1、山东莱芜第第一中学学 2019 高三上 12 月阶段性测试-数学（理）数学试题（理科）2018.12注意事项：1本试题满分 150 分，考试时间为 120 分钟2使用答题纸时，必须使用 05 毫米的黑色墨水签字笔书写，作图时，可用 2B 铅笔要字迹工整，笔迹清晰超出答题区书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效3答卷前将密封线内的项目填写清楚一、选择题：本大题共 12 小题；每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的个选项中，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上1已知集合 23,log1MxNx，则 NM等于( )A. B. 20 C.3 D. 02x“ 2,1xR”的否定
2、是“ 2,1xR”；在 ABC中， “ ”是“ siniAB”的充要条件.A4 B3 C2 D13设 ,ab，若 |0a，则以下不等式中正确的选项是(A) (B) b(C) 20b(D) 30ab 4已知数列 na满足31n,前 n项的和为 nS,关于 ,n表达正确的选项是( )A. ,nS都有最小值 B. a都没有最小值C. a都有最大值 D. ,n都没有最大值5 一个几何体的三视图如下图，则该几何体的体积为（ ）A2 B1 C.23D13“直线 ab 为异面直线 ”的充分非必要条件是：直线 ab 不相交； “直线 l 垂直于平面 内所有直线 ”的充要条件是：l 平面 ；“直线 ab”的充分
3、非必要条件是“a 垂直于 b 在平面 内的射影”；“直线 平面 ”的必要非充分条件是“直线 a 至少平行于平面 内的一条直线”A1 个 B2 个 C3 个 D4 个7已知实数 ,xy满足20,1,yx，则 342zxy的最大值为（A） 8 （B ） 6 （C） 5 （D）8 已知函数2()sincosfx，将 ()f的图象上各点的横坐标缩短为原来的21，纵坐标不变，再将所得图象向右平移4个单位，得到函数 ()ygx的图象，则函数()ygx的解析式为(A) 2sinx (B) ()2cosgx(C)3()i(4)gx(D) ()49 函数32()faxbcxd图象如右图,则函数23cyaxb的单
4、调递增区间为A , B.) C.2,3 D.1,)10 已知函数1(0(),()xf fxaf若 方 程有且只有两个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围为(A)(,0(B),)(C)(,)(D),)11 若直线1xyab通过点 (cosin)M， ，则（ ）A 2 B 21b C 21abD 21ab12设 ()fx是连续的偶函数, 且当 0x时 ()f是单调函数,则满足3()4xf的所有 之和为( ) A. 3 B. C. 8 D.二、填空题.(本大题共有 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分)13设0sinaxd，则曲线 2xya在 1x处切线的斜率为 .14已知等差数列 n中，有1
5、0230aa 成立类似地，在正项等比数列 b中，有_ 成立QP ABCRBAC15. 已知 F1、F2 分别是双曲线21(0,)xyab的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若 1290FP，且 12FP的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是 .16.已知二面角 Q为 3，A， B， CP，R为线段 的中点， 6AB，2B，则直线 与平面 所成角的大小为 _三、解答题.本大题共 6 个小题，共 74 分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.17.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=cos(2x+ 3)+sinx 求函数 f(x)的最大值和最小正周期.设 A,B,C 为 ABC
6、 的三个内角，若 cosB=1，f( 2C)= 4，且 C 为锐角，求 sinA.18.（本小题满分 12 分）数 a的取值范围。19.（此题满分 12 分）如图，在直三棱柱 CBA中， B =a， 90A，点 E、F 分别是棱 AB、BC 上的动点，且 AE=BF。（I）求证： F。（II）当三棱锥 E的体积取得最大值时，ACEBF求二面角 EFB的余弦值。20.（本小题满分 12 分）已知数列 na满足 2211nan()求数列 na的通项；()若 nb，求数列 nb的前 项的和 nS。21. 设()lnafxx，32()gx（I）当 2时，求曲线 yf在 1处的切线方程；（II）如果存在
7、 1,0,2x，使得 2()xgM成立，求满足上述条件的最大整数M；（III）如果对任意的,2st，都有 ()fst成立，求实数 a的取值范围22 （本小题满分 12 分）在直角坐标系 xOy 中，椭圆 C1： 2byax=1（ab0 ）的左、右焦点分别为 F1，F2F2也是抛物线 C2：24yx的焦点，点 M 为 C1 与 C2 在第一象限的交点，且MF2= 35（）求 C1 的方程；（）平面上的点 N 满足 21F，直线 lMN，且与 C1 交于 A，B 两点，若0OAB，求直线 l 的方程莱芜一中 51 级高三上学期阶段性测试理科数学参考答案一、选择题：1 D. 30202.MNxxx2
8、 C.解析：正确 3B 4A 5C 6B 7A 8 C 【解析】函数)4sin(cosin)( f，将()fx的图象上各点的横坐标缩短为原来的 2倍，纵坐标不变，得到函数为)4sin2y，再将所得图象向右平移4个单位得到函数xxsin(9 D 10 C 【解析】做出函数 )(f的图象如图， ，由图象可知当直线为 1xy时，直线与函数 )(xf只要一个交点，要使直线与函数有两个交点，则需要把直线 向下平移，此时直线恒和函数 )(xf有两个交点，所以 1a，选 C.11解：D由题意知直线yab与圆2xy有交点，则2211ab ,.另解：设向量1(cos,in),(,)abm=，由题意知cosin1
9、ab由 n可得 2si112解：本小题主要考查函数的奇偶性性质的运用。依题当满足3()4xf时，即34x时，得 230x，此时 123.x又 ()fx是连续的偶函数，()fxf，另一种情形是()4ff，即34，得 2530x， 345.x满足3()4xf的所有 x之和为 3(5)8.二、填空题.13解析：0sinaxd= 20coscos0，于是曲线2xy，lx，在 1x处切线的斜率为：ln4nk。14由算术平均数类比几何平均数，容易得出303021102bb .15.【 解析】设 xPF2， )(1yx，则 ax，又 cy,为等差数列，所以 ycx，整理得 acy24，代入224c整理得，0
10、6522a，解得 5，所以双曲线的离心率为5ae。16 4三、解答题.17. 解: （1）f(x)=cos(2x+ 3)+sinx.=1cos23cos2sin2sin233xxxx所以函数 f(x)的最大值为 ,最小正周期 .（2 ）()cf=13sin2C= 41, 所以3sin2C, 因为 C 为锐角, 所以 3,又因为在 ABC 中, cosB= , 所以 iB, 所以 632sincosin)si(in CBCA18.解： 由 022ax x2在 ,1上恒成立令xg2)(为 ,1上减函数， 1)()(maxg a)3lo3af是区间 ,1上的减函数令 xxh2)( 0)(h1a19.
11、解（I）证明：连 BA,由题设知侧面 AB为正方形 BA又 , FCCC 即面FF面 （4 分） ）另证：建立空间直角坐标系，证明 0AB （略）（II）设 24)(61, 3 axVxaBExAEF则，当且仅当2ax时取等号，此时 E、F 分别为 AB 与 BC 的中点。 （6 分）以 B 为原点，BA 为 x轴，BC 为 y轴， 为子轴建立空间直角坐标系，则 )0,2(),(),(),0(),(),0( aFEaoBCA为平面 F的一个法向量，且 0A （8 分）设平面 EB的法向量为 ),(zyxn由 tzytxyaxFn 2020得)1,2(3cosBAn20.解：（） 21a时213
12、1 nan(1) 212231 naan (2) (1)-(2)得1n即 n(n)，又 21a也适合上式 na2121.（ I）当 2a时，()lnfxx， 2()ln1fx， ()2f， (1)f， 所以, 曲线 ()yf在 1处的切线方程为 3y. （II）存在 12,0,x，使得 2()gxM成立，等价于：ma()gM，考察32()x，2()3()3gxx，由上表可知： minmax285()(),()(2)137gxg，12axaxin1()x，所以满足条件的最大整数 4M； 0(,) 2(,32()gx 0+3递减极小值8527递增 1（III）对任意的1,2st，都有 ()fsgt
13、成立, 等价于：在区间1,2上，函数 ()fx的最小值不小于 ()x的最大值，由（II）知，在区间,上， ()g的最大值为 (2)1g。(1)fa，下证当 1a时，在区间1,上，函数 fx恒成立。当 且,2x时，()lnlfxx，记1()lnh， 21()lh， (1)0h. 当,)2x， 2(ln0xx；当 (,2x，1(ln0h，所以, 函数()lxx在区间1,)2上递减，在区间 (1,2上递增，min()(1)h，即 ()h， 所以当 a且,x时， )1fx成立，即对任意,2st，都有 ()fsgt. （III）另解：当1,x时，ln1afxx恒成立, 等价于 2lnax恒成立，记2()
14、lnh， ()2lh， ()0h. 记 1mxx， 3nmx， 由于,2， ()2l0, 所以 ()1lnmxhx在1,上递减，当1,)2x时， ()0hx， (1,2时， ()0hx，即函数2()ln在区间,)上递增，在区间 (1,2上递减，所以, max1h，所以 1a. 22解：（）由 2C： 4yx知 2(0)F， 设 1()Mx， ， 在 2上，因为 253M，所以 153x，得 12x， 163y在 1C上，且椭圆 1的半焦距 1c，于是24891.ab，消去 2b并整理得 429370a， 解得 2（ 3不合题意，舍去） 故椭圆 1C的方程为21xy（）由 2MFN知四边形 12
15、MF是平行四边形，其中心为坐标原点 O，因为 l ，所以与 O的斜率相同，故的斜率632k设的方程为 6()yxm由2416()xym，消去 并化简得 2291840设 1()Axy， ， 2()Bxy， ， 126x， 129x因为 O，所以 12012126()xyxmx212176()6xmx28479mAA(48)09所以 2m此时22(16)49(8)0m，故所求直线的方程为 3yx，或 63yx17.f(x)=cos(2x+ 3)+sinx.=1cos23cos2sin2sin233xxxx所以函数 f(x)的最大值为1,最小正周期 . w.w.w.zxxk.c.o.m （2 ）(
16、)cf=3sin2C= 4, 所以3sin2C, 因为 C 为锐角, 所以 3,又因为在 ABC 中, cosB=1, 所以 iB, 所以 w.w.w.zxxk.c.o.m 213sini()sincosin32ABCC.19.解（I）证明：连 BA,由题设知侧面 AB为正方形 BA又 , FCCC 即面FF面 （4 分） ）另证：建立空间直角坐标系，证明 0ABF （略）（II）设 24)(61, 3 axVxaBExABE则，当且仅当 2ax时取等号，此时 E、F 分别为 AB 与 BC 的中点。 （6 分）以 B 为原点，BA 为 轴，BC 为 y轴， 为子轴建立空间直角坐标系，则 )0
17、,2(),(),(),0(),(),0( aFaoCBA为平面 F的一个法向量，且 aA （8 分） 设平面 EB的法向量为 ),(zyxn由 tzytxyxzEFnB020得 分 ）（分 ）（ 1236|cos1),2( aBAn20.解：（） 21an时2131 nan(1) 212321 an(2) (1)-(2)得1n即 n(n)，又 21a也适合上式 na2121.（ I）当 2a时，()lnfxx， 2()ln1fx， ()2f， (1)f， 所以, 曲线 y在 1处的切线方程为 3y. （II）存在 12,0,x，使得 2()gxM成立，等价于：12max()gxM，考察32()
18、，22()3()3gxx，由上表可知： minmax285()(),()(2)137gxg，12axaxin1()x，所以满足条件的最大整数 4M； （III）对任意的1,st，都有 ()fsgt成立, 等价于：在区间1,2上，函数 ()fx的最小值不小于 ()x的最大值，由（II）知，在区间,上， ()g的最大值为 (2)1g。(1)fa，下证当 1a时，在区间1,上，函数 fx恒成立。当 且,2x时，()lnlfxx，记1()lnh， 21()lh， (1)0h. 0(,) 2(,32()gx 0+3递减极小值8527递增 1当1,)2x， 21(ln0hxx；当 (1,2x，(ln0h，
19、所以, 函数1()lxx在区间,1)2上递减，在区间 (1,2上递增，min()()h，即 ()h， 所以当 a且,x时， )1fx成立，即对任意1,2st，都有 ()fsgt. （III）另解：当,x时，ln1afxx恒成立, 等价于 2lnax恒成立，记2()lnh， ()12lh， ()0h. 记 1mxx， 3nmx， 由于,2， ()2l0, 所以 ()1lnmxhx在1,上递减，当,2时， ()0， (,2时， ()0hx，即函数2()lnhxx在区间1,)上递增，在区间 (1,2上递减，所以, ma1，所以 a. 22解：（）由 2C： 4yx知 2(10)F， 设 1()Mx，
20、 ， 在 2上，因为 253M，所以 153x，得 12x， 163y在 1C上，且椭圆 1的半焦距 1c，于是24891.ab，消去 2b并整理得 429370a， 解得 2a（13不合题意，舍去） 故椭圆 1C的方程为21xy（）由 2MFN知四边形 12MF是平行四边形，其中心为坐标原点 O，因为 l ，所以与 O的斜率相同，故的斜率632k设的方程为 6()yxm由2416()xym，消去 并化简得 2291840设 1()Axy， ， 2()Bxy， ， 126x， 129x因为 O，所以 12012126()xyxmx212176()6xmx28479mAA(48)09所以 2此时2216)，故所求直线的方程为 3yx，或 63yx
