1、 12020 年高考文科数学平面向量题型归纳与训练【题型归纳】题型一 平面向量的基本定理例 1 给出下列命题：（1）向量 与向量 是共线向量，不是平行向量；AB（2）若向量 与向量 都是单位向量，则 ；abab=（3）若 ，则 四点构成平行四边形；ABDC=,（4） 为实数，若 ，则 与 共线其中错误的命题的序号是 ,lmabl【答案】 （1） （2） （3） （4）【解析】 （1）错误，因为共线向量就是平行向量，平行向量就是共线向量；（2）错误，向量有方向和大小两个要素，只有方向相同且长度相等，两个向量才相等。两个单位向量不一定相等，因为它们的方向不一定相同；（3）是错误的，当 A、B、C
2、、D 在一条直线上时，它们不构成平行四边形；（4）是错误的，当 时， 与 可以共线可以不共线=0lmab【易错点】对平行向量单位向量的概念理解不透彻容易忽视一些特殊情况，若 ，则ABDC=A、B、C 、D 四点可能在一条直线上，所以不一定能构成平行四边形。 ，若 ，则 与0lmabl不一定共线。b【思维点拨】平面向量线性运算问题的求解策略：（1）进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来（2）向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因
3、式等变形手段在线性运算中同样适用2（3）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果例 2 已知 , 且 ,则 (1)a(2,3)bxabx【答案】 34【解析】根据 有 ,可知 ,得ab0121yx02)3(x43【易错点】 （1）经典错解错在把向量平行的充要条件记成了 （2） ，1y-=|ab1210xy不是 ，可以记为“斜乘相减等于零” ，可以记为“竖乘相加等于零”120xy-=120abxy+这两个公式是向量运算里经常要用到的，大家要区分并记牢【思维点拨】1平面向量的概念辨析题的解题方法准确理解向量的基本概念是解决该类问
4、题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法2几个重要结论（1）向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；（2）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量；（3）向量平行与起点的位置无关3题型二 平面向量的线性运算例 1 在 中，错误的式子是（ ）ABCDA B C D ADBAACB【答案】D【解析】根据平行四边形法则知，错误的为 在向量的加法运算中，第一个向量的终点和第二个向量的起点相同时，可得第一个向量的起点指向第二个的终点，如 ，在向量的减法运算中，两向ACB量的起点相同，则由第二个向量的终点指向第一个的起点，如 ，对于 选项，利用
5、平行四DD边形法则结合图像可得 ACBD【易错点】使用向量的加法三角形法则时，两向量必须首尾相接，使用向量的减法三角形法则时，两向量必须起点相同，差向量是减向量的终点指向被减向量的终点。【思维点拨】1向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使几何问题转化为数量运算2两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同此时注意方程（组）思想的应用题型三 平面向量的数量积及其应用例 1 已知 ea,4为单位向量，当 ea,的夹角为 32时， a在 e上的投影为（ ）A 2B 2C D 32【答案】 【解析】 a在 e上的投影为 ,所以选 择 cos, 41cos23aea B【易错点】 （1
6、）对 在 上的投影的概念和公式理解不透彻 （2） 在 上的投影为 ，由b ab|cos,abab把 在 上的投影和射影混淆了，一个线段在另外一个线段上的射影是一个非负数b4【思维点拨】1对两向量夹角的理解（1）两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角（2）两向量夹角的范围为0， ，特别当两向量共线且同向时，其夹角为 0，共线且反向时，其夹角为（3）在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围2向量运算与数量运算的区别（1）若 a，bR，且 ab0，则有 a0 或 b0，但 ab0 却不能得出 a0
7、或 b0（2）若 a，b，cR，且 a0，则由 abac 可得 bc，但由 abac 及 a0 却不能推出 bc（3）若 a，b，cR，则 a（bc）（ab）c（结合律）成立，但对于向量 a，b，c，而（ab）c 与a（bc）一般是不相等的，向量的数量积是不满足结合律的（4）若 a，bR，则| ab|a|b| ，但对于向量 a，b，却有|ab|a| b|，等号当且仅当 ab 时成立例 2 已知向量 满足： 与 垂直，且 ，则 的夹角为 ,ab254ab|1,|aba与【答案】 3【解析】由已知得（ ） （ ）=0，故 ，则 ，又因为2ab5412abcosab12，故 与 的夹角为 0,ab3
8、【易错点】 （1）经典错解错在对向量的夹角的范围没有记清 （2）两个向量的夹角 的范围是 ，q0,p不是 ，所以本题只有一个答案0,2qp【思维点拨】1求两非零向量的夹角时要注意：（1）向量的数量积不满足结合律；5（2）数量积大于 0 说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于 0 说明两向量的夹角为直角，数量积小于 0 且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角2当 a，b 是非坐标形式时，求 a 与 b 的夹角，需求得 ab 及|a| ，|b|或得出它们的关系【巩固训练】题型一 平面向量的基本定理1 给出下列命题：两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；若 A，B ，C，D 是不共线的四点，则
9、 AB DC是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件；若 a 与 b 同向，且|a|b| ，则 ab；， 为实数，若 ab，则 a 与 b 共线其中假命题的个数为（ ）A1 B2 C3 D4【答案】C【解析】不正确当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线正确 AB DC，| |且 AB DC又A，B ，C ，D 是不共线的四点，四边形 ABCD 是平行四边形反之，若四边形 ABCD 是平行四边形，则 AB=DC 且 AB与 DC方向相同，因此 AB DC不正确两向量不能比较大小不正确当 0 时，a 与 b 可以为任意向量，满足 ab，但 a 与 b 不一定共线62 设 a0 为单位
10、向量，若 a 为平面内的某个向量，则 a|a| a0；若 a 与 a0 平行，则 a|a|a 0；若 a与 a0 平行且|a|1，则 aa 0上述命题中，假命题的个数是（ ）A0 B1 C2 D3【答案】D【解析】向量是既有大小又有方向的量，a 与|a| a0 的模相同，但方向不一定相同，故 是假命题；若 a 与a0 平行，则 a 与 a0 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a|a| a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是 33已知 a，b 不共线， OAa， Bb， OCc， Dd， OBe，设 tR，如果3ac,2bd，e t（ab） ，是否存在实数 t 使 C，D ，E
11、三点在一条直线上？若存在，求出实数 t 的值，若不存在，请说明理由【答案】见解析【解析】解：由题设知， CDdc2b3a， CEec（t3）atb，C，D，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数 k，使得 k ，即（t 3）atb3ka2kb，整理得（t33k ）a（2kt）b因为 a，b 不共线，所以有Error!解之得 t 65故存在实数 t 使 C，D，E 三点在一条直线上654下列说法正确的是A向量 与向量 是共线向量，则点 必在同一条直线上B,ABCDB两个有共同终点的向量，一定是共线向量C长度相等的向量叫做相等向量7D两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同【答案】D【解析】对
12、于 A，若向量 与向量 是共线向量，则 或点 在同一条直线上，故BCDABCD ,A 错误；对于 B，共线向量是指方向相同或相反的向量，两个有共同终点的向量，其方向可能既不相同又不相反，故 B 错误；对于 C，长度相等的向量不一定是相等向量，还需要方向相同，故 C 错误；对于 D，相等向量是大小相等、方向相同的向量，故两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故 D 正确.故选 D5已知 e10， R，ae 1e 2，b2e 1，则 a 与 b 共线的条件是（ ）A0 Be 20 Ce 1e 2 De 1e 2 或 0【答案】D【解析】选 D。若 e1 与 e2 共线，则 e2 e1.因此
13、a(1 )e 1，此时 ab.若 e1 与 e2 不共线，设 ab，则e1e 22e 1，因此 0,12 0.题型二 平面向量的线性运算1在ABC 中，点 P 在 BC 上，且 BP2 C，点 Q 是 AC 的中点，若 PA（4,3） ， Q（1,5） ，则BC等于（ ）A （2,7） B （6,21） C （2，7） D （6，21）【答案】B【解析】 C3 P3（2 Q PA）63 P（6,30）（12,9）（6,21） 2在ABC 中，AB2，AC 3， B C1，则 BC（ ）8A B C2 D3 7 2 23【答案】A【解析】 C1，且 AB2，1| AB| |cos（ B） ，|
14、C|cos B 在ABC 中，12AC2AB 2BC 22AB BCcos B，即 94BC 222 BC ( 12) 33若 、 、 、 是平面内任意四点，给出下列式子：ABCD ， ， ABCADBCA其中正确的有A3 个 B2 个 C1 个 D0 个【答案】B【解析】 的等价式是 = ，左边= + ，右边CDABAAB= + ，不一定相等； 的等价式是 = ，左边=右边= ，故正确；ABCDDC 的等价式是 = + ，左边=右边= ，故正确.CDAABB所以正确的有 2 个，故选 B4设 D 为ABC 所在平面内一点， ，则（ ）4CDA B143BA154AAC9C D145ADBC4
15、13ABC【答案】B【解析】 ,故选 B 5515444ABABCABAC5已知 ， ， ，设 ， ， .(2,4)A(3,1)B(,4)ABabAc（1）求 ；3abc（2）求满足 的实数 ， .mnn【解析】 （1）由已知得 ， ， ，(5,)a(6,3)b(1,8)c则 .3abc（2） ，(6,38)mnmn .65138题型三 平面向量的数量积及其应用1对于非零向量 ，下列命题正确的是（ ）ba,A B 是|00或 ba/上aC Dba2)(ba bc【答案】C【解析】对于选项 , ， ,故 错误；对于A0|cos,0=0ab或=A10B， 的投影是 ，所以 错误对于 ，ab在 上
16、|cos|aq=BDacb不能推出 所以 错误，排除法选 故选 |cos|;abC2已知 a（1,2） ，b（2，n） ，a 与 b 的夹角是 45（1）求 b；（2）若 c 与 b 同向，且 a 与 ca 垂直，求 c【答案】见解析【解析】解：（1）ab2 n2，|a| ，|b| ，5 n2 4cos 45 ，2n 25 n2 4 223n 216n120（n1） n6 或 n （舍） b（2,6） 23（2）由（1）知，ab10， |a|25又c 与 b 同向，故可设 c b（0） （ca）a0，ba|a| 20 |a|2ba 510 12c b（1,3） 123设向量 a，b 满足|a|
17、 1， |ab| ，a( ab)0，则|2 ab|（ ）3A2 B2 C4 D43 3【答案】B【解析】由 a(ab)0，可得 aba 21，由|ab| ，可得(ab) 23，即 a22abb 23，解得311b24.故(2ab) 24a 24a bb 212，故|2ab|2 .34质点受到平面上的三个力 F1，F 2，F 3(单位：牛顿) 的作用而处于平衡状态，已知 F1，F 2 成 60角，且F1，F 2 的大小分别为 2 和 4，则 F3 的大小为（ ）A2 B2 C2 D67 5【答案】A【解析】由已知条件 F1F 2F 30，则 F3F 1F 2，F F F 2|F 1|F2|cos 6028，因此，23 21 2|F3|2 .7
