1、 1 / 92011 年2018 年新课标全国卷文科数学分类汇编 13坐标系与参数方程一、解答题【2018.22】（10 分）在直角坐标系 中，曲线 的方程为 以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极xOy1C2ykxx坐标系，曲线 的极坐标方程为 22cos30（1 ）求 的直角坐标方程； C（2 ）若 与 有且仅有三个公共点，求 的方程12 1C【2017，22】在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，直线 的参数方程xOyC3cos,inxyl为 （ 为参数） 4,1xaty（1）若 ，求 与 的交点坐标； （2）若 上的点到 的距离的最大值为 ，求 l l17a【2016
2、，23】在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 为参数， 在以坐xOy1C,sin1cotayx()0a标原点为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 4:2（）说明 是哪一种曲线，并将 的方程化为极坐标方程；1C1（）直线 的极坐标方程为 ，其中 满足 ，若曲线 与 的公共点都在300tan01C2上，求 3a2 / 93 / 9【2015，23】在直角坐标系 中，直线 ： = 2，圆 ： ，以坐标原点为极xOy1Cx2211xy点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.x（I）求 ， 的极坐标方程；1C2（II）若直线 的极坐标方程为 ，设 与 的交点为 , ，求 的面积.34R2C3MN2C【
3、2014，23】已知曲线 ： ，直线 ： （ 为参数）.C2149xyl2xty()写出曲线 的参数方程，直线 的普通方程；l（）过曲线 上任一点 作与 夹角为 的直线，交 于点 ，求 的最大值与最小值.Po30lA|P【2013，23】已知曲线 C1 的参数方程为 (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为45cos,inxy极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 2sin .(1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程；(2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(0,02)4 / 9【2012，23】已知曲线 1C的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为sin3
4、co2yx x极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程是 。正方形 ABCD 的顶点都在 上，且 A，B，C ，D22依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为（2， ） 。3（1)求点 A，B，C ，D 的直角坐标 ；（2）设 为 1上任意一点，求 的取值范围。P 2222 | PDCPBA【2011，23】在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数）2cosinxyM 是 C1 上的动点， P 点满足 ,P 点的轨迹为曲线 C22OMuv()求 C2 的方程；() 在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 与 C1 的异于3极点的交点为 A，与 C2 的异于极点的
5、交点为 B，求 .A5 / 92011 年2018 年新课标全国卷文科数学分类汇编13坐标系与参数方程（解析版）一、解答题【2018.22】（10 分）在直角坐标系 中，曲线 的方程为 以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极xOy1C2ykxx坐标系，曲线 的极坐标方程为 22cos30（1 ）求 的直角坐标方程； C（2 ）若 与 有且仅有三个公共点，求 的方程12 1C解：（1）由 ， 得 的直角坐标方程为cosxsiny22()4xy（2 ）由（1 ）知 是圆心为 ，半径为 的圆2C(1,0)A2由题设知， 是过点 且关于 轴对称的两条射线记 轴右边的射线为 ， 轴左边的射线1,)By
6、y1ly为 由于 在圆 的外面，故 与 有且仅有三个公共点等价于 与 只有一个公共点且 与2l21C2 1l2C2l有两个公共点，或 与 只有一个公共点且 与 有两个公共点Cl21l2C当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故 或 1l2 A1l 2|1k43k0经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 只有一个公共点， 与 有两个公0k1l2C43k1l2C2lC共点当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故 或 2lCA2l22|1k0k43经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 没有公共点学.科网0k1l2C43k2lC综上，所求
7、的方程为 14|3yx【2017，22】在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，直线 的参数方程Ocos,inxyl6 / 9为 （ 为参数） 4,1xaty（1）若 ，求 与 的交点坐标；（2）若 上的点到 的距离的最大值为 ，求 ClCl17a【解析】（1） 时，直线 的方程为 曲线 的标准方程是 ，al430xy29xy联立方程 ，解得： 或 ，则 与 交点坐标是 和243019xy0y2154xCl30，2145，（2）直线 一般式方程是 设曲线 上点 l4xa3cosinp，则 到 距离 ，其中 Pl5sin43cosin1717ad t4依题意得： ，解得 或 max
8、 6a8【2016，23】在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 为参数， 在以坐xOy1C,sin1cotayx()0a标原点为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 4:2（）说明 是哪一种曲线，并将 的方程化为极坐标方程；1C1（）直线 的极坐标方程为 ，其中 满足 ，若曲线 与 的公共点都在300tan01C2上，求 3a【解析】： （ 均为参数）, cos1inxaty221xya 为以 为圆心， 为半径的圆方程为1C0， 220 , 即为 的极坐标方程22sinxy， 2sin10a1C ,两边同乘 得24co： 224cocosxyx，,即 , ：化为普通方程为xy2xy3C由题
9、意： 和 的公共方程所在直线即为 ,得： ，即为1C2 2410xya3C ,20a7 / 9【2015，23】在直角坐标系 中，直线 ： = 2，圆 ： ，以坐标原点为极xOy1Cx2211xy点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.x（I）求 ， 的极坐标方程；1C2（II）若直线 的极坐标方程为 ，设 与 的交点为 , ，求 的面积.34R2C3MN2C解析：（I）因为 ，所以 的极坐标方程为 ， 的极坐标方程cos,inxy1cos为 .2cos4in0（）将 代入 ，得 ，解得=2cs4i02340= ， = ，| MN|= = ，因为 的半径为 1，则 的面积122122C2CMN=
10、.osin45【2014，23】已知曲线 ： ，直线 ： （ 为参数）.C2149xyl2xty()写出曲线 的参数方程，直线 的普通方程；l（）过曲线 上任一点 作与 夹角为 的直线，交 于点 ，求 的最大值与最小值.Po30lA|P【解析】：.() 曲线 C 的参数方程为： （ 为参数） ， 2csinxy直线 l 的普通方程为： 260xy（） （2）在曲线 C 上任意取一点 P (2cos ,3sin )到 l 的距离为 ，54cos3in6d则 ，其中 为锐角且 .025| sin6sin3dPAtan当 时， 取得最大值，最大值为 ；i1|PA25当 时， 取得最小值，最小值为 .
11、 sin|【2013，23】已知曲线 C1 的参数方程为 (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为45cos,inxy极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 2sin .8 / 9(1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程；(2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(0,0 2)解：(1)将 消去参数 t，化为普通方程(x4) 2(y5) 225，45cos,inxty即 C1：x 2y 28x10y 160.将 代入 x2y 28x10y 160 得 28cos 10 sin 160.s,i所以 C1的极坐标方程为 28cos 10sin 160.(2)C2的普通方程为 x2y 2
12、2 y0.由解得 或016,x 1,xy0,2.所以 C1与 C2交点的极坐标分别为 ， .,4,【2012，23】已知曲线 1的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为sin3co2yx x极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程是 。正方形 ABCD 的顶点都在 上，22C且 A，B，C ，D 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为（2， ） 。3（1)求点 A，B，C ，D 的直角坐标 ；（2）设 为 1上任意一点，求P的取值范围。2222 | P【解析】 （1）曲线 1C的参数方程 化为sin3coyx直角坐标方程为 ，2149曲线 的极坐标方程 化为2C直角坐标方程为
13、，2xy因为点 A 的极坐标为（2， ） ，3所以点 B 的极坐标为（2， ） ，点 C 的极坐56标为（2， ） ，点 D 的极坐标为（2， ） ，因此点 A 的直角坐标为（1， ） ，点 B 的直4313角坐标为（ ，1） ，9 / 9点 C 的直角坐标为（1， ） ，点 D 的直角坐标为（ ，1） 。33（2）设 P（ ， ） ，则cosin 2222 | PDCPBA22()()(cos)(sin)2213i 3122css i22(o)(in)(cs)(s)。20in,5因此 的取值范围为32 ，52 。22| PDCPBA【2011，23】在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参
14、数方程为 （ 为参数）cos2inxyM 是 C1 上的动点， P 点满足 ,P 点的轨迹为曲线 C22OMuv()求 C2 的方程；() 在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 与 C1 的异于3极点的交点为 A，与 C2 的异于极点的交点为 B，求 .A解：（I）设 ，则由条件知 ，由于 点在 上，所以 ，即 . ,Pxy,2xyM1C2cosinxy4cosinxy从而 的参数方程为 ( 为参数).2C4cosiny(II)曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程为 . 12C8sin射线 与 的交点 的极径为 ，3A14sin3射线 与 的交点 的极径为 ，2CB28i所以 . 123AB
