1、（2018-2019 丰台高三理 20）20 （本小题 13 分）将 阶数阵 记作 （其中，当且仅当 时，mn12112,nmmna ijmna,isjt）.如果对于任意的 ，当 时，都有 ，那么称数阵ijsta3,i 12j12ijija具有性质 .ijmnA（）写出一个具有性质 的数阵 ，满足以下三个条件： ，数列34ija 14a是公差为 2 的等差数列，数列 是公比为 的等比数列；1na1m2（）将一个具有性质 A 的数阵 的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排ijna列，形成一个新的 阶数阵，记作数阵 .试判断数阵 是否具有性质 A，mnijmnbijmnb并说明理由.20 （共
2、 13 分）解：（） （答案不唯一）. . 4,68102357,9 .4 分（）数阵 具有性质 A.ijmnb只需证明，对于任意的 ，都有 ，其中1,23,in (1)ijijb.1,23,jn下面用反证明法证明：假设存在 ，则 都大于 ，即在第 列中，(1)pqb(1)(2),pqmqbb (1)pq至少有 个数大于 ，且 .m()(1)()2()1()p qb根据题意，对于每一个 ，都至少存在一个(1),2tqb tiqa，使得 ，即在第 列中，至少有 个数小于(1,23,)ti (1)titqap.()pqb所以，第 列中至少有 个数，这与第 列中只有 个数矛1mpqm盾.所以假设不成
3、立.所以数阵 具有性质 A. . ijmnb .13 分（2018-2019 海淀高三理 20）（20） （本小题满分 13 分）设 为不小于 的正整数，集合 ,对于集n312(,)|0,1,23nnixxin 合 中的任意元素 ， ，记n12(,)x ,y. 1122()()()nnyxxy() 当 时，若 ，请写出满足 的所有元素 ； 3n(,0)3() 若 ，且 ，求 的最大值和最小值；n， n（）设 是 的子集，且满足：对于 中的任意两个不同元素 ，有Sn S，成立，求集合 中元素个数的最大值.120. 解：() 满足 的元素为 3(0,1),(0,1),（）记 ， ，12(,)nx
4、12(,)ny注意到 ，所以 ，0,i()0ix所以 1122()()()nnxx12nxx12nyy因为 ，所以 1212nnxxyy 所以 中有 个量的值为 1， 个量的值为 0.1212,nnxy 显然 11220()()()nnxxyxy，12ny当 ， 时，(,) (0,)满足 ， .所以 的最大值为 ， nn又 1122()()()nnxyxyxy12()nn注意到只有 时， ，否则iixy1ixy0ixy而 中 个量的值为 1， 个量的值为 01212,nn n所以满足 这样的元素 至多有 个，ixyi2当 为偶数时， . n2n当 时，满足 ，且 .22(1,0,)nn 个 个
5、 n2n所以 的最小值为 当 为奇数时，且 ，这样的元素 至多有 个，n1ixyi12n所以 .2n当 ， 时，满足 ，1122(,0,)nn 个 个 1122(,0,)nn 个 个 n.所以 的最小值为 12n综上： 的最大值为 ，当 为偶数时， 的最小值为 ，当 为奇数时，2n.12n（） 中的元素个数最大值为 S2n设集合 是满足条件的集合中元素个数最多的一个记 ，1S1212(,)| 1,nnxxxS 21212(,)| 2,nn 显然 1212SS，集合 中元素个数不超过 个，下面我们证明集合 中元素个数不超过 个1n2S2nC，则212,(,)nSx 12nxx则 中至少存在两个元
6、素 12nx， ， ， 0ijx，212,(,)nSy 因为 ，所以 不能同时为,ijy0所以对 中的一组数 而言，1ijn,ij在集合 中至多有一个元素 满足 同时为2S12(,)nx ijx， 0所以集合 中元素个数不超过 个22nC所以集合 中的元素个数为至多为 S21n记 ，则 中共 个元素，1T1212(,)| ,nnnxxx 1Tn对于任意的 ， ， .1n1对 ，记 其中 ， ，1ijn,12(,),ij nx 0ijx1tx,itj记 ，2,|ijTj显然 ， ，均有 .2,S1n记 ， 中的元素个数为 ，且满足 ， ，均有12T2,S.n综上所述， 中的元素个数最大值为 .
7、S2n（2018-2019 东城高三理 20）(20)（本小题 14 分）对给定的 记由数列构成的集合 .dN， 11(),nndaadnN（）若数列 ，写出 的所有可能取值；(2)na3a（）对于集合 ，若 . 求证：存在整数 ，使得对 中的任意数列 ，整()d k()dna数 不是数列 中的项；kna（）已知数列 ，记 的前 项和分别为 .若n， b()dna， bn,nAB求证： .1na， nAB（20） （共 14 分）解：（）由于数列 ，即 ，(2)nad1.a由已知有 ，所以 ，21323，322ada将 代入得 的所有可能取值为 23 5,1.4 分（）先应用数学归纳法证明数列
8、: ()1()nnadamdZ若 数 列 则 具 有 的 形 式 .，当 时， ，因此 时结论成立.110假设当 时结论成立，即存在整数 ，使得 成立.nkN（ ） 0m01kad当 时， ，11000(1)kamdd，或10()ka10.k所以当 时结论也成立. n由可知，若数列 具有 的形式. ()nad， naN对 任 意 ， 1()mdZ由于 具有 的形式，以及 ，可得 不是 的整数倍.na1()mdZ2n故取整数 ，则整数 均不是数列 中的项. .9 分kkna（）由 可得：1nad221.nnad所以有 221nn，221nnaad，2 212nn，221.ad以上各式相加可得 ，221nnadS即2 22 21 1. .n nbdAB 同 理当 时，有1nab 2+1na ，由于 所以 ，于是dN， 2+1nbd 222211nnabdd ，.14 分.nAB即 成 立
