1、第 1 页（共 9 页）长丰一中高二数学培优训练直线与方程 项贤安（2016-10-28）一选择题（共 10 小题）1直线 xsiny+1=0 的倾斜角的变化范围是（ ）A （0， ） B （0， ） C ， D0， ， ）2已知点（1 ，2）和（ ，0）在直线 l：axy+1=0（a0）的同侧，则直线 l 倾斜角的取值范围是A （ ， ） B （0， ）（ ，） C （ ， ） D （ ， ）3已知点 P 在直线 x+3y2=0 上，点 Q 在直线 x+3y+6=0 上，线段 PQ 的中点为 M（x 0，y 0） ，且y0x 0+2，则 的取值范围是（ ）A ，0） B （ ，0） C （
2、，+） D （， ）（0，+）4已知直线 l 的方程为 ax+2y3=0，且 a5，4，则直线 l 的斜率不小于 1 的概率为（ ）A B C D5已知直线 l：3x4y+m=0 上存在不同的两点 M 与 N，它们都满足与两点 A（ 1，0） ，B（1，0）连线的斜率 kMA 与 kMB 之积为 1，则实数 m 的取值范围是（ ）A （3， 3） B （ 4，4） C （ 5，5） D5，56若直线 2mx+y+6=0 与直线（ m3）xy+7=0 平行，则 m 的值为（ ）A1 B1 C1 或 1 D37如果 AB0，BC0，那么直线 AxByC=0 不经过的象限是（ ）A第一象限 B第二象
3、限 C第三象限 D第四象限8三角函数 f（x）=asinxbcosx，若 f（ x）=f（ +x） ，则直线 axby+c=0 的倾斜角为（ ）A B C D9直线（1+a 2）xy+2=0 的倾斜角的取值范围是（ ）第 2 页（共 9 页）A0， B0， C0， （ ， D ， ）10已知直线 l：（a +3）x+y1=0，直线 m：5x+（a 1）y+32a=0，若直线 lm，则直线 l 与直线 m 之间的距离是（ ）A B C D二解答题（共 4 小题）11已知两直线 l1：x+ysin1=0 和 l2：2xsin+y+1=0，试求 的值，使得：（1）l 1l 2；（2）l 1l 212
4、 （2010泉州一模）在同一平面内，边长为 2 的等边ABC 的两个顶点 B、C 分别再两条平行直线l1，l 2 上，另一个顶点 A 在直线 l1、l 2 之间，AB 与 l1 的夹角为 ，0 o60 o（I）当 =45o 时，求点 A 到直线 l1 的距离；（II）若点 A 到直线 l1、l 2 的距离分别为 d1、d 2，记 d1d2=f（） ，求 f（）的取值范围13 （2015 春 凉山州校级期末）已知过点 A（1，1）且斜率为m（m0）的直线 l 与 x 轴、y 轴分别交于 P、Q，过 P、Q 作直线 2x+y=0 的垂线，垂足为 R、S，求四边形 PRSQ 面积的最小值第 3 页（
5、共 9 页）参考答案与试题解析一选择题（共 11 小题）1 （2016曲靖校级模拟）直线 xsiny+1=0 的倾斜角的变化范围是（ ）A （0， ） B （0， ） C ， D0， ， ）【分析】由已知直线方程求出直线斜率的范围，再由斜率为直线倾斜角的正切值得答案【解答】解：由 xsiny+1=0，得此直线的斜率为 sin1，1设其倾斜角为 （0） ，则 tan1，10， ，） 故选：D【点评】本题考查直线的倾斜角，考查了直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题2 （2016衡阳三模）已知点（ 1，2）和（ ，0）在直线 l：ax y+1=0（a0）的同侧，则直线 l 倾斜角的取值范围是（ ）A
6、（ ， ） B （0， ）（ ，） C （ ， ） D （ ， ）【分析】由点（1，2） ， （ ，0）在直线 axy+1=0 的同侧，得（a2+1） （ a+1）0，解出即可【解答】解：点（1，2） ， （ ，0）在直线 axy+1=0 的同侧，（a 2+1） （ a+1）0解不等式可得， a 1第 4 页（共 9 页） ，故选：D【点评】要求 a 的范围，关键是要根据题意建立关于 a 的不等式的范围，而根据不等式表示平面区域的知识可得在直线同一侧的点的坐标代入直线方程的左侧的值的符合一致，两侧的值的符合相反3 （2016南昌一模）已知点 P 在直线 x+3y2=0 上，点 Q 在直线 x+
7、3y+6=0 上，线段 PQ 的中点为M（x 0，y 0） ，且 y0x 0+2，则 的取值范围是（ ）A ，0） B （ ，0） C （ ，+） D （， ）（0，+）【分析】由题意可得，线段 PQ 的中点为 M（x 0，y 0）到两直线的距离相等，利用，可得 x0+3y0+2=0又 y0x 0+2，设 =kOM，分类讨论：当点位于线段 AB（不包括端点）时，当点位于射线 BM（不包括端点 B）时，即可得出【解答】解：点 P 在直线 x+3y2=0 上，点 Q 在直线 x+3y+6=0 上，线段 PQ 的中点为 M（x 0，y 0） ， ，化为 x0+3y0+2=0又 y0x 0+2，设 =
8、kOM，当点位于线段 AB（不包括端点）时，则 kOM0，当点位于射线 BM（不包括端点 B）时，k OM 的取值范围是（， ） （0，+） 故选：D第 5 页（共 9 页）【点评】本题考查了平行线的性质、点到直线的距离公式、线性规划的知识、斜率的意义及其应用，考查了数形结合的思想方法、计算能力，属于中档题4 （2016山东模拟）已知直线 l 的方程为 ax+2y3=0，且 a5，4，则直线 l 的斜率不小于 1 的概率为（ ）A B C D【分析】先求出直线的斜率的范围，再根据几何概型的概率公式计算即可【解答】解：由 ax+2y3=0 得到 y= x+ ，故直线的斜率为 ，直线 l 的斜率不
9、小于 1， 1，即 a2，且 a5，4，5 a 2，直线 l 的斜率不小于 1 的概率为 = ，故选：C【点评】本题考查了几何概型的问题，以及直线的斜率问题，属于基础题5 （2016湖南四模）已知直线 l：3x4y+m=0 上存在不同的两点 M 与 N，它们都满足与两点 A（ 1，0） ，B（1，0）连线的斜率 kMA 与 kMB 之积为1，则实数 m 的取值范围是（ ）A （3， 3） B （ 4，4） C （ 5，5） D5，5【分析】由题意可知，点 M、N、A 、B 在以 AB 为直径的圆上，求出以 AB 为直径的圆的方程，可知直线 l 与圆相交，利用点到直线的距离公式求出 m 的范围得
10、答案【解答】解：由题意可知，点 M、N、A 、B 在以 AB 为直径的圆上，则该圆的方程为 x2+y2=1M、N 是不同的两点，直线 l 与圆相交，且直线 l 与圆相切为临界条件，此时原点到直线 l 的距离等于圆的半径，即 1= ，m= 5m 的取值范围为（5，5） 故选：C【点评】不同考查直线的斜率，考查了直线与圆的位置关系的应用，体现了数学转化思想方法，是中档题第 6 页（共 9 页）6 （2016河西区模拟）若直线 2mx+y+6=0 与直线（m 3）xy+7=0 平行，则 m 的值为（ ）A1 B1 C1 或 1 D3【分析】直接利用两条直线平行的充要条件，解答即可【解答】解：因为两条
11、直线平行，所以：解得 m=1故选 B【点评】本题考查两条直线平行的判定，容易疏忽截距问题，是基础题7 （2016 春武威校级期末）如果 AB0，BC0，那么直线 AxByC=0 不经过的象限是（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】化直线的方程为斜截式，由已知条件可得斜率和截距的正负，可得答案【解答】解：由题意可知 B 0，故直线的方程可化为 ，由 AB0，BC0 可得 0， 0，由斜率和截距的几何意义可知直线不经过第二象限，故选 B【点评】本题考查直线的斜率和截距的几何意义，属基础题8 （2016 春宜春校级期末）三角函数 f（x）=asinx bcosx，若 f（ x）
12、=f（ +x） ，则直线 axby+c=0的倾斜角为（ ）A B C D【分析】由 f（x）=asinxbcosx，且 f（ x）=f（ +x）得到 a=b，再由直线 axby+c=0 求得直线的斜率，根据倾斜角的正切值等于斜率得答案【解答】解：由 f（ x）=f（ +x） ，知三角函数 f（x）的图象关于 x= 对称，f（0）=f（ ） ，asin0bcos0=asin bcos ，即 a=b，直线 axby+c=的斜率 ，其倾斜角为 故选：D【点评】本题考查了三角函数中的恒等变换应用，考查了直线的倾斜角，是基础题9 （2016 春廊坊期末）直线（1+a 2）x y+2=0 的倾斜角的取值范
13、围是（ ）A0， B0， C0， （ ， D ， ）第 7 页（共 9 页）【分析】表示出直线的斜率 k=k=1+a21，从而求出直线的倾斜角的范围即可【解答】解：由（1+a 2）xy+2=0 ，得：y=（1+a 2）x+2，故 k=1+a21，故直线的倾斜角的取值范围是 ， ） ，故选：D【点评】本题主要考查直线斜率和倾斜角之间的关系，求出斜率的取值范围是解决本题的关键10 （2016 春 成都校级月考）已知直线 l：（a+3）x+y1=0 ，直线 m：5x+（a1）y+32a=0，若直线lm，则直线 l 与直线 m 之间的距离是（ ）A B C D【分析】由两直线平行的条件列式求得 a 的
14、值，代入直线 l，m 后化简，然后由两平行线间的距离公式得答案【解答】解：由 l：（a +3）x+y1=0，直线 m：5x+（a 1）y+32a=0，且 lm，得 ，解得：a=4直线 l：（a+ 3）x+y1=0 化为：xy+1=0又直线 m：5x+（a 1）y+32a=0，即 xy+2.2=0直线 l 与直线 m 之间的距离是 d= = 故选：C【点评】本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系，考查了两平行线间的距离公式，是基础题二解答题（共 19 小题）11 （2016 春 新疆期末）已知两直线 l1：x+ysin1=0 和 l2：2xsin+y+1=0，试求 的值，使得：（1）l1l
15、2；（2）l 1l 2【分析】 （1）由 A1B2A2B1=0，且 B1C2B2C10，可得 sin= ，=k ，kZ（2）根据题意，可得 A1A2+B1B2=0 是 l1l 2 的充要条件，故有 2sin+sin=0，解出 sin，进而可得 值【解答】解：（1）由 A1B2A2B1=0，即 2sin21=0，得 sin2= ，sin= 由 B1C2B2C10，即 1+sin0，即 sin1综上，sin= ，=k ，k Z，当 =k ，kZ 时，l 1l 2第 8 页（共 9 页）（2）A 1A2+B1B2=0 是 l1l 2 的充要条件，2sin+sin =0，即 sin=0，=k（kZ）
16、， 当 =k，kZ 时，l 1l 2【点评】本题考查两直线平行、垂直的条件，以及已知三角函数值求教的大小12 （2010泉州一模）在同一平面内，边长为 2 的等边ABC 的两个顶点 B、C 分别再两条平行直线l1，l 2 上，另一个顶点 A 在直线 l1、l 2 之间，AB 与 l1 的夹角为 ，0 o60 o（I）当 =45o 时，求点 A 到直线 l1 的距离；（II）若点 A 到直线 l1、l 2 的距离分别为 d1、d 2，记 d1d2=f（） ，求 f（）的取值范围【分析】 （I）过点 A 作直线 l1 的垂线，垂足为 M，然后解三角形，求点 A 到直线 l1 的距离；（II）过点
17、A 作直线 l2 的垂线，垂足为 N，点 A 到直线 l1、l 2 的距离分别为 d1、d 2，表示出 d1、d 2，和d1d2=f（） ，然后求 f（）的取值范围【解答】解：（I）过点 A 作直线 l1 的垂线，垂足为 M，在 Rt ABM 中，sin45= ，|AM|=2sin45 =2即：点 A 到直线 l1 的距离为 （II）过点 A 作直线 l2 的垂线，垂足为 N，AB 与 l2 的夹角为 ，AC 与 l2 的夹角为 60，在 Rt ABM，d 1=AM=2sin在 Rt ACN，d 2=AN=2sin（ 60）d1d24sin （60 ）sin=2sin（2+30）1060 30
18、2 +30 150 sin（2+30）1，d 1d2（0，1【点评】本题考查点到直线的距离，正弦函数的定义域和值域，考查学生的计算能力，是中档题13 （2015 春 凉山州校级期末）已知过点 A（1，1）且斜率为m（m0）的直线 l 与 x 轴、y 轴分别交于 P、Q，过 P、Q 作直线 2x+y=0 的垂线，垂足为 R、S，求四边形 PRSQ 面积的最小值【分析】设 l 的方程，求出 P、Q 的坐标，得到 PR 和 QS 的方程，利用平行线间的距离公式求出|RS|，第 9 页（共 9 页）由四边形 PRSQ 为梯形，代入梯形的面积公式，再使用基本不等式可求四边形 PRSQ 的面积的最小值【解答】解：设 l 的方程为 y1=m（x 1） ，则 P（1+ ，0） ，Q（0，1+m） 从而可得直线 PR 和 QS 的方程分别为x2y =0 和 x2y+2（m+1） =0又 PR QS，|RS| = 又|PR|= ，|QS|= ，四边形 PRSQ 为梯形，S 四边形 PRSQ = + = （m+ + ） 2 （2 + ） 2 =3.6四边形 PRSQ 的面积的最小值为 3.6【点评】本题考查直线方程的应用，2 条平行线间的距离公式的应用，使用基本不等式求式子的最小值
