1、概率论与数理统计,（面向工科各专业）,教材 概率论与数理统计 北京交通大学概率统计课程组编 科学出版社参考书 1. 概率论与数理统计（盛聚等编4版 高教出版社） 2.概率论与数理统计教程（茆诗松等编 高教出版社） 主讲人：张作泉 教授 博导 （北京交通大学理学院） ,1. 考试内容：本学期第一次考核内容为第一章和第二章，第二次考核内容为第三章、第四章和第五章，第三次考核为期末考试，考核全部内容，即前六章。2. 期末最终成绩构成：两次月考各占10%，共占20%，作业与考勤占20%（其中，三次随机点名不到或者严重违纪者取消考试资格；旷课一次扣3-5分; 作业一次不交扣2分，扣完为止），期末占60%
2、。,学 期 考 核,本课程ABC,国内有关经典著作,国外有关经典著作,概率(或然率或几率) 随机事件出现,的可能性的量度 其起源与博弈问题有关.,16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博,中的一些问题；17世纪中叶，法国数学家B. 帕,斯卡、荷兰数学家C. 惠更斯 基于排列组合的方,法，研究了较复杂 的赌博问题， 解决了“ 合理,分配赌注问题” ( 即得分问题 ).,概率论是一门研究客观世界随机现象数量,规律的 数学分支学科.,发展则在17世纪微积分学说建立以后.,基人是瑞士数学家J.伯努利；而概率论的飞速,数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、,整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的,问题作
3、出推断或预测，直至为采取一定的决策,策和行动提供依据和建议的 数学分支学科.,论；使 概率论 成为 数学的一个分支的真正奠,对客观世界中随机现象的分析产生了概率,它们都以随机现象的统计规律为研究对象.,数理统计与概率论是两个有密切联系的学科 , ,但在研究问题的方法上有很大区别：,概率论 已知随机变量服从某分布,寻求分布的性质、数字特征、及其应用;,数理统计 通过对实验数据的统计分析,寻找所服从的分布和数字特征, 从而推断整体的规律性.,数理统计的核心问题由样本推断总体,本学科的应用,概率统计理论与方法的应用几乎遍及,所有科学技术领域、工农业生产和国民经,济的各个部门中. 例如,1. 气象、水
4、文、地震预报、人口控制,及预测都与概率论紧密相关；,2. 产品的抽样验收，新研制的药品能,否在临床中应用，均要用到假设检验；,6. 探讨太阳黑子的变化规律时,时间,可夫过程 来描述;,7. 研究化学反应的时变率，要以马尔,序列分析方法非常有用;,4. 电子系统的设计, 火箭卫星的研制及其,发射都离不开可靠性估计;,3. 寻求最佳生产方案要进行实验设计,和数据处理；,5. 处理通信问题, 需要研究信息论；,水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都,可用一类概率模型来描述，其涉及到 的知,装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、,8. 生物学中研究 群体的增长问题时，,提出了生灭型随机模型，传染病流行问,
5、题要用到多变量非线性生灭过程,9. 许多服务系统，如电话通信、船舶,识就是 排队论.,E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数.,这里试验的含义十分广泛，它包括各种各样的科学试验，也包括对事物的某一特征的观察。 其典型的例子有：, 1 随机试验（random experiment ）,第一章 概率与随机事件,返回主目录,E1：抛一枚硬币，观察正面H（Heads）、反面T （Tails）出现的情况。,E2 ：将一枚硬币抛掷三次，观察正面、反面出现 的情况。,E4：抛一颗骰子，观察出现的点数。,E5：记录寻呼台一昼夜接到的呼唤次数。 E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。 E7：记录某
6、地一昼夜的最高温度和最低温度。,进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。,返回主目录,随机试验,这些试验具有以下特点：,可以在相同的条件下重复进行；,每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明 确试验的所有可能结果；,我们把满足以上三个特点的试验称为随机试验。,第一章 概率与随机事件,一 样本空间二 随 机 事 件,P&S,2 样本空间与事 件目录索引,返回主目录,第一章 概率与随机事件,1 样本空间(Space),定义 将随机试验 E 的所有可能结果组成的集合 称为 E 的样本空间, 记为 S 或 。样本空间的元素，即 E 的每个结果，称为样本点。,= 1, 2, 3, 4, 5, 6 ,返
7、回主目录,= H , T ,= 0, 1, 2, 3 ,= HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT ,第一章 概率与随机事件,S1,S2,S3,S4,S5 = 0,1,2,3,E5：记录寻呼台一昼夜接到的呼唤次数。 E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。 E7：记录某地一昼夜的最低温度和最高温度。,P&S,返回主目录,S6 = t | t 0 ,S7 = ( x , y ) | T 0 x y T1 ,第一章 概率与随机事件,随机事件 : 称试验 E 的样本空间 S的某子集为 E 的 随机事件，用A，B，C，等表示；基本事件 : 有一个样本点组成的
8、单点集；必然事件 : 样本空间 S 本身；不可能事件 : 空集。,2、 随 机 事 件,我们称一个“随机事件发生”当且仅当它所包含的一个样本点在试验中出现,返回主目录,(可能发生，也可能不发生）,(必然发生）,(必然不发生）,如: 中事件 A=HHH,HHT,HTH,HTT,第一章 概率与随机事件,S2,事件 B3=t|t1500 表示“灯泡是一级品”,P&S,返回主目录,例如：,S2 中事件 A=HHH,HHT,HTH,HTT,表示 “第一次出现的是正面”,S6 中事件 B1=t|t1000,表示 “灯泡是次品”,事件 B2=t|t 1000,表示 “灯泡是合格品”,B=THH,THT,TT
9、H,TTT,表示 “第一次出现的是反面”,第一章 概率与随机事件,事件间的关系与运算,P&S,3 事 件的关系和运算目录索引,返回主目录,第一章 概率与随机事件,10 包含关系：,1 、 事件间的关系,20,P&S,返回主目录,“A发生必然导致B发生”,第一章 概率与随机事件,“A发生必然导致B发生且B发生必然导致A发生”,2 、 事件的运算,20 和事件,10 积事件,返回主目录,“A，B中至少有一发生”,“A与B同时发生”,第一章 概率与随机事件,30 差事件,40 互不相容,50互逆（对立）事件,P&S,返回主目录,“A发生但B不发生 ”,“A与B不能同时发生”,第一章 概率与随机事件,
10、S,B,S,A,P&S,40 互不相容,50 对立事件,A,返回主目录,第一章 概率与随机事件,S2 中事件 A=HHH,HHT,HTH,HTT,B=HHH,TTT,P&S,返回主目录,第一章 概率与随机事件,P&S,2、一个试验的基本事件是两两互不相容 的事件，它们的和事件是必然事件。,返回主目录,注意：,1、互逆事 件必为互不相容事件， 反之不 一定。,第一章 概率与随机事件,随机事件的运算规律,幂等律:,交换律:,P&S,结合律:,分配律:,De Morgan定律:,返回主目录,特别：,第一章 概率与随机事件,事件间的关系与运算举例；,P&S,返回主目录,“A，B，C中至少有一发生” ：
11、,“A，B，C中至少有两发生” ：,“A，B，C中最多有一发生” ：,例1,第一章 概率与随机事件,P&S,返回主目录,答：应选（D）,例2,第一章 概率与随机事件,一 频 率 二 概 率,P&S,4 事件的概率目录索引,返回主目录,第一章 概率与随机事件,一 、 频 率,1） 频率的定义和性质,P&S,定义 在相同的条件下，进行了n 次试验， 在这 n 次试验中，事件 A 发生的次数nA 为 事件 A 发生的频数。比值 n A / n 称为事件 A 发生的频率，并记成 fn(A) 。,返回主目录,第一章 概率与随机事件,频率具有下述性质:,返回主目录,第一章 概率与随机事件,频率的意义:,P
12、&S,返回主目录,第一章 概率与随机事件,P&S,返回主目录,第一章 概率与随机事件,P&S,n=500时,返回主目录,2 ） 频率的稳定性,第一章 概率与随机事件,频 率 稳 定 值 概率,事件发生的频繁程度,事件发生的可能性的大小,频率的性质,概率的公理化定义,P&S,返回主目录,第一章 概率与随机事件,二、 概率的（公理化）定义,1、定义 设 E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于 E 的每一个事件 A 赋予一个实数，记为 称为事件 A 的概率，要求集合函数 满足 下列条件：,P&S,返回主目录,（可列可加性）,（正则性或正规性）,（非负性）,第一章 概率与随机事件,2、 概率的性质与
13、推广,P&S,返回主目录,证：,第一章 概率与随机事件,返回主目录,（有限可加性）,证：,第一章 概率与随机事件,返回主目录,（包含可减性）,（非降性）,证：,第一章 概率与随机事件,返回主目录,（加法公式）,（逆事件的概率公式）,第一章 概率与随机事件,重 要 推 广,P&S,返回主目录,（加法公式）,第一章 概率与随机事件,加法公式的推广,第一章,返回主目录,例1,第一章,返回主目录,已知 A、B、C 是三个事件，且,求 A、B、C 全不发生的概率。,解,例1（续）,第一章,返回主目录,第一章,返回主目录,例2,已知,则,解,第一章,返回主目录,则,例3,已知,解,第一章,返回主目录,则,
14、例4,解,已知A、B是两个事件，且,第一章,返回主目录,则,例5,解,已知A、B是两个事件，且,第一章,返回主目录,求,例6,解,已知A、B是两个事件，且,一 乘法原理,预备知识,完成一项工作须经 2 步，而实施第k(k=1,2 ) 步有 个不同方案，则完成此项工作共有 个不同方案。,概率论与数理统计,二 加法原理,完成一项工作有两种不同过程而实施第k(k=1,2) 个过程有 个不同方案，则完成此项工作 共有 个不同方案。,二 排列与组合,（1）相异元素不许重复的排列公式,概率论与数理统计,从n个不同的元素中取m个不同元素(不许重复)排成一列,称为相异元素不许重复的一种排列.,排列公式(排列总
15、数),全排列: n!,（2）相异元素允许重复的排列公式,概率论与数理统计,从n个不同的元素中取m个元素(允许重复)排成一列,称为相异元素允许重复的排列.,排列公式,注意:排列问题考虑元素的次序. 如:12 , 21 是两种不同的排列,（3）相异元素不许重复的组合公式,概率论与数理统计,从n个不同的元素中取m个不同元素(不许重复)组成一组,称为相异元素不许重复的组合.,组合公式,注意:组合问题不考虑元素的次序.,如:12 , 21 是相同的组合.,1-5 等可能概型目 录 索 引,等可能概型（古典概型）几何概型,第一章 概率与随机事件,返回主目录,考虑最简单的一类随机试验，它们的共同特点是： 样
16、本空间的元素只有有限个； (有限性) 每个基本事件发生的可能性相同。（等可能性）,一 等可能概型（古典概型）,我们把这类试验称为等可能概型，考虑到它在概 率论早期发展中的重要地位，又把它叫做古典概型。,第一章 概率与随机事件,等可能概型,返回主目录,设 S =e1, e2, ,en , 由古典概型的等可能性，得,又由于基本事件两两互不相容，所以,等可能概型,返回主目录,基本事件的概率:,第一章 概率与随机事件,若事件 A 包含 k 个基本事件，即,等可能概型,返回主目录,随机事件的概率:,则有 ：,第一章 概率与随机事件,解：根据上一节的记号，E2 的样本空间 S2=HHH, HHT, HTH
17、, THH, HTT, THT TTH,TTT,等可能概型,返回主目录,求 P (A1 )。,n = 8，即 S2 中包含有限个元素，每个基本事件发生的可能性相同，属于古典概型。,例 1 将一枚硬币抛掷三次。设事件 A1=“恰有一次出现正面”,第一章 概率与随机事件,等可能概型,返回主目录,注意:若样本空间为, A1为“恰有一次出现正面”， A1=HTT, THT, TTH,第一章 概率与随机事件,例 2 一口袋装有 6 只球，其中 4 只白球、2 只红球。从袋中取球两次，每次随机的取一只。考虑两种取球方式： 放回抽样 第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中， 搅匀后再取一球。（书第7页例1）
18、不放回抽样 第一次取一球不放回袋中，第二次从剩余的球 中再取一球。 （书第8页例3）分别就上面两种方式求：,1）取到的两只都是白球的概率； 2）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。,等可能概型,返回主目录,第一章 概率与随机事件,设 A= “ 取到的两只都是白球 ”， B= “ 取到的两只球中至少有一只是白球”。,等可能概型,返回主目录,解：从袋中取两球，每一种取法就是一个基本事件。,有放回抽取:,第一章 概率与随机事件,B= “ 取到的两只球中至少有一只是白球”。,等可能概型,返回主目录,第一章 概率与随机事件,无放回抽取:,等可能概型,返回主目录,第一章 概率与随机事件,例 3 将 n
19、只球随机的放入 N (N n) 个盒子中去，求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限）。,分析: n 只球看成是n个不同的球, N 个盒子也是N 个不同的盒子,等可能概型,返回主目录,是从N个不同元素中取n个元素允许重复的排列,每一种放法即为一种排列是一基本事件.,设每个球都以等可能性放在各个盒子中,第一章 概率与随机事件,所以每个球都有N种不同放法,n个球总共有 种放法.,（书第9页例6（1）,解：,每个盒子中至多放一只球的概率:,等可能概型,返回主目录,至少有两只球放在同一盒子中的概率:,第一章 概率与随机事件,等可能概型,返回主目录,该数学模型可用于许多实际问题, 如:生日问题,
20、住房问题, 车站下车问题等 .,n(n 365)个人在365天的生日,可看成是n个球放入365个盒子中。随机取n 人他们的生日 各不相同的概率为,因而， n个人中至少有两人生日相同的概率为,第一章 概率与随机事件,如“在一个有64人的班级里，至少有两人生日相同”的概率为 99.7%。,经计算可得下述结果：,等可能概型,返回主目录,第一章 概率与随机事件,书中第9页例6 (2),(3) 请同学自学 .,例4 设有 N 件产品，其中有 D 件次品，今从中任取 n 件，问其中恰有 k ( k D ) 件次品的概率是多少?,解：,等可能概型,返回主目录,此式即为超几何分布的概率公式。,第一章 概率与随
21、机事件,等可能概型,返回主目录,超几何分布在产品检验中的应用：,一、在 N 已知时，作抽样检查，抽出 n 件产品中恰有 k件次品，问如何根据这个检验结果推断 产品的次品数？这就是 “假设检验问题”。,二、在 D 已知时，作抽样检查，抽出 n 件产品中恰有 k件次品，问如何根据这个检验结果推断 产品的总数N？ 这就是统计中的“最大似然估计问题”。,第一章 概率与随机事件,2） 有放回抽样（二项分布模型）,此式即为二项分布的概率公式。,等可能概型,返回主目录,第一章 概率与随机事件,超几何分布与二项分布的关系:,3）,等可能概型,返回主目录,二项分布,超几何分布,第一章 概率与随机事件,例 5 袋
22、中有 a 只白球，b 只黑球 K 人依次在袋中取一只球，试求第 人取出的球是黑球的概率,解： 设：A=“第 i人取出的球是黑球”,等可能概型,返回主目录,1） 有放回抽样,第一章 概率与随机事件,等可能概型,返回主目录,此结果适用于：抓阄，买彩票等问题,2） 不放回抽样,第一章 概率与随机事件,例 6 在 12000 的整数中随机的取一个数，问取到的整数既不能被 6 整除，又不能被 8 整除的概率是多少？,解：设 A 为事件“取到的整数能被 6 整除”， B 为,“取到的整数能被 8 整除”，则所求的概率为：,为：6，12，181998 共 333 个，,所以能被 6 整除的整数,等可能概型,
23、返回主目录,第一章 概率与随机事件,AB 为“既被 6 整除又被 8 整除”或“能被 24 整除”,于是所求的概率为：,其中 B =8, 16, 2000 , AB = 24, 48 199 2 ，,等可能概型,返回主目录,第一章 概率与随机事件,例 7 将 15 名新生随机地平均分配到 3 个班中去，这15 名新生中有 3 名是优秀生。问： (1) 每个班各分配到一 名优秀生的概率是多少？ (2) 3 名优秀生分配到同一个班级的概率是多少？,解：15名新生平均分配到 3 个班级中去的分法总数为：,等可能概型,返回主目录,第一章 概率与随机事件,等可能概型,返回主目录,思考： 从20 人 中取
24、 15 人随机地平均分配到 3 个班中去，共有多少种分法？,答：,(1) 将 3 名优秀生分配到 3 个班级，使每个班级都有一名优秀生的分法共有 3! 种。其余 12 名新生平均分配到 3 个班级中的分法共有,每个班各分配到一 名优秀生的分法总数为：,于是所求的概率为：,等可能概型,返回主目录,第一章 概率与随机事件,三名优秀生分配在同一班级内,其余12名新生，一个班级分2名，另外两班各分5名,(2) 3 名优秀生分配到同一个班级的概率为：,等可能概型,返回主目录,第一章 概率与随机事件,例 8 某接待站在某一周曾接待过 12 次来访，已知所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的。问是否可以
25、推断接待时间是有规定的？,解：假设接待站的接待时间没有规定，,等可能概型,返回主目录,即千万分之三。,各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的，,那么，12 次接待来访者都在周二、周四的概率为:,第一章 概率与随机事件,人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次实验中几乎是不发生的”（称之为实际推断原理）。,等可能概型,返回主目录,第一章 概率与随机事件,现在概率很小的事件在一次实验中竟然发生了，从而推断接待站不是每天都接待来访者，即认为其接待时间是有规定的。,例 9 从 19 这 9 个数中有放回地取出 n 个数，试求取出的 n 个数的乘积能被 10 整除的概率 解：A =取出的 n
26、 个数的乘积能被 10 整除； B= 取出的 n 个数至少有一个偶数 ； C =取出的n 个数至少有一个 5 则 A=BC,等可能概型,返回主目录,第一章 概率与随机事件,例 10 一部10卷文集，将其按任意顺序排放在书架上试求其恰好按先后顺序排放的概率 解：设 A= 10卷文集按先后顺序排放 ,等可能概型,返回主目录,第一章 概率与随机事件,例11 同时掷 5 颗骰子，试求下列事件的概率： A= 5 颗骰子不同点 ； B= 5 颗骰子恰有 2 颗同点 ； C= 5 颗骰子中有 2 颗同点，另外 3 颗同是另一个点数,等可能概型,返回主目录,第一章 概率与随机事件,例11（续）,等可能概型,返
27、回主目录,作业：,第一章 概率与随机事件,二 几何概型,几何概型考虑的是有无穷多个等可能结果的随机试验。首先看下面的例子。,例 1 (会面问题）甲、乙二人约定在 12 点到 5 点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。求二人能会面的概率。,几何概型,返回主目录,第一章 概率与随机事件,解： 以 X , Y 分别表示甲乙二人到达的时刻，于是,即 点 M 落在图中的阴影部分。所有的点构成一个正方形，即有无穷多个结果。由于每人在任一时刻到达都是等可能的，所以落在正方形内各点是等可能的。,0 1 2 3 4 5,y,x,54321,.M(X,
28、Y),第一章,几何概型,返回主目录,二人会面的条件是：,0 1 2 3 4 5,y,x,54321,y-x =1,y-x = -1,第一章,几何概型,返回主目录,一般，设某个区域 D (线段，平面区域，空间区域），具有测 度 mD(长度，面积，体积)。如果随机实验 E 相当于向区域内任意地取点，且取到每一点都是等可能的，则称此类试验为 几何概型。,第一章,几何概型,返回主目录,如果试验 E 是向区域内任意取点，事件 A 对应于点落在 D 内的某区域 A，则,例 2 (蒲丰投针问题）平面上有一族平行线。其中任何相邻的两线距离都是 a (a0) 。向平面任意投一长为 l (la) 的针，试求针与一
29、条平行线相交的概率。,l,M,x,解 ：设 x 是针的中点 M 到最近的平行线的距离， 是针与此平行线的交角，投针问题就相当于向平面区域 D 取点的几何概型。,M,第一章,几何概型,返回主目录,x,D,A,0,第一章,几何概型,返回主目录,思考题 1) 某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机，想听电 台报时， 求他等待的时间不超过 10 分钟的概率。 (1/6) 2 ) 在线段 AD 上任意取两个点 B、C，在 B、C 处折断此线段 而得三折线，求此三折线能构成三角形的概率。(1/4) 3 )甲、乙两船停靠同一码头，各自独立地到达，且每艘 船在一昼夜间到达是等可能的。若甲船需停泊 1小时，乙
30、船需停泊 2小时，而该码头只能停泊一艘船。试求其中一 艘船要等待码头空出的概率。 (0.121),第一章,几何概型,返回主目录,4) 在区间 ( 0, 1 ) 中随机地取两个数，求下列事件的概率： (1) 两个数中较小(大)的小于 1/2 ； (3/4, 1/4) (2) 两数之和小于 3/2 ； (7/8) (3) 两数之积小于 1/4 。 (0.5966),第一章 概率论的基本概念,几何概型,返回主目录,1-6 条件概率,事件的独立性,一 条 件 概 率二 乘 法 定 理全概率公式和贝叶斯公式四 事件的独立性,目 录 索 引,第一章,返回主目录,一 条 件 概 率,条件概率是概率论中一个重
31、要而实用的概念。它所考虑的是事件 A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率。,第一章,条件概率,返回主目录,设A、B是某随机试验中的两个事件，且,则称事件B在“事件A已发生”这一附加条件下的概率为在事件A已发生的条件下事件B发生的条件概率，简称为B在A之下的条件概率，记为,引例 盒中有4个外形相同的球，它们的标号分别 为1、2、3、4，每次从盒中取出一球，有放 回地取两次则该试验的所有可能的结果为 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) 其中(
32、i,j)表示第一次取i号球，第二次取j号球,第一章,条件概率,返回主目录,一 条 件 概 率,设A= 第一次取出球的标号为 2 B= 取出的两球标号之和为 4 ,下面我们考虑:已知第一次取出球的标号为 2,求取出的两球标号之和为 4的概率。,由于已知事件A已经发生，则该试验的所有可能结果为,第一章,条件概率,返回主目录,则事件B所含的样本点为 (1,3) (2,2) (3,1),因此事件B的概率为:,即在事件A发生的条件下，事件B发生的概率：,(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) 这时，事件B是在事件A已经发生的条件下的概率，因此这时所求的概率为,注：由引例可以看出，事件在“条件A已
33、发生这附加条件的概率与不附加这个条件的概率是不同的且由于,第一章,条件概率,返回主目录,故有,称为在事件A已发生的条件下事件B发生的条件概率，简称为B在A之下的条件概率。,第一章,条件概率,返回主目录,设A、B是某随机试验中的两个事件，且,则,条件概率的定义,条件概率的性质：,第一章,条件概率,返回主目录,二、缩小样本空间法-适用于古典概型,第一章,条件概率,返回主目录,一、公式法,条件概率的计算公式：,设事件A所含样本点数为 ,事件AB所含样本点数为 ,则,第一章,已知 A、B 是两个事件，且,例1,解,返回主目录,第一章 习题课,例1续,例 2 已知某家庭有3个小孩，且至少有一个是女孩，求
34、该家庭至少有一个男孩的概率,解：设 A= 3个小孩至少有一个女孩 B= 3个小孩至少有一个男孩 ,第一章,条件概率,返回主目录,S=男男男,男男女,男女男,男女女,女男男, 女男女,女女男,女女女,方法一 公式法：,所以,第一章,条件概率,返回主目录,方法二,缩小样本空间法,S=男男男,男男女,男女男,男女女,女男男, 女男女,女女男,女女女,二 乘法公式,由条件概率的计算公式,我们得,这就是两个事件的乘法公式,第一章,条件概率,返回主目录,两个事件的乘法公式,多个事件的乘法公式,则有,这就是n个事件的乘法公式,第一章,条件概率,返回主目录,例 4 （波伊亚罐子模型）袋中有一个白球与一个黑球，
35、现每次从中取出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进一个白球 求 (1) 前两次取出白球第三次取出黑球的概率; (2)取了n次都未取出黑球的概率,则,第一章,条件概率,返回主目录,解：,第一章,条件概率,返回主目录,由乘法公式，我们有,三、全概率公式和贝叶斯公式,S,B1,B2,Bn,.,AB1,AB2,.,ABn,定义 设 S 为试验 E 的样本空间， 为 E 的一组事件。若满足 (1) (2) 则称 为 样本空间 S 的一个划分。,第一章,返回主目录,全 概 率 公 式：,设随机事件,满足：,第一章,返回主目录,全概率公式和贝叶斯公式,全概率公式的证明,由条件：,得,而且由,B1,B2,
36、Bn,.,AB1,AB2,.,ABn,S,第一章,返回主目录,全概率公式和贝叶斯公式,全概率公式的证明（续）,所以由概率的可列可加性，得,代入公式（1），得,第一章,返回主目录,全概率公式和贝叶斯公式,全概率公式的证明思路总结：,用样本空间的划分,B1,B2,Bn,.,AB1,AB2,.,ABn,S,第一章,返回主目录,1、划整为零：,2、用乘法公式计算每部分的概率：,全概率公式和贝叶斯公式,全概率公式的使用,我们把事件A看作某一过程的结果，,根据历史资料，每一原因发生的概率已知，,而且每一原因对结果的影响程度已知，,则要计算结果A发生的概率就用全概率公式,第一章,返回主目录,（已知原因，求结
37、果）,全概率公式和贝叶斯公式,常用的全概率公式有,第一章,返回主目录,是样本空间 S 的一个划分。,全概率公式和贝叶斯公式,第一章,返回主目录,如果试验分两个步骤，每一步骤都有随机性。,全概率公式和贝叶斯公式,每一原因对结果的影响程度,例6 某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别为2、6、9、3名又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标的概率,第一章,返回主目录,分析：试验分两个步骤.,全概率公式和贝叶斯公式,例6 某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别为2、6
38、、9、3名又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标的概率,第一章,返回主目录,解：,全概率公式和贝叶斯公式,第一章,返回主目录,一、二、三、四级射手分别为2、6、9、3名,又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32,由全概率公式，有,全概率公式和贝叶斯公式,第一章,返回主目录,思考：,今随机选一人参加比赛,结果射中了目标，求该选手是一级选手的概率,前面的问题:今随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标的概率,全概率
39、公式和贝叶斯公式,Bayes （逆概）公 式：,设随机事件,满足,全概率公式,条件概率,乘法定理,则,第一章,返回主目录,全概率公式和贝叶斯公式,Bayes公式的使用,我们把事件A看作某一过程的结果，,根据历史资料，每一原因发生的概率已知，,而且每一原因对结果的影响程度已知，,如果已知事件A已经发生，要求此时是由第 n个原因引起的概率，则用Bayes公式,第一章,返回主目录,验前概率,验后概率,（已知结果，求原因）,全概率公式和贝叶斯公式,Bayes公式的使用,如果已知事件A已经发生，要求此时是由第 n个原因引起的概率，则用Bayes公式,第一章,返回主目录,（已知结果，求原因）,全概率公式和
40、贝叶斯公式,例7 用某种方法普查肝癌，设： A= 用此方法判断被检查者患有肝癌 ， D= 被检查者确实患有肝癌 ， 已知,2）已知 现有一人用此法检验患有肝癌，求此人真正患有肝癌的概率,第一章,返回主目录,（结果）,（原因）,1）求用此方法判断被检查者患有肝癌的概率；,今随机选一人用此方法做肝癌检查.,全概率公式和贝叶斯公式,2）已知 现有一人用此法检验患有肝癌，求此人真正患有肝癌的概率,第一章,返回主目录,（结果: A）,（原因: ）,1）求用此方法判断被检查者患有肝癌的概率；,分析：今随机选一人用此方法做肝癌检查.,全概率公式和贝叶斯公式,指试验分两个步骤：第一步 随机选一人，选到的人可能
41、是真正患有 肝癌， 也可能是不患有肝癌；第二步 用此方法判断被检查者患有肝癌。,例 7（续）,解 由已知，得,第一章,返回主目录,1）由全概率公式，有,全概率公式和贝叶斯公式,例 7（续）,第一章,返回主目录,2）由Bayes公式，得,全概率公式和贝叶斯公式,例 8 某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件厂提供的。根据以往的记录有以下的数据。 元件制造厂 次品率 提供晶体管的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05,S,B1,B2,B3,A,第一章,全概率公式和贝叶斯公式,设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。 （1）在仓库中随机的取一只
42、晶体管，求它是次品的概率。（2）在仓库中随机的取一只晶体管，若已知取到的是次品试分析此次品出自那家工厂的可能性最大。,解 ： 设 A =“取到的是一只次品”，Bi ( i= 1,2,3)=“取到的产品是由第 i家工厂提供的”,第一章,例8（续）,返回主目录,全概率公式和贝叶斯公式,（结果）,（原因）,元件制造厂 次品率 提供晶体管的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05,第一章,例8（续）,返回主目录,全概率公式和贝叶斯公式,元件制造厂 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05,A,第一章,例8（续）,返回主目录,全概率公式和贝叶斯公式,第一章,例8（续）,返回主目录,全概率公式和贝叶斯公式,有两箱同种类的零件。第一箱装50只，其中10只一等品；第二箱装30只，其中18只一等品。今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。求： （1）第一次取到的零件是一等品的概率； （2）第一次取到的零件是一等品的条件下 ，第二次取到的也是一等品的概率； （3）已知第一次取到的零件是一等品，求它是第一箱的零件的概率；,
