1、第四部分 考点详解 4.1 角的平分线 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 注意：这里的距离是指点到角的两边垂线段的长； 该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等； 使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言： 【例题】 已知 MAN， AC平分 MAN （ 1）在图 1中，若 MAN=120， ABC= ADC=90，求证： AB+AD=AC； （ 2）在图 2中，若 MAN=120， ABC+ ADC=180，则（ 1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （ 3）在图 3中： MAN=60， ABC+ A
2、DC=180，则 AB+AD= AC； 若 MAN=（ 0 180）， ABC+ ADC=180，则 AB+AD= AC（用含的三角函数表示），并给出证明 4.2 旋转 （ 1） 旋转的性质： 对应点到旋转中心的距离相等 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 旋转前、后的图形全等 （ 2） 旋转三要素：旋转中心； 旋转方向； 旋转角度 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样 【例题】在 Rt ABC中， ACB=90， tan BAC=21 ,点 D在边 AC上（不与A， C重合），连结 BD， F为 BD中点。 （ 1）若过点 D作 DE AB于 E，连结 CF、 EF、 CE，
3、如图 1 设 CF=kEF，则 k = ； （ 2）若将图 1中的 ADE绕点 A旋转，使得 D、 E、 B三点共线，点 F仍为 BD中点，如图 2所示求证： BE-DE=2CF； （ 3）若 BC=6，点 D在边 AC的三等分点处，将线段 AD绕点 A旋转，点 F 始终为 BD中点，求线段 CF 长度的最大值 BCADEFBDEAFC BAC1图 2图 备 图 4.3 直角三角形斜边中线 +四点共圆 （ 1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的 中点） （ 2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三
4、角形 【例题】 已知：在 ABC中， ABC=90, 点 E在直线 AB上 , ED与直线 AC垂直 , 垂足为 D，且点 M为 EC中点 , 连接 BM, DM. （ 1）如图 1，若点 E在线段 AB上，探究线段 BM与 DM及 BMD与 BCD 所满足 的数量关系 , 并直接写出你得到的结论； （ 2）如图 2，若点 E在 BA延长线上，你在（ 1）中得到的结论是否发生变化？写出 你的猜想并加以证明 ; （ 3）若点 E 在 AB 延长线上，请 你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段 BM 与 DM及 BMD 与 BCD所满足的数量关系 . 图 1 图 2 BEDAMCEBA CDMB
5、EDAMCEBA CDM 4.4 倍长过中点的线段 如图 1，在菱形 ABCD 和菱形 BEFG 中，点 A B E， ， 在同一条直线上， P 是线段 DF 的中点，连结 PG PC， 若 60A B C B E F o，探究 PG 与 PC 的位置关系及 PGPC 的值 小聪同学的思路是：延长 GP 交 DC 于点 H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决 请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： （ 1）写出上面问题中线段 PG 与 PC 的位置关系及 PGPC 的值； （ 2）将图 1 中的菱形 BEFG 绕点 B 顺时针旋转，使菱形 BEFG 的对角线 BF 恰好与菱形 AB
6、CD 的边 AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图 2）你在（ 1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明 （ 3）若图 1中 2 ( 0 9 0 )A B C B E F oo，将菱形 BEFG 绕点 B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出 PGPC 的值（用含 的式子表示） D A B E F C P G 图 1 D C G P A B E F 图 2 4.5 共端点的等线段，旋转 如图 1，在 ABCD 中， AE BC于 E， E恰为 BC的中点， 2tan B . （ 1） 求证： AD=AE； （ 2）如图 2，点 P在 BE上，作
7、EF DP于点 F，连结 AF. 求证： AFEFDF 2 ； （ 3）请你在图 3 中画图探究：当 P为射线 EC上任意一点（ P不与点 E重合）时，作 EF DP于点 F，连结 AF，线段 DF、 EF与 AF之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论 . 图 1 E B C A D 图 3 E B C A D 图 2 E C B A D F P 4.6 利用平移变换转移线段，类比梯形平移对角线 我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形。请解答下列问题： （ 1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称； ， 。 （ 2）探究：当等对角线
8、四边形中两条对角线所夹锐角为 60时，这对 60角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论。 4.7 利用平移变换转移线段 +作图 在 Rt ABC中， C=90， D， E分别为 CB， CA延长线上的点， BE与 AD的交点为 P. （ 1）若 BD=AC， AE=CD，画出符合题意的图形，并直接写出 APE的度数； （ 2）若 3AC BD ， 3CD AE ，求 APE的度数 . 4.8 翻折全等 +等腰（与角平分线类比） 我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形 （ 1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等
9、对边四边形的图形的名称； （ 2）如图，在 ABC 中，点 DE， 分别在 AB AC， 上，设 CD BE， 相交于点O ，若 60A ， 12D C B E B C A 请你写出图中一个与 A 相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形； （ 3）在 ABC 中，如果 A 是不等于 60 的锐角，点 DE， 分别在 AB AC，上，且 12D C B E B C A 探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论 4.9 由角平分线启发翻折，垂线 （ 1） 如图， OP是 MON的平分线，请你利用该图形画一对以 OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的
10、方法，解答下列问题 ： （ 2） 如图，在 ABC 中， ACB是直角， B=60， AD、 CE分别是 BAC、BCA 的平分线， AD、 CE 相交于点 F。请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系； （ 3）如图，在 ABC 中，如果 ACB 不是直角，而 (1)中的其它条件不变，请问，你在 (1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。 4.10 启发利用重心分中线，中点相关内容 我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重心经过证明我们可得三角形重心具备下 面的性质： 重心到顶点的距离与重心到该顶点对边中点的距离之比为 2 1请你用此性质解决下面的问题 . 已知：如图，点 0为等腰直角三角形 ABC的重心， CAB=90，直线 m过点 O,过 A,B,C三点分别作直线 m的垂线，垂足分别为点 D,R,F. (1)当直线 m与 BC 平行时（如图 1），请你猜想线段 BE,CF和 AD三者之间的数量关系并证明； (2) 当直线 m绕点 O旋转到与 BC不平行时，分别探究在图 2、图 3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AD,BE,CF三者之间又有怎样的数量关系？请写出你的结论，不需证明 图 1 图 2 图 3
