1、1群论复习题1. 证明: 关于矩阵的加法构成一个群 .ZdcbacG,2.令 ,证明: 关于矩阵的乘法构成一10,10, G个群.证明 将 记作 ,并将 中其余三个矩阵分别记作 .于是, 上EGCBA,G的乘法表如下: E A B CE E A B CA A E C BB B C E AC C B A E由于矩阵的乘法适合结合律, 上的乘法适合结合律.从乘法表可知,G, , .XEGY所以 关于矩阵的乘法构成一个群.G3. 在整数集 中,令 , .证明: 关于这样的乘法构Z2baZ成一个群.4.在 中,令5S, .45132f 2543g求 和 .gf,125.令 .证明 关于矩阵的乘法构成一
2、个半群.Z,dcbacSS6设 是一个群,证明:G, .11)(abG7.设 是一个群,证明: 是交换群的充要条件是, .2)(8设 是一个群.假设对于任意的 都有 ,证明: 是交换群.GGae2G9. 设 是数域 上的 级一般线性群, 是 的由全体 阶可逆)(PnLnHn的对角矩阵组成的子集,证明: 是 的子群.H10.设 是群 的子群, ,证明: 也是 的子群HGa|11haG(称为 的一个共轭子群).11.设 是交换群, 为整数,令 ,证明: 是 的子群.0n|eGHnH12.设 是交换群,证明: 的所有阶为有限的元素构成的集合是 的子群.GGG13.设 是群, ,证明: 与 具有相同的
3、阶.ba,a1b14.设 是群, , .假设 的阶与 的阶互素,证明:G,.|ba15.设 是一个群, , 都是 的子群.假设 不包含于 且 不包含1H2G1H2H3于 ,证明: 不是 的子群.1H21G16.设 是一个群, 是 的一个子群链,证明: n21 G是 的子群.nG117.证明:循环群是交换群.证明 设 是一个循环群.于是, (参看课本第 12 页倒a|Zna数第 4 行).众所周知, , .所以 是交换群.mnnmaG18.设 是无限循环群,证明: 有且仅有两个生成元.GG证明 由于 是无限循环群,不妨设 是 的一个生成元.于是, 也是1a的一个生成元,并且 .这就是说, 有两个
4、不同的生成元.其次,假设 是a1 b的任意一个生成元.由于 ,因此存在 ,使得 .由于 且Znnb,因此存在 ,使得 .由此可见, ,即 或 .所aZknkab11以 有且仅有两个生成元.G19.证明:循环群的商群也是循环群.20.设 是群, , ,是 的一族正规子群,证明: 也是 的正规iNIGiIiNG子群.21.设 , 是群 的正规子群且 ,证明:对于任意的 ,12 21eN1a,都有 .2bba22.设 是群 的子群且 ,证明: 是 的正规子群.HG:HG23.设 是群 的有限子群, .假设 只有一个阶为 的子群,证明:n| n是 的正规子群.24.设 是群, 和 是 的子群,GHKG
5、(1)证明: 是 的子群 .H(2)假设 是 的正规子群,证明: 是 的子群.K(3)假设 和 都是 的正规子群,证明: 是 的正规子群.G25.设 是群, 和 是 的子群且 ,若 有限，求证GHKGH:K及4也有限，且:KG26.设 是群 到群 的同构 , 是群 到群 的同构,证明: 是群f12Gg2G31f到群 的同构; 是群 到群 的同构.21gf1327.设 是群 的子群, 是 的共轭子群,证明: 与 同构.HG1aH1aH28.分别建立 到 和 到 的同态来证明定理N)/(G)/(/N6.11.注 定理 6.11 的内容如下:设 是一个群, 是 的正规子群.(1)若 是 的子群,则 ;HGHN/)(/(2)若 是 的正规子群且 ,则 .HG/)(29.设 是群, , 是 的有限子群,证明:G12.| 2121G30.设 是群 到群 的满同态, 是 的正规子群,证明:fGH./)(/1Hf31.设 , 是群,证明: .12 121G
