1、数学试题卷（文科） 第 1 页（共 4 页）长春市普通高中 2016 届高三质量监测（一）数学试题卷 (文科)考生须知：1. 本试卷分试题卷和答题卡，满分 150 分，考试时间 120 分钟.2. 答题前，在答题卡指定位置上填写学校、班级、姓名和准考证号.3. 所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效. 4. 考试结束，只需上交答题卡.第卷（选择题，共 60 分）一、选择题（本大题包括 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）1. 已知集合 ， ，则0,12A|,BzxyABA. B. C. D. ,34,0,241
2、,22. 复数 （ 是虚数单位）等于iA. 1 B. 2 C. D. ii3. 抛物线 的准线方程为2yxA. B. C. D. 1y1x1x4. 已知向量 满足 ，则 ba, )6,3(),05(baabA. B. C. D. 122205. 下列说法中正确的是A. “ ”是“函数 是奇函数”的充要条件；(0)f()fxB. 若 ： ， ，则 ： ， ；pxR201pxR21xC. 若 为假命题，则 均为假命题； q,pqD. “若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ”.6sin6sin6. 若实数 满足 ，则 的最小值为,xy21x 2zxyA. B. C. D. 2127. 执行如图所示的程
3、序框图，输出的 为sA. B. 015604215C. D. 276开 始输 出结 束是 否,0ks1()sks25?数学试题卷（文科） 第 2 页（共 4 页）8. 在 中， ， ， ，则 的面积为ABC23AC10BABCA. B. C. D. 64153543619. 已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A. B. 6C. D. 22310. 已知函数 ，则其图像为3|xyeyO x yO xA. B.yO x yO xC. D.11. 函数 ，下列判断正确的是()sin)cos()6fxA. 的最小正周期为 B. 是奇函数2()6fxC. 的一个对称中心为 D. 的一条对称
4、轴为()fx(,0) 6x12. 设 是定义在 上的偶函数，对 ，都有 ，且当RxR(2)()ff时， ，若在区间 内关于 的方程2,01()2xf,6x恰有 3 个不同实根，则 的取值范围是()logafxaA. B. 3412C. D. 6937正 视 图 侧 视 图俯 视 图22数学试题卷（文科） 第 3 页（共 4 页）第卷（非选择题，共 90 分）本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22 题24 题为选考题，考生根据要求作答.二 、 填 空 题 (本 大 题 包 括 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 20 分 ， 把 正
5、确 答 案 填 在 答 题 卡 中 的 横 线 上 ).13. 利用分层抽样的方式在学生总数为 1200 人的年级中抽出 20 名同学，其中有女生 8人，则该年级男生的人数约为_. 14. 已知 ，则 _. 3log21x2x15. 设椭圆 的左右焦点分别为 . 若椭圆上存在点 使(0)yab12,FP. 则椭圆的离心率的取值范围是_. 1290FP16. 已知一个四面体的所有棱长都为 2，则该四面体的外接球表面积为_. 三、解答题（本大题包括 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17. （本小题满分 12 分）已知等差数列 的前 项和为 ， ， .nanS20a
6、541Sa 求数列 的通项公式； 设 ，求数列 的前 项和 . 2nbnbnT18. （本小题满分 12 分）为了调查某高中学生每天的睡眠时间，现随机对 20 名男生和 20 名女生进行问卷调查，结果如下：女生：男生： 现把睡眠时间不足 5 小时的定义为“严重睡眠不足” ，从睡眠时间不足 6 小时的女生中随机抽取 3 人，求此 3 人中恰有一人为“严重睡眠不足”的概率； 完成下面 列联表，并回答是否有 的把握认为“睡眠时间与性别有关”？290%睡眠少于 7 小时 睡眠不少于 7 小时 合计男生女生合计P(K2k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k
7、2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（ ，其中 ）2()(nadbcnabcd睡眠时间（小时） 4,5),6),7),8),9人数 2 4 8 4 2睡眠时间（小时） ,),),),),人数 1 5 6 5 3数学试题卷（文科） 第 4 页（共 4 页）19. （本小题满分 12 分）如图，在三棱柱 中， 平面 ，1ABC1ABC， ， . 9023 过 的截面交 于 点，若 为等边三角形，1P求出点 的位置；P 在条件下，求四棱锥 与三棱柱1的体积比. 1ABC20. （本小题满分 12 分）已知椭圆 的方程为 ，离心率 ，过焦点且与长轴垂2x
8、yab(0)32e直的直线被椭圆所截得线段长为 1. 求椭圆 的方程； 为 曲 线 上 的 三 个 动 点 ， 在 第 一 象 限 ， 关 于 原 点 对 称 ， 且,DEFCD,EF， 问 的 面 积 是 否 存 在 最 小 值 ？ 若 存 在 ， 求 出 此 时 点 的 坐 标 ；| D若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 .21. （本小题满分 12 分）已知函数 .()1xfea 判断函数 的单调性； 设 ，若函数 存在零点，求实数 的取值范围. lnF()Fxa请考生在 22、23、24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分 10 分）选修 41
9、：几何证明选讲.已知 中， ，以点 为圆心，以 为半径ABCBC的圆分别交 于 两点，且 为该圆的直径. ,DE 求证： ；2 若 ，求 的长. 1E23. （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程选讲.已知曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，直线 的极坐标方程为C3cosinxyl. sin()24 写出曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程；l 设点 为曲线 上的动点，求点 到直线 距离的最大值. PPl24. （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲.已知函数 .()|fxax ABF D CEC BAC1 B1A1数学试题卷（文科） 第 5 页（共 4 页） 若不等式
10、 恒成立，求 的取值范围；()3fx a 当 时，求不等式 的解集. 2a2()815fx长春市普通高中 2016 届高三质量监测（一）数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1. A 2. C 3. D 4. D 5. D 6. B7. A 8. C 9. B 10. A 11. B 12. A简答与提示：1. 【命题意图】本题考查集合中元素的计算与集合的性质. 【试题解析】A 题意可知，集合 ，|,0,1234zxy故选 A.2. 【命题意图】本题考查复数的除法运算. 【试题解析】C ，故选 C. 21()iii3. 【命题意图】本
11、 题 考 查 抛 物 线 的 准 线 的 概 念 ， 是 对 学 生 的 基 础 知 识 的 直 接 考 查 .【试题解析】D 由题意，抛物线 的准线为 ，故选 D.24yx14. 【命题意图】本题主要对向量的基本运算进行考查.【试题解析】D ， ，()(,)ab()(1,8)2ab则 ，故选 D.41620ab5. 【命题意图】本题是对逻辑问题的综合考查，全面考查考生对各种逻辑问题的理解. 【试题解析】D 选项 A 中，由奇函数定义可知， “ ”是“函数 是奇函(0)f()fx数”的既不充分也不必要条件；选项 B 中，若 ： ， ，则pxR201： ， ；选项 C 中，若 为假命题，只能判定
12、 中pxR210x q,pq至少有一个为假命题；选项 D 的说法正确，故选 D. 6. 【命题意图】本题考查线性规划以及目标函数的几何意义等知识.【试题解析】B 图为可行域，而目标函数 可化为2zxy，即 为该直线在 轴上的截距，当直线过 时，2yxzy(0,1)截距取得最大值，此时 取得最小值为 ，故选 B.z17. 【命题意图】本题考查程序框图的基本运作过程，同时通过程序框图也对数列中的裂项求和做出考查. 【试题解析】A 由程序框图，当 时，还应该进入循环，而当205k时，不再进入循环，故输出结果为 ，故选 A. 2016k168. 【命题意图】本题主要考查解三角形，以及利用余弦定理搭建三
13、角形中边与角的关系式. xyOF(3,4)1 1数学试题卷（文科） 第 6 页（共 4 页）【试题解析】C 由题意，根据余弦定理可得， ， ，故10cos4C6sin4，故选 C. 1315sin24ABSC9. 【命题意图】本题主要考查考生对三视图的理解，以及简单几何体表面积的计算. 【试题解析】B 由三视图可知，该几何体是底面为等腰直角三角形，高为 的3三棱锥，且顶点在底面上的投影为斜边的中点，据此可求得该几何体的表面积为.故选 B. 610. 【命题意图】本题考查考生对图像特征的理解，以及利用求导等手段发现函数特点的方法. 【试题解析】A 函数 为奇函数，且 ，可推出在原点处切线斜率3|
14、xye0|xy为 0，故选 A. 11. 【命题意图】本题考查三角变换公式，以及 中各个量对函数图像sin()A的影响. 【试题解析】B 由题可知 ，故选 B. 1()i26fxx12. 【命题意图】本题主要考查函数图像、函数零点，通过指数函数和对数函数以及函数周期的表达式，来构建函数与函数关系. 【试题解析】A 由题意可知， 的()log()af图像如右图所示，若要保证 有三个2x交点，只需 ，即 ，log43l8aa348. 342二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 720 14. 6 15. 16. 21e6简答与提示：13. 【命题意图】本题考查分层抽
15、样的主要知识. 【试题解析】由于样本容量为 20，所以其中的男生人数为 12，从而年级男生人数为 （人）. 120714. 【命题意图】本题考查对数运算的基本性质. 【试题解析】由条件可知 ，故 . 2log3x22log3l4936x15. 【命题意图】本题通过平面几何的性质考查椭圆离心率的求取，对学生的运算求解能力提出很高要求，是一道中档题. 【试题解析】以线段 为直径的圆与椭圆有公共点，所以 ，即12F2bcyO x2 6-2数学试题卷（文科） 第 7 页（共 4 页）， ，所以 .22ac21e1e16. 【命题意图】本题考查了球的内接几何体问题，特别涉及到了正方体的局部几何体的外接球
16、问题.【试题解析】已知四面体棱长为 2，可知其外接球的半径为 ，从而其表面积为62. 6数学试题卷（文科） 第 8 页（共 4 页）三、解答题17. (本小题满分 12 分)【命题意图】本题考查数列通项公式及其前 项和公式的求法，其中涉及错位相减n法在数列求和问题中的应用.【试题解析】 (1) 设公差为 ，有 ，d1110,526ada解得 ，所以 . （6 分）1,da2n(2) 由(1)知， ，所以 . （12 分）2nb 2()41nnnT18. (本小题满分 12 分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率知识的理解，以及统计案例的相关知识，同时考查学生的数据处理能力.【试题解析】解：(
17、1) 选取的 20 名女生中， “睡眠严重不足”的有 2 人，设为 ，,AB睡眠时间在 的有 4 人，设为 . 从中选取 3 人的情况有5,6),abcd,ABabc, ,dadABabcBdabcd，其中恰有 1 人“睡眠严重不足”的有 12 种，因此 3 人中恰有一个为“严重c睡眠不足”的概率为 （6 分）2305(2) 睡眠少于 7 小时 睡眠不少于 7 小时 合计男生 12 8 20女生 14 6 20合计 26 14 40220(1648)0.42.7091k所以没有 的把握认为“睡眠时间与性别有关” （12 分）9%19. (本小题满分 12 分)【命题意图】本小题以三棱柱为载体，
18、考查立体几何的基础知识. 本题通过分层设计，考查了体积运算等知识，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】解：(1) 由题意 ，在三棱柱中，由 平面2PCB1ABC且 可得， ，故点 的位置为 的三等分点，且靠近 处. 2ABCA11（6 分）(2) 由(1)可知， ，136BCV1 233PABCV，所以 ，423PABC12PBC数学试题卷（文科） 第 9 页（共 4 页）所以所求两个几何体的体积比为 . （12 分）2320. (本小题满分 12 分)【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程的求取，直线和椭圆的位置关系及函数最值的求法，考查学生的逻辑思维能力和运算求解
19、能力.【试题解析】(1) 由题意， ，又 ，可解得 ，因此椭32cea21ba2,1ab圆的标准方程为 . （5214xy分）(2) 由题意知 ，设 ，ODEF:ykx(0)1:ODyxk设 112(,)(,)(,)Exyy由 ，消去 得 ，所以24k24kx 2214|kEFx同理可得 ，221x 2221| 4kOD所以 2224|91549()1()DEFSkk当 ，即 时， 取最小值，此时 . （1221k2,kDEFS,分）21. (本小题满分 12 分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，以及函数图像的判定，考查学生解决问题
20、的综合能力.【试题解析】解：(1) ， ，()1xfea()xfea当 时， ，则 在 上单调递增；0a 0fxR当 时，令 ，得 ，xln则 在 上单调递减，在 上单调递增. （4 分）()f,lna(,)(2) 令 ，则 ，()l0Fxfx1lxea数学试题卷（文科） 第 10 页（共 4 页）令 ，当 无限靠近于 0 时， 趋近于 . 1()lnlnxxeehx()hx，令 可得 ，可知22()1xx ()h1时， 单调递减， 时， 单调递增. 因此 的值域为(0,1)(),()，即为 ，因此函数 存在零点时，实数 的取值范围是h1,eFxa. e（12 分）22. (本小题满分 10
21、分)【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到三角形相似等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力.【试题解析】 (1) 因为 ，所以 ，又因为 ，所ACBACBCBE以 ，所以 ，所以 . （5 分）BEE2F(2) 由(1)可知 ，从而 ，由 ，得1,3EA. （10 分）6C23. (本小题满分 10 分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、利用曲线的参数方程的几何意义求解曲线上点到直线的距离等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】 (1) 曲线 的普通方程为
22、，直线 的直角坐标方程为C213xyl. （5 分）40xy(2) 设点 坐标为 ，P(3cos,in)点 到直线 的距离l|si4|2sin()3d 所以点 到直线 距离的最大值为 . （10 分）24. (本小题满分 10 分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.【试题解析】 (1) 由于 ，所以()|5|fxax，解得 或 . （5 分）()3|5|fxa28(2) ，7,|2|3,5f x数学试题卷（文科） 第 11 页（共 4 页）原不等式等价于 ，或 ，或27815x25381x25781x解得 ，原不等式解集为 . （10 分）3|x
