1、 . . . 学习参考 .第三节 圆周运动【知识清单】（一） 匀速圆周运动的概念1、 质点沿圆周运动，如果_，这种运动叫做匀速圆周运动。2、 匀速圆周运动的各点速度不同，这是因为线速度的_时刻在改变。（二） 描述匀速圆周运动的物理量1、 匀速圆周运动的线速度大小是指做圆周运动的物体通过的弧长与所用时间的比值。方向沿着圆周在该点的切线方向。2、 匀速圆周运动的角速度是指做圆周运动的物体与圆心所连半径转过的角度跟所用时间的比值。3、 匀速圆周运动的周期是指_所用的时间。（三） 线速度、角速度、周期1、 线速度与角速度的关系是 V=r ，角速度与周期的关系式是 =2/T。2、 质点以半径 r=0.1
2、m 绕定点做 匀速圆周运动，转速 n=300r/min，则质点的角速度为_rad/s,线速度为_m/s。3、 钟表秒针的运动周期为_s，频率为_Hz ，角速度为_rad/s。（四） 向心力、相信加速度1、 向心力是指质点做匀速圆周运动时，受到的总是沿着半径指向圆心的合力，是变力。2、 向心力的方向总是与物体运动的方向_，只是改 变速度的_ ，不改变线速度的大小。. . . 学习参考 .3、 在匀速圆周运动中，向心加速度的_不变，其方向 总是指向_ ，是时刻变化的，所以匀速圆周运动是一种变加速曲线运动。4、 向心加速度是由向心力产生的，在匀速圆周运动中，它只描述线速度方向变化的快慢。5、 向心力
3、的表达式_。向心加速度的表达式_。6、 向心力是按照效果命名的力，任何一个力或几个力的合力，只要它的作用效果是使物体产生_，它就是物体所受的向心力。7、 火车拐弯时，如果在拐弯处内外轨的高度一样，则火车拐弯所需的向心力由轨道对火车的弹力来提供，如果在拐弯处外轨高于内轨，且据转弯半径和规定的速度，恰当选择内外轨的高度差，则火车所需的向心力完全由_和_的合力来提供。8、 汽车通过拱桥或凹的路面时，在最高点或最低点所需的向心力是由_的合力来提供。【考点导航】一、匀速圆周运动中，线速度、角速度、周期、频率、转速之间的关系T=1/f =2/T=2f V=2r/T = 2rf =2n n=f二、匀速圆周运
4、动的特点加速度的大小不变，方向总是指向圆心，时刻在改变，是变加速曲线运动，做匀速圆周运动的物体所受的合外力全部用来提供向心力，即合力的方向指向圆心。三、向心加速度、向心力1、 根据 F=ma 知，向心力和向心加速度的方向相同，都时刻指向圆心，时刻在发生变化。. . . 学习参考 .2、 向心力的来源：可以是任何一个力，可以是任何一个力的分力，也可以是某几个力的合力。1、描述圆周运动的物理量及其相互关系1、线速度定义：质点做圆周运动通过的弧长 s 和所用时间 t 的比值叫做线速度.大小：2srvtT单位为 m/s.方向： 某点线速度的方向 即为该点的切线方向.（与半径垂直）物理意义：描述质点沿圆
5、周运动的快慢.注：对于匀速圆周运动，在任意相等时间内通过的弧长都相等，即线速度大小不变，方向时刻改变。2、角速度定义：在匀速圆周运动中，连接运动质点和圆心的半径转过的角度 跟所用时间 t 的比值，就是质点运动的角速度.大小： 单位:rad/s.物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢.注：对于匀速圆周运动，角速度大小不变。2tT. . . 学习参考 .说明：匀速圆周运动中有两个结论：同一转动圆盘(或物体) 上的各点角速度相同不打滑的摩擦传动和皮带(或齿轮) 传动的两轮边缘上各点线速度大小相等。3、周期、频率、 转速 周期：做匀速圆周运动的物体，转过一周所用的时间叫做周期。用 T 表示，单位为 s。频
6、率：做匀速圆周运动的物体在 1 s 内转的圈数叫做频率。用 f 表示，其单位为转/ 秒( 或赫兹)，符 号为 r/s(或 Hz)。转速：工程技术中常用转速来描述转动物体上质点做圆周运动的快慢。转速是指物体单位时间所转过的圈数，常用符号 n 表示，转速的单位为转/秒，符号是 r/s，或转/ 分(r/min) 。4、向心加速度定义：做圆周运动的物体，指向圆心的加速度称为向心加速度.大小：. . . 学习参考 .方向：沿半径指向圆心.意义：向心加速度的大小表示速度方向改变的快慢.说明:向心加速度总指向圆心，方向始终与速度方向垂直，故向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。向心加速度方向时刻变化
7、，故匀速圆周运动是一种加速度变化的变加速曲线运动(或称非匀变速曲线运动).向心加速度不一定是物体做圆周运动的实际加速度。对于匀速圆周运动，其所受的合外力就是向心力，只产生向心加速度，因而匀速圆周运动的向心加速度是其实际加速度。对于非匀速圆周运动，例如竖直平面内的圆周运动。如图所示，小球的合力不指向圆心，因而其实际加速度也不指向圆心，此时的向心加速度只是它的一个分加速度，其只改变速度的方向。而沿切线的分加速度只改变速度的大小。5、向心力定义：做圆周运动的物体受到的指向圆心的合外力，叫向心力。方向：向心力的方向沿半径指向圆心，始终和质点运动方向垂直，即总与圆周运动的线速度方向垂直。. . . 学习
8、参考 .大小:向心力的效果：向心力只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。补充知识：同轴传动、皮带传动和齿轮传动两个或者两个以上的轮子绕着相同的轴转动时，不同轮子上的点具有相同的角速度，通过皮带传动的两个轮子上，与皮带接触的点具有相同的线速度，齿轮传动和皮带传动具有相同的规律。二、离心运动和向心运动1、离心运动定义：做圆周运动的物体，在所受到的合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着切线方向飞出去的倾向受力特点当 Fm2r 时，物体做匀速圆周运动；当 F0 时，物体沿切 线方向飞出；当 Fm2r，物体逐渐向圆心
9、靠近如 图所示三、圆周运动中的动力学问题分析1、向心力的来 源向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。2、向心力的确定(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置。(2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力3、解决圆周运 动问题的主要步 骤(1)审清题意，确定研究对象；(2)分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等；(3)分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的来源；. . . 学习参考 .(4)据牛顿运动定律及向心
10、力公式列方程；(5)求解、讨论四、圆周运动当中的各种模型分析1、汽车转弯问题(1)路面水平时，转弯所需的向心力由静摩擦力提供，若转弯半径为 R，路面与车轮之间的最大静摩擦力为车重的 倍，汽车转弯的最大速度为计算车辆通过倾斜弯道问题时应注意：公路弯道倾斜或铁路弯道外轨高于内轨，如果车辆转弯时的速度大于设计速度，此时汽车受到的静摩擦力沿斜面向内侧，火车受到外轨的压力沿斜面向内侧。 （如图所示）这个力不是全部用于提供向心力。只有其水平分力提供向心力。原因是车辆做圆周运动的轨道平面是水平面。 Nmgf(1)ONmgyxf(1)O受力分析如下图. . . 学习参考 .Nmgyxf(1)O受 力 分 析
11、如 图 所 示 ， 可 得 ：解 得 ：如 果 车 辆 转 弯 时 的 速 度 小 于 设 计 速 度 ， 同 理 可 得 ：2、水流星模型(竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动)研究物体 通过最高点和最低点的情况 ，并且经常出现临界状态。(圆周运动实例) 火车转弯 汽车过拱桥、凹桥 3飞机做俯冲运动时，飞行员对座位的压力。物体在水平面内的圆周运动（汽车在水平公路转弯，水平转盘上的物体，绳拴着的物体在光滑水平面上绕绳的一端旋转）和物体在竖直平面内的圆周运动（翻滚过山车、水流星、杂技节目中的飞车走壁等） 。万有引力 卫星的运动、库仑力电子绕核旋转、洛仑兹力带电粒子在匀强磁场中的偏转、重力与弹
12、力的合力锥摆、 （关健要搞清楚向心力怎样提供的）（1 ）火车转弯 ：设火车弯道处内外轨高度差为h，内外轨间距L，转弯半径R 。由于外轨略高于内轨，使得火车所受重力和支持力的合力F 合 提供向心力。为 转 弯 时 规 定 速 度 ）（得由 合 002sinta vLRghvmhgmg Rgvtan0(是 内外轨对火车 都无摩擦力的临界条件)当火车行驶速率V等于V 0时，F 合 =F向 ，内外轨道对轮缘都没有侧压力当火车行驶V大于V 0时，F 合 F向 ，内轨道对轮缘有侧压力，F 合 -N=R2mv即当火车转弯时行驶速率不等于V 0时，其向心力的变化可由内外轨道对轮缘侧压力自行调节，但调节程度不宜
13、过大，以免损坏轨道。火车提速靠增大轨道半径或倾角来实现. . . 学习参考 .（2）无支承的小球，在竖直平面内作圆周运动过最高点情况：受力：由mg+T=mv 2/L知,小球速度越小 ,绳拉力或环压力T越小,但T的最小值只能为零,此时小球以重力提供作向心力. 结论：通过最高点时绳子(或轨道) 对小球没有力的作用(可理解为恰好通过或恰好通不过的条件)，此 时只有重力提供作向心力. 注意讨论：绳系小球从最高点抛出做圆周还是平抛运动。能过最高点条件：VV 临 （当VV 临 时，绳、轨道对球分别产生拉力、压力）不能过最高点条件：Vv0，所以小球与锥 面脱离并不接触，设此时线与竖直方向的夹角为 ，小球受力
14、如图丙所示则FTsin mv2lsin FTcos mg 0 . . . 学习参考 .由两式解得 FT2mg答案 (1)1.03mg (2)2mg【例 25】如图所示，用细绳一端系着的质量为 M0.6 kg 的物体A 静止在水平转盘 上，细绳另一端通 过转盘中心的光滑小孔 O 吊着质量为 m0.3 kg 的小球 B，A 的重心到 O 点的距离为 0.2 m若 A 与转盘间的最大静摩擦力为 Ff2 N，为使小球 B 保持静止，求 转盘绕中心 O 旋 转的角速度 的取值范围( 取 g10 m/s2)答案 2.9 rad/s6.5 rad/s解析 要使 B 静止，A 必须相对于转盘静止具有与转盘相同
15、的角速度A 需要的向心力由绳的拉力和静摩擦力的合力提供角速度取最大值时，A 有离心趋势，静摩擦力指向圆心 O；角速度取最小值时，A 有向心趋势，静摩擦力背离 圆心 O.设角速度 的最大值为 1，最小值为 2对于 B：FTmg对于 A：FTFfMr 21或 FT FfMr 2代入数据解得 16.5 rad/s，22.9 rad/s所以 2.9 rad/s6.5 rad/s.【例 26】如右图所示，轻线一端系一质量为 m 的小球，另一端穿过光滑小孔套在正下方的图钉 A 上，此 时小球在光滑的水平平台上做半 径为 a、角速度为. . . 学习参考 . 的 匀 速圆周运动. 现拔掉图钉 A 让小球飞出
16、，此后细绳又被 A 正上方距 A 高为 h 的图钉B 套住，达稳定后，小球又在平台上做匀速圆周运动. 求：(1)图钉 A 拔掉前，轻线对小球的拉力大小？(2)从拔掉图钉 A 到被图钉 B 套住前小球做什么运动？所用的时间为多少？(3)小球最后做圆周运动的角速度【例 27】如图 11 所示，竖直环 A 半径为 r，固定在木板 B 上，木板 B 放在水平地面上，B 的左右两侧各有一挡板固定在地上，B 不能左右运动，在环的最低点静放有一小球C，A、B、C 的质量均为 m.现给 小球一水平向右的瞬时速度 v，小球会 在环内侧做圆周运动，为保证小球能通 图 11过环的最高点，且不会使环在竖直方向上跳起(
17、不计小球与环的摩擦阻力)，瞬时速度必须满足( CD )A最小值 B最大值4gr 6grC最小值 D最大值5gr 7gr. . . 学习参考 .解析 要保证小球能通过环的最高点，在最高点最小速度满足 mgm ，由最低点到最v20r高点由机械能守恒得 mv mg2r mv ，可得小球在最低点瞬 时速度的最小值为12 2min12 20； 为了不 会使环在竖直方向上跳起，在最高点有最大速度时，球对环的压力为 2mg，5gr满足 3mgm ，从最低点到最高点由机械能守恒得： mv mg2r mv ，可得小v21r12 2max12 21球在最低点瞬时速度的最大值为 .7gr答案 CD【例 28】一轻杆
18、一端固定质量为 m 的小球，以另一端 O 为圆心，使小球在竖直面内做半径为 R 的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是 ( A )A小球过最高点 时，杆所受到的 弹力可以等于零B小球过最高点的最小速度是 gRC小球过最高点时，杆对球的作用力一定 随速度增大而增大D小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小答案 A解析 因轻杆既可以提供拉力又可以提供支持力，所以在最高点杆所受弹力可以为零，A对；在最高点弹力也可以与重力等大反向，小球最小速度为零，B 错；随着速度增大，杆对球的作用力可以增大也可以减小，C、D 错.【例 29】如图甲所示，用一根长为 l1 m 的细线，一端系一质量为 m1
19、 kg 的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角 37，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为 时，细线和张力为 T.(取 g10 m/s2，结果. . . 学习参考 .可用根式表示)求：(1)若要小球离开锥面，则小球的角速度 0 至少为多大？(2)若细线与竖直方向的夹角为 60，则小球的角速度 为多大？(3)细线的张力 T 与小球匀速 转动的角速度 有关，请在如图乙所示的坐标纸上画出当 的取值范围在 0 到 之间时 的 T2 图像( 要求标明关键点的坐标值) . . . 学习参考 .【例 30】如图所示，小球被长为 L 的细绳静止地悬挂着，给小球多大的水平初速度，才能使绳在小球运动过程中始终绷紧？. . . 学习参考 .
