1、- -1 杨浦区 2016 学年度第二学期高三年级质量调研数学学科试卷 2017.4 考生注意： 1答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上2本试卷共有 21 道题，满分 150 分，考试时间 120 分钟一填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分。考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分1. 行列式 中, 元素 的代数余子式的值为_.12345678952. 设实数 , 若函数 的最小正周期为 , 则0()cos()in()fxx_.3. 已知圆锥的底面半径和高
2、均为 1, 则该圆锥的侧面积为_.4. 设向量 , 向量 . 若 与 的夹角为钝角, 则实数 的取值范围(23)a(6,)btabt为 _.5. 集合 , 集合 . 若 , 则实数 _.21,A1,2BBAa6. 设 是方程 的两根, 则 _.2z30z12|z7. 设 是定义在 上的奇函数 , 当 时, . 则不等式()fxR0x3()2xf的解为_.5f- -2 8. 若变量 满足约束条件 则 的最小值为_.,xy12,0,xyzyx9. 小明和小红各自掷一颗均匀的正方体骰子, 两人相互独立地进行. 则小明掷出的点数不大于 2或小红掷出的点数不小于 的概率为_.310. 设 是椭圆 上的动
3、点, 点 的坐标为 , 若满足A21 04xyaaF(20)的点 有且仅有两个, 则实数 的取值范围为_.|10F11. 已知 , , 当 取到最小值时, _.b2()bab12. 设函数 . 当 在实数范围内变化时, 在圆盘 内, ()|afx21xy且不在任一 的图像上的点的全体组成的图形的面积为_.二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得 5 分，否则一律得零分. 13. 设 且 . “ 是纯虚数”是“ ”的 ( )zC0z2zR(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件(C) 充要条件 (D)
4、 既非充分又非必要条件14设等差数列 的公差为 , . 若 的前 项之和大于其nad0na10前 项之和 , 则 ( )21(A) (B) (C) (D) 0d1616a- -3 C3C2C1OSND CBA15如图, 、 是球 直径的两个端点. 圆 是经过 和 点的大圆, 圆 和NSO1CNS2C圆 分别是所在平面与 垂直的大圆和小圆. 圆 和 交于点 、 , 圆 和3C 2AB1交于点 、 .设 、 、 分别表示圆 上劣弧 的弧长、圆 上半圆弧Dabc1 2的弧长、圆 上半圆弧 的弧长. 则 的大小关系为 (AB3C,abc)(A) bac(B) (C) c(D) ba16 对于定义在 上
5、的函数 , 若存在正常数 , 使得 对R()fxab()(fxafb一切 均成立, 则称 是“控制增长函数” 。在以下四个函数中：x 2()1f|()fx2()sin)fx()sinfx是“控制增长函数”的有 ( )(A) (B) (C) (D) 三、解答题（本大题满分 76 分）本大题共 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .- -4 A1 B1C1D1QPD CBA17 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满分 6 分.如图, 正方体 中, . 、 分别是棱 与 的中点.1ABCD4ABPQB1(1) 求异面直线
6、 和 所成的角的大小;PQ(2) 求以 四点为四个顶点的四面体的体积 . 1,- -5 18 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.已知函数 .1()2xf(1) 判断函数 的奇偶性, 并证明;f(2) 若不等式 有解，求 的取值范围.9()log1xcc- -6 RQPCBA19 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分如图所示: 扇形 是一块半径为 千米, 圆心角为 的风景区, 点在弧 上, ABC0PBC现欲在风景区中规划三条商业街道. 要求街道 与 垂直, 街道 与 垂直,线
7、PQABRA段 表示第三条街道. RQ(1) 如果 位于弧 的中点,求三条街道的总长度;PBC(2) 由于环境的原因, 三条街道 , , 每年能产生的经济效益分别为每千米R万元, 万元及 万元, 问:这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少?30204(精确到 万元).1- -7 20 （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分.设数列 满足 , 其中 是两个确定的实数, .na4nABA0B(1) 若 , 求 的前 项之和;1Bna(2) 证明: 不是等比数列;n(3) 若 , 数列 中除去开始的两项之外, 是否
8、还有相等的两项? 并证明你的12an结论.- -8 21、 （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分.设双曲线 的方程为 .过其右焦点 且斜率不为零的直线 与双曲线交于213yxF1l两点, 直线 的方程为 , 在直线 上的射影分别为AB2ltAB2l,CD(1) 当 垂直于 轴, 时, 求四边形 的面积 ;1lxt D(2) 当 , 的斜率为正实数, 在第一象限, 在第四象限时, 试比较0t1l B和 的大小, 并说明理由 ;|ACFBD(3) 是否存在实数 , 使得对满足题意的任意直线 , 直线 和直线 的(1
9、)t1lADBC交点总在 轴上, 若存在, 求出所有的 的值和此时直线 与 交点的位置; 若不xt存在, 说明理由.数学评分参考一填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分。考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分1. 2. 3. 4. 1222(,4)5. 6. 7. 8. (,3)- -9 9. 10. 11. 12. 79(8,12)1434二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得 5 分，否则一律得零分
10、. 13、 (A) 14、(C) 15、(D) 16、(C)三、解答题（本大题满分 76 分）本大题共 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .17、 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满分 6 分.(1) 以 为原点 , 方向为 轴正方向, 方向为 轴正方向, 方向为 轴DAxDCy1Dz正方向建立空间直角坐标系. （2 分）得 , , , .1(04)(20)P1(4)(4,)Q故 , . （4 分）,设 与 所成的角的大小为 .1DAQ则 . （6 分）1|165cos320P故 与 所成的角的大小为 . （8
11、 分）1Aarcos5(2) 该四面体是以 为底面, 为顶点的三棱锥. （10 分）1DQP到平面 的距离 .P14h- - 10 -的面积 . （12 分）1ADQ182ABCDS因此四面体 的体积 . （14 分）1P13243VSh18、 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.(1) 奇函数 （2 分）证明：定义域 （4 分）xR（6 分）1 12()2xxxf f所以 为奇函数()f(2) 令： 则2xt0原函数为 （8 分）1yt值域为 （10 分）,2因为不等式 有解9()log1fxc所以 有解 （12 分）9log12c
12、即： 03（14 分）2- - 11 -19、 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分(1) 由题意, , 因此 , 同理 （2 分）30PAQsin30P1PR, 故 （4 分）696R3Q因此三条步道的总长度为 千米 （6 分）2(2) 设 . 则 , （8 分）0,3PAQsinP2sin3R均在以 为直径的圆上,R由正弦定理 得 （10 分）2sinA3Q效益 302i0si403Tsincoin（12 分）207iart4032当 时rctn53,的最大值为 万元 （14 分）T20741220、 （本题满分 16 分）本题共有
13、 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，- - 12 -第 3 小题满分 6 分.(1) , 故前 项之和4na. （2 分）2()(12)nnSn （4 分）41()43n(2) , , .1aAB216aB63aAB若 是等比数列, 则 （6 分）n 2()(4)即 , 即 .22256456731A因 , 故 , 且 . （8 分）0B1A0此时, , , , 不满足 .2a34aA234a因此 不是等比数列. （10 分）n(3) 即 , 即 , 且 .124162AB12B0此时, . （12 分）()nna设 .*,cN, 1 11(42()(412)34
14、20nnnn 当且仅当 时等号成立, 故 .cc即除 外, 的各项依次递增. （14 分）1cn- - 13 -因此 中除去 和 之外, 没有其它的两项相等. （16 分）na12a21、 （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分.(1) 右焦点的坐标为 . 故 . （1 分）(2,0)F1:2lx联立 解得 . 故 , （3 分）2,13xy3y|6AB又 , 故四边形 的面积为 . （4 分）|4ACDC2(2) 设 的方程为 , 这里 . 将 的方程与双曲线方程联立, 得到1lxmy01l, 即 . （6 分
15、）23()30y2()9ym由 知 , 此时, 12（8 分）2211|3| 3|ABAAByyxACFBD 由于 , 故 , 即 , 故 .2103ABmy0ABy|0ABy21ABy因此 .（10 分）|CFBD- - 14 -(3) 设直线 , 与 联立得:2ABxmy213yx. (有两交点表示 )2(31)90y 3m设 , , 则 , .Ax()Bx)ACty(BDt的绝对值不小于 , 故 , 且 . 又因直线斜率不为零, 故 .,B1xABy直线 的方程为 .DBAAyt直线 的方程为 . （12 分）BCBABxty若这两条直线相交在 轴上, 则当 时, 两方程的 应相同, 即0yx. ()()BAAByxtxtxt故 ,(2)(2)0ABBAmtyt即 . （14 分）y现 , , 2931AB213ABmy代入上式, 得 对一切 都成立. 8()0mt3即 , . （16 分）124t2- - 15 -此时交点的横坐标为 ()BAyxtxt. （18 分）2()(2()111252 4ABBBAtytmyt t 综上, 存在, , 此时两直线的交点为 .t12t5,04
