1、表 JX1教案（首页）授课日期授课班级课 题 4.3 曲线的凸性及拐点 函数作图 计划学时 2 课时教学目标1.熟练掌握函数拐点以及凹凸区间的定义；2.掌握函数凹凸性的判定方法及拐点定理；3.熟练掌握函数草图的做法并了解一般的作图步骤；教学重点解决措施教学重点：函数凹凸性的判定方法及拐点定理解决措施：讲授、演示教学难点解决措施教学难点：函数草图的做法解决措施：讲授、演示教学设计教学手段教学方法多媒体教学、板书演示板书设计授课提纲一、复习二、新授4.3 曲线的凸性及拐点 函数作图（一）函数拐点以及凹凸区间的定义（二）函数凹凸性的判定方法及拐点定理（三）函数草图的做法并了解一般的作图步骤三、练习四
2、、小结五、作业表 JX-2教 案 纸第 页教 学 过 程 设 计 时间分配 教师活动 学生活动【复习提问】1. 柯西中值定理；2. 罗必塔法则及其应用；3.应用罗必塔法则需要注意的问题.【新课引入】.凸性及拐点在第一章我们讨论过函数的作图问题。但能使用的手段不多。本章第一节用导数的正负判断函数的增减性及极值点，无疑是增加了作图的有效手段，但仅此有时不能掌握图形的形状。图 4.13中中弧 都是上升的，CDAB与 弧但上升的情况不同。弧 是向上凸而上升，弧 是向下凸而上升。因此有必要区分图形是向上凸还是向下凹。在图 4.14 的左图中，我们看到，如果图形是向上凸时，则当 x 增大时，切线的斜线率是
3、减小的。而图 4.14 的右图却正好相反，即当 x 增大时，切线率是增大的。因此用导数增减性可完全反映出图形的凸性。5 分钟5 分钟提问其实所有函数的图像可有这四种图像组合而成复习回答yByOACDxOx表 JX-2教 案 纸第 页教 学 过 程 设 计 时间分配 教师活动 学生活动【新课讲授】定义一 设函数 在 世递减的，xfyxfba可 导 ， 如 果),(则称曲线 内是凸的；如果 是递增的，,在则称曲线 在 内事凹的。xfy定义二 设函数 在所考虑的区间可导，则xfy曲线 的凸凹分界点称为曲线 的拐点。xfyxfy如何判断曲线的凸凹及拐点呢？曲线的凹凸是由 得增减性来定义的，又因为xf的
4、导数，所以 的增减可由 的正负xff是 xf号来判断。于是可得到下列几个定理。定理一 若 ，则曲线 在baxf,0 fy内是凹的，反之，若 则曲线ba, f,在 内事凸的。xfy,定理二（拐点的必要条件）若点 是曲线0,xf的拐点。且 处二阶导数存在。则 。xfy0x定理三 若 两侧变号，则点0xff在且 是曲线的拐点。0,xf例 1 求曲线 的拐点。并判断曲线在什么21lnxy50 分钟解释定义，交代注意点表 JX-2教 案 纸第 页教 学 过 程 设 计 时间分配 教师活动 学生活动区间上是凸的，在什么区间上是凹的？解 函数的定义域是 。,，21xy2令 。1,0xy得讨论如下：当 曲线是
5、凸的，,0y时 ，当 曲线是凹的，1x时 ，当 曲 线 是 凸 的 。时 ， y由此知拐点为为凹区间。1,1.2ln,1l 为 区 间 ，及，例 2 ，的 凸 凹 及 拐 点 。讨 论 曲 线 xy2解 算出，21xy，3函数的定义域为 ，讨论如下：,0,当 x时， 曲线是凸的，0y因为 x=0 不在定义域内，所以曲线无拐点。.函数作图作函数的图形，大致可以分为以下步骤：（1） 初步研究：如何讨论定义域，对称性，周期性等等；（2） 讨论增减区间.极值点及极值；（3） 讨论凹凸区间及拐点；（4） 讨论一些特殊情形，如有点 xfAxfxfxxlimlilim00 .若， 及使，说明曲线与直线 无限
6、接近（如图04.15） ，直线 称为曲线 的水平渐xxfy近线。若 （常数） ，说明曲线与Afxli直线 无限接近.直线 称为曲线yy的水平渐近线（如图 4.16）.f（5） 根据需要再增算几个点注意，作图时限讨论（1） （2） （4）与（5）.因为往往有这样情形（1） ， （2） ， （4）与足以画出其图形.当还不足以画出图形时，在讨论（3）.表 JX-2教 案 纸第 页教 学 过 程 设 计 时间分配 教师活动 学生活动yo x0 x图 4.15yo x图 4.16例 3 作函数 的图形.21xf解 函数的定义域为 ，是奇函数，所以图形,对称于原点.，21xy是驻点，它把定义域分为三段.图
7、形变化见下表。1xx )1,(x=-1 (-1,1) x=1 ),1(y- 0 + 0 -图形 极小值点极大值点极小值为 。极 大 值 为 21)(,21)(ff介绍作图步骤介绍一下渐进线的由来。利用几何表 JX-2教 案 纸第 页教 学 过 程 设 计 时间分配 教师活动 学生活动讨论渐近线：。01lim2xx故有水平渐近线 0)(,0)(, xffy时当又有以上材料就可大致画出图形。= 1+2x0y例 4 作函数 的图形。2xey解：函数的定义域为 ，是偶函数，图形对称 y 轴，),(且 y0,所以图形在 x 轴的上方。令2xey .0,0 y得 驻 点x )(x=0 ),(y+ 0 -图
8、形 极大值点极大值为 10e2)(2xy直观的思想。补充说明注意点概率论中的正态分布图形表 JX-2教 案 纸第 页教 学 过 程 设 计 时间分配 教师活动 学生活动令 21,0xy得(- ,)1212（ ， 12 12）12( , )12 + 0 0 +图形 凹 拐点 凸 拐点 凹拐点为（ ， ）, （ ， ）.12 12 12 12=0,有水平渐近线lim2 =0.根据以上讨论的情况，可大致地作出图形（图 4.18） 。例 5 作函 的图形.=ln(2 1)解 定义域为 ,图形对称 y 轴。( ， 1） （ 1 +).= 221在定义域内无驻点，也没有极值点。x ( ,1)1 ,1 (1
9、 , + ) - +图形 无定义任选一题作为课堂练习表 JX-2教 案 纸第 页教 学 过 程 设 计 时间分配 教师活动 学生活动. =2(1+2)(2 1)2无 的点，无拐点。在 及 内= 0 ( ， 1） （ 1 +),图形是凸的。又 0lim1ln(21)=,lim1+ln(21)=, limln(21)=+.所以有垂直渐近线 (左侧)， （右侧）=1 =1当 时， 。=2 =0根据以上讨论可大致作出其图形（图 4.19） 。 22 0 2 x=ln(21)=1=1【课堂小结】1.函数的凹凸性及其判别方法,拐点及其求法； 2.曲线的渐近线；3.函数图形的作法.【作业布置】表 JX-2教 案 纸第 页教 学 过 程 设 计 时间分配 教师活动 学生活动课内练习：1、求曲线 的拐点及凹凸区间。=3443+12、求曲线 的拐点及凹凸区间。=+13、作 的图形.=4+1444、作 的图形。= 21+25、作 ) 的图形=ln(1+2课外作业：试确定一个 x 的六次多项式 P（x） ，已和曲线 切 x 轴于原=()点，且在拐点（-1，1） ，在（ 1，1）处切线水平。【教学反思】5 分钟13 分钟2 分钟提问指导练习回答巩固练习
