 t 的值【答案】解：（1）二次函数 y=ax2+6x+c 的图象经过点 A（4，0） 、B（1，0） ， ，解得 。16a+4c=0a2c815这个二次函数的解析式为：y=2x 2+6x+8。（2）EFD= EDA=90 ， DEF+ EDF=90，EDF+ODA=90。DEF=ODA 。EDFDAO。 。EFD=OA ， 。ED1=tanA2OD=t ， ，EF= 。tt同理 ，DF=2，OF=t2。FO（3）抛物线的解析式为：y=2x 2+6x+8，C（0，8） ，OC=
29、8。如图，连接 EC、AC，过 A 作 EC 的垂线交 CE 于 G 点ECA=OAC，OAC=GCA （等角的余角相等） 。在CAG 与OCA 中，OAC=GCA，AC=CA ，ECA=OAC，CAGOCA（ASA ） 。CG=AO=4，AG=OC=8。如图，过 E 点作 EMx 轴于点 M，则在 RtAEM 中，EM=OF=t2，AM=OA+AM=OA+EF=4+ ，1t2由勾股定理得： 。221AE4+t在 Rt AEG 中，由勾股定理得： 。22 215G=AD4t+8t4在 Rt ECF 中，EF= ，CF=OCOF=10 t ，CE=CG+EG=4+1t2 2t由勾股定理得：EF
30、2+CF2=CE2，即 。22215t+0t=4t解得 t1=10（不合题意，舍去） ，t 2=6。t=6。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，全等三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】 （1）已知点 A、B 坐标，用待定系数法求抛物线解析式即可。16（2）先证明EDFDAO，然后利用相似三角形对应边的比例关系以及三角形函数的定义求解。（3）通过作辅助线构造一对全等三角形：CAGOCA，得到 CG、AG 的长度；然后利用勾股定理求得 AE、EG 的长度（用含 t 的代数式表示） ；最后在 RtECF 中，利用勾股定理，得到关于 t的无理
31、方程，解方程求出 t 的值 。2. （2012 福建莆田 14 分） 如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 四个顶点的坐标分别为 O(0，0) ，A(0，3)，B(6， 3)，C(6，0)，抛物线 过点 A。2yaxbc(a0)(1)(2 分 )求 c 的值； (2)(6 分 )若 al，且抛物线与矩形有且只有三个交点 A、D、E，求ADE 的面积 S 的最大值；(3)(6 分 )若抛物线与矩形有且只有三个交点 A、M、N ，线段 MN 的垂直平分线 l 过点 O，交线段 BC 于点F。当 BF1 时，求抛物线的解析式【答案】解：(1)抛物线 过点 A(0，3)，c3。2yaxb(2) a
32、l， 如图，当抛物线与矩形的两个交点 D、E 分别在 AB、OC 边上时， 抛物线与直线x6 的交点应落在 C 点或 C 点下方。 当 x6 时，y0。 ，即 。2b301b2又对称轴在 y 轴右侧，b0。0 。1b2由抛物线的对称性可知： 。bADa1又ADE 的高 BC3，S b3 。123 0，S 随 b 的增大而增大。32当 b 时，S 的最大值 。1=417如图，当抛物线与矩形的两个交点 D、E 分别在 AB、BC 边上时，抛物线与直线x6 的交点应落在线段 BC 上且不与点 B 重合，即 0 3。y当 x6，则 ，2y6b06b333， b6。1BE3(6b33)366b 。S A
33、DBE b(366b)3b 2+18b。2对称轴 b3 ，随 b 的增大而减小。1当 b 时，S 的最大值 。34综上所述：S 的最大值为 。(3)当 a0 时，符合题意要求的抛物线不存在。当 a0 时，符合题意要求的抛物线有两种情况：当点 M、N 分别在 AB、OC 边上时如图过 M 点作 MGOC 于点 G，连接 OMMGOA 32MNO90 。OF 垂直平分 MNOMON，1MNO=90，12。FB1，FC312。tan1 ，tan2 tan1 。FCO63GNM3GN GM1。设 N(n， 0)，则 G(n1，0)， M(n 1，3)。 AMn1，ON nOM。 在 Rt AOM 中，
34、 ，22A ，解得 n5。 M(4，3) ，N(5，0)。2n3把 M(4，3)，N(5 ，0)分别代入 ，得2yaxb318，解得 。316a4b30253a512b抛物线的解析式为 。2yx35当点 M、N 分别在 AB、BC 边上时如图，连接 MFOF 垂直平分 MN，1NFO90 ，MF FN。又0CB90，2CFO=90。12。BF 1， FC 2。tan1tan2 。FC1O63在 RtMBN，tan1 ，BN3MB。MB=N3设 N(6， n)则 FN2n，BN3 一 n。MF2n，MB 。3n1在 Rt MBF 中， ， 。2FMB221解得： (不合题意舍去 )， 。123n
35、4， 34AM6 ， M( ，3)，N(6 ， ) 。=5154把 M( ，3)，N(6 ， )分别代人 ，得2yaxb3，解得 。213ab34612b8抛物线的解析式为 。21yx3综上所述，抛物线的解析式为 或 。21x521yx38【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义，勾股定理，解二元一次方程组。19【分析】（1）将点 A 的坐标代入 即可求得 c 的值。2yaxb（2）分抛物线与矩形的两个交点 D、E 分别在 AB、OC 边上和抛物线与矩形的两个交点 D、E分别在 AB、BC 边两种情况应用二次函数性质分别求解。（3）分抛物
36、线与矩形的两个交点 D、E 分别在 AB、OC 边上和抛物线与矩形的两个交点 D、E分别在 AB、BC 边两种情况应用待定系数法分别求解。3. （ 2012 甘肃兰州 10 分）若 x1、x 2 是关于一元二次方程 ax2bxc(a0)的两个根，则方程的两个根x1、x 2 和系数 a、b、c 有如下关系：x 1x 2 ，x 1x2 把它称为一元二次方程根与系数关系定baca理如果设二次函数 yax 2bxc(a0)的图象与 x 轴的两个交点为 A(x1，0) ，B(x 2，0)利用根与系数关系定理可以得到 A、B 连个交点间的距离为：AB|x 1x 2|22211b4cax+4x=a。bac=
37、参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数 yax 2bxc(a0)的图象与 x 轴的两个交点 A(x1，0) ，B(x 2，0)，抛物线的顶点为 C，显然ABC 为等腰三角形(1)当ABC 为直角三角形时，求 b24ac 的值；(2)当ABC 为等边三角形时，求 b24ac 的值【答案】解：（1）当ABC 为直角三角形时，过 C 作 CEAB 于 E，则 AB2CE。抛物线与 x 轴有两个交点，b 24ac0，则|b 24ac|b 24ac。20a0，AB 。22b4acac=又CE ， 。24ac4a22b4ac=a ，即 。22b4ac=22bc4b 24ac0，b 24ac4。（2）
38、当ABC 为等边三角形时，由(1)可知 CE AB，32 。2b4ac3b4ac=b 24ac0，b 24ac12。【考点】抛物线与 x 轴的交点，根与系数的关系，等腰三角形的性质，等边三角形的性质。【分析】 （1）当ABC 为直角三角形时，由于 ACBC，所以 ABC 为等腰直角三角形，过 C 作CEAB 于 E，则 AB2CE根据本题定理和结论，得到 AB ，根据顶点坐标公式，得到 CE2b4ac=，列出方程，解方程即可求出 b24ac 的值。24acb=（2）当ABC 为等边三角形时，解直角ACE，得 CE AB，据此列出方程，解方程即可求32出 b24ac 的值。4. （2012 湖北
39、黄石 10 分）已知抛物线 C1 的函数解析式为 ，若抛物线 C1 经过2yaxb(0)点 ，方程 的两根为 ， ，且 。(0,3)2axb30x2124（1）求抛物线 C1 的顶点坐标 .（2）已知实数 ，请证明： ,并说明 为何值时才会有 .1x1x2（3）若抛物线先向上平移 4 个单位，再向左平移 1 个单位后得到抛物线 C2，设 ， 1A(m,y)2B(n,y)是 C2 上的两个不同点，且满足： ， ， .请你用含有 的表达式表示出AOB0AOB9mn0的面积 S，并求出 S 的最小值及 S 取最小值时一次函数 OA 的函数解析式。21（参考公式：在平面直角坐标系中，若 ， ，则 P，
40、Q 两点间的距离1P(x,y)2(,)）2211(x)(y)【答案】解：（1）抛物线过（,）点，3a。a 。x 2bxx 2bx=的两根为 x1，x 2 且 ，124 且 b。b。112()4=b+ 。2xx四抛物线 的顶点坐标为（，） 。（2）x， 11()0xx 。2当 时，即当 x时，有 。 1=0x12x（3）由平移的性质，得 C2 的解析式为： yx 2 。(m，m 2)，B（n，n 2） 。AOB 为直角三角形， OA 2OB 2=AB2。m 2m 4n 2n 4（mn） 2（m 2n 2） 2，化简得：m n。 AOB= ，m n，242412OAB AOB 。211n211()
41、m2 AOB的最小值为，此时 m,( ,)。直线 OA 的一次函数解析式为x。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的性质，不等式的知识。【分析】 （1）求抛物线的顶点坐标，即要先求出抛物线的解析式，即确定待定系数 a、b 的值已知抛物线图象与 y 轴交点，可确定解析式中的常数项（由此得到 a 的值） ；然后从方程入手求 b 的值，题目给出了两根差的绝对值，将其进行适当变形（转化为两根和、两根积的形式） ，结合根与系数的关系即可求出b 的值。22（2）将 配成完全平方式，然后根据平方的非负性即可得证。1x（3）结合（1）的抛物线的解析式以及函数
42、的平移规律，可得出抛物线 C2 的解析式；在 RtOAB 中，由勾股定理可确定 m、n 的关系式，然后用 m 列出AOB 的面积表达式，结合不等式的相关知识可确定OAB 的最小面积值以及此时 m 的值，从而由待定系数法确定一次函数 OA 的解析式。别解：由题意可求抛物线 C2 的解析式为：yx 2。(m，m 2)，B（n，n 2） 。过点 A、B 作 x 轴的垂线，垂足分别为 C、D，则 AOCBDSS梯 形 22211(n)(mn由 得 ，即 。 。BOD AC BDO2mn1 。11Smn()=+122 AOB的最小值为，此时 m,( ,)。直线 OA 的一次函数解析式为x。5. （201
43、2 江苏无锡 8 分）对于平面直角坐标系中的任意两点 P1（x 1，y 1） ，P 2（x 2，y 2） ，我们把|x1 x2|+|y1y 2|叫做 P1、P 2 两点间的直角距离，记作 d（P 1，P 2） （1）已知 O 为坐标原点，动点 P（x，y）满足 d（O ，P）=1，请写出 x 与 y 之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点 P 所组成的图形；（2）设 P0（x 0，y 0）是一定点，Q（x，y）是直线 y=ax+b 上的动点，我们把 d（P 0，Q）的最小值叫做P0 到直线 y=ax+b 的直角距离试求点 M（2，1）到直线 y=x+2 的直角距离【答案】
44、解：（1）由题意，得|x|+|y|=1。所有符合条件的点 P 组成的图形如图所示：23（2）d（M，Q）=|x2|+|y1|=|x2|+|x+21|=|x 2|+|x+1|，又x 可取一切实数，|x2|+|x+1| 表示数轴上实数 x 所对应的点到数 2 和1 所对应的点的距离之和，其最小值为 3。点 M（2，1）到直线 y=x+2 的直角距离为 3。【考点】新定义，一次函数综合题，绝对值与数轴的关系。【分析】 （1）根据新定义知|x|+|y|=1，据此可以画出符合题意的图形。（2）根据新定义知 d（M，Q）=|x 2|+|y1|=|x2|+|x+21|=|x2|+|x+1|，然后由绝对值与数轴的关系可知，|x 2|+|x+1| 表示数轴上实数 x 所对应的点到数 2 和1 所对应的点的距离之和，其最小值为3。6. （2012 山东济南 9 分）如图 1，抛物线 y=ax2bx3 与 x 轴相交于点 A（3，0） ，B（1，0） ，与y 轴相交于点 C，O 1 为ABC 的外接圆，交抛物线于另一点 D（1）求抛物线的解析式；（2）求 cosCAB 的值和O 1 的半径；（3）如图 2，抛物线的顶点为 P，连接 BP，CP，BD，M 为弦 BD 中点，若点 N 在坐标平面内，满足BMNBPC ，请直接写出所有符合条件的点 N 的坐标【答案】解：（1）抛物线
