1、第 页 共 9 页 12015 年国考备考“数量关系”常用数学公式汇总一、 （2、4、8）整除及余数判定基本法则一个数能被 2（或 5）整除，当且仅当其末一位数能被 2（或 5）整除；一个数能被 4（或 25）整除，当且仅当其末两位数能被 4（或 25）整除；一个是能被 8（或 125）整除，当且仅当其末三位数能被 8（或 125）整除。一个数被 2（或 5）除得的余数，就是其末一位数被 2（或 5）除得的余数。一个数被 4（或 25）除得的余数，就是其末两位数被 4（或 25）除得的余数。一个数被 8（或 125）除得的余数，就是其末三位数被 8（或 125）除得的余数。二、 （3、9）整除
2、及余数判定基本法则一个数能被 3 整除，当且仅当其各位数字和能被 3 整除；一个数能被 9 整除，当且仅当其各位数字和能被 9 整除；一个数能被 3 除得的余除，就是其各位数字和被 3 除得的余数；一个数能被 9 除得的余数，就是其各位数字和被 9 除得的余数。三、整除与余数问题1、被除数除数=商余数（0余数除数）；2、余同取余，和同加和，差同减差，公倍数作周期；余同：一个数除以4余1，除以5余1，除以6 余1，则取1，表示为60n+1；和同：一个数除以4余3，除以5余2，除以6 余1，则取7，表示为60n+7；差同：一个数除以4余1，除以5余2，除以6 余3，则取-3，表示为60n-3 ；四
3、、奇偶特征1、二个奇数之和/差为偶数，二个偶数之和/差为偶数，一奇一偶之和/差为奇数；2、两个数的和/差为奇数，则它们奇偶相反，两个数的和/差为偶数，则它们奇偶相同；3、两个数的和为奇数，则其差也为奇数，两个数的和为偶数，则其差也为偶数。五、基础代数公式1. 平方差公式：（ab）（a-b）a 2-b22. 完全平方公式：（ab) 2a 22abb 2 3. 完全立方公式：（ab) 3=（ab）(a 2 ab+b2)4. 立方和差公式：a 3+b3=(a b)(a2+ ab+b2)5. amana mn amana mn (am)n=amn (ab)n=anbn六、等差数列1. na 1+ n(
4、n-1)d；nS2)(1n22. a1（n1）d；3. 项数 n 1；4. 若 a,b,c 成等差数列，则：2ba+c；5. 若 m+n=k+i，则： ；mnkiaa6. 前 n 个奇数：1，3，5，7，9，（2n-1）之和为 2n第 页 共 9 页 2（其中：n 为项数，a 1为首项，a n为末项，d 为公差， 为等差数列前 n 项的和）nS七、等比数列1. ；1nnqA2. （q 1）nSa1）（ 3. 若 a,b,c 成等比数列，则：b 2ac；4. 若 m+n=k+i，则：a man=akai ；5. q (m-n)nm（其中：n 为项数，a 1为首项，a n为末项，q 为公比， 为等
5、比数列前 n 项的和）nS八、不等式1.一元二次方程求根公式：ax 2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)其中： （b 2-4ac 0）1,24bacx根与系数的关系：x 1+x2=- ，x 1x2= ac2. （a、b ，当且仅当 a=b 时取等号） 2+R3. （a、b ） 4. (a、b、c ，当且仅当 a=b=c 时取等号)3c+5.一阶导为零法：连续可导函数，在其内部取得最大值或最小值时，其导数为零。6.两项分母列项公式： =( )(am1ab三项分母裂项公式： = )2(b)(m)2(1ab九、基础几何公式1.勾股定理：a 2+b2=c2(其中：a、b 为直角边，c 为斜边)直角
6、边 3 6 9 12 15 5 10 7 8直角边 4 8 12 16 20 12 24 24 15常用勾股数斜边 5 10 15 20 25 13 26 25 172.面积公式：正方形 长方形 三角形 梯形2abacabhsin21hba)(21第 页 共 9 页 3圆形 R2 平行四边形 扇形 R2ah036n3.表面积：正方体6 长方体 圆柱体2r 22rh 球的表面积4 R22a)(2cb 4.体积公式正方体 长方体 圆柱体Shr 2h 圆锥 r 2h 球3ac 3135.若圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，则它的侧面积：S 侧 r l；6.图形等比缩放型： 一个几何图形，若其尺度变
7、为原来的 m 倍，则：(1)所有对应角度不发生变化；(2)所有对应长度变为原来的 m 倍；(3)所有对应面积变为原来的 m2倍；(4)所有对应体积变为原来的 m3倍。7.几何最值型：(1)平面图形中，若周长一定，越接近与圆，面积越大。(2)平面图形中，若面积一定，越接近于圆，周长越小。(3)立体图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越大。(4)立体图形中，若体积一定，越接近于球，表面积越大。十、工程问题1、核心思想：转化归一或最小公倍数2、基础公式：工作量工作效率工作时间； 工作效率工作量工作时间；工作时间工作量工作效率； 总工作量各分工作量之和；十一、几何边端问题1、方阵问题：(1)实心方阵
8、：方阵总人数（外圈人数4+1） 2=N2最外层人数（最外层每边人数1）4(2)空心方阵：方阵总人数（最外层每边人数-层数）层数4无论是方阵还是长方阵：相邻两圈的人数都满足：外圈比内圈多 8 人。(3)实心长方阵：总人数=MN 外圈人数=2M+2N-4(4)方阵：总人数=N 2 外圈人数=4N-4例：有一个 3 层的中空方阵，最外层有 10 人，问全阵有多少人？ 解：（103）3484（人）2、排队型：假设队伍有 N 人，A 排在第 M 位；则其前面有（M-1）人，后面有（N-M）人3、爬楼型：从地面爬到第 N 层楼要爬（N-1）楼，从第 N 层爬到第 M 层要爬 层。N十二、利润问题1、利润销
9、售价（卖出价）成本；利润率 1；成 本利 润 成 本销 售 价 成 本 成 本销 售 价第 页 共 9 页 4销售价成本（1利润率） ；成本 。 利 润 率销 售 价12、利息本金利率时期； 本金本利和（1+利率时期） 。本利和本金利息本金（1+利率时期）= ； 期 限利 率 ）（本 金 1月利率=年利率12； 月利率12=年利率。例：某人存款 2400 元，存期 3 年，月利率为 102（即月利 1 分零 2 毫） ，三年到期后，本利和共是多少元？”2400（1+10236） =240013672 =328128（元） 十三、排列组合1、解答排列、组合问题的思维模式有二：其一是看问题是有序的
10、还是无序的？有序用“排列” ，无序用“组合” ； 其二是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加法” ，分步用“乘法” 。2、排列公式：P mnn（n1） （n2）（nm1） ， （mn） 。 5673A组合公式：C P P （规定 0C1） 。 12345c3、相邻问题-捆绑法：先考虑相邻元素，然后将其视为一个整体；不邻问题- 抽空法：先考虑剩余元素，然后将不邻元素抽入所成间隙之中。十四、概率问题1、概率=满足条件的情况数/总的情况数2、总体概率=满足条件的各种情况概率之和；3、分步概率=满足条件的每个步骤概率之积。4、某条件成立概率=1-该条件不成立的概率。十五、年龄问题1、年龄问题的三大规
11、律： （1）两人的年龄差是不变的； （2）两人年龄的倍数关系是变化的量； （3）随着时间的推移，两人的年龄都是增加相等的量；2、关键是年龄差不变；（1）几年后年龄大小年龄差倍数差小年龄（2）几年前年龄小年龄大小年龄差倍数差十六、边端问题1、基本思想：牢记各类题型当中的“1 关系” ，是解答“边端问题”的关键。2、基础公式：（1）单边线形植树：棵数总长 间隔1；总长=（棵数-1）间隔（2）单边环形植树：棵数总长 间隔； 总长= 棵数间隔（3）单边楼间植树：棵数总长 间隔1；总长=（棵数+1）间隔（4）双边植树：相应单边植树问题所需棵数的 2 倍。（5）剪绳问题：对折 N 次，从中剪 M 刀，则被
12、剪成了（2 NM1）段。十七、行程问题第 页 共 9 页 51、平均速度型：平均速度 21v2、相遇追及型：相遇问题：相遇距离=（大速度+小速度）相遇时间追及问题：追击距离=（大速度小速度）追及时间背离问题：背离距离=（大速度+小速度）背离时间3、流水行船型：顺水速度船速水速； 逆水速度船速水速。顺流行程=顺流速度顺流时间=（船速+水速）顺流时间逆流行程=逆流速度逆流时间=（船速水速）逆流时间4、火车过桥型：列车在桥上的时间（桥长车长）列车速度列车从开始上桥到完全下桥所用的时间（桥长车长）列车速度列车速度=（桥长+车长）过桥时间5、环形运动型：反向运动：环形周长=（大速度+小速度）相遇时间同向
13、运动：环形周长=（大速度小速度）相遇时间6、扶梯上下型：扶梯级数=(人速+扶梯速度)顺行运动所需时间=人走的级数+扶梯运行级数(顺行)扶梯级数=(人速-扶梯速度)逆行运动所需时间=人走的级数-扶梯运行级数(逆行)7、队伍行进型：对头 队尾：队伍长度=（u 人 +u 队 ）时间 (人和队伍同向而行)队尾 对头：队伍长度=（u 人 u 队 ）时间（人和队伍反向而行）8、典型行程模型：等距离平均速度： （ 分别代表往、返速度）2112、等发车前后过车核心公式：发车时间间隔： t迎 面 后 面迎 面 后 面无动力顺水漂流：漂流所需时间= （其中 t 顺 和 t 逆 分别代表船顺流所需时间和逆流所需时间
14、）顺逆 顺逆 t2十八、钟表问题基本常识：钟面上按“分针”分为 60 小格，时针的转速是分针的 ，分针每小时可追及 。1212时针与分针一昼夜重合 22 次，垂直 44 次，成 180o 22 次。钟表一圈分成 12 格，时针每小时转一格（30 0） ，分针每小时转 12 格（360 0）时针一昼夜转两圈（720 0） ，1 小时转 圈（30 0） ；分针一昼夜转 24 圈，1 小时转 1 圈。2钟面上每两格之间为 300，时针与分针成某个角度一般都有对称的两种情况。第 页 共 9 页 6追及公式： ；T 为追及时间，T 0为静态时间（假设时针不动，分针和时针达到条件要求01的虚拟时间） 。十
15、九、容斥原理 1、两集合标准型：满足条件 I 的个数+满足条件 II 的个数两者都满足的个数=总个数两者都不满足的个数。2、三集合标准型：|ABC|=|A|+|B|+|C|-|AB|-|BC|-|AC|+|ABC|3、三集和图标标数型：利用图形配合，标数解答(1)特别注意“满足条件”和“不满足条件”的区别(2)特别注意有没有“三个条件都不满足”的情形(3)标数时，注意由中间向外标记4、三集合整体重复型：三集合整体重复型核心公式：A+B+C-x-2y=M-p。假如满足三个条件的元素数量分别为 A、B、C，总量为 M，满足两个条件的总和为 x，满足三个条件的个数为 y，三者都不满足的条件为 p，则
16、有：ABC= A+B+C-x-2y=M-p。二十、牛吃草问题核心公式：y=(N-x)T 原有草量（牛数每天长草量）天数，其中：一般设每天长草量为 X。注意：如果草场面积有区别，如“M 头牛吃 W 亩草时” ，N 用 代入，此时 N 代表单位面积上的牛数。二十一、弃九推断在整数范围内的、三种运算中，可以使用此法1、计算时，将计算过程中数字全部除以 9，留其余数进行相同的计算。2、计算时如有数字不在 0-8 之间，通过加上或减去 9 或 9 的倍数达到 0-8 之间。3、将选项除以 9 留其余数，与上面计算结果对照，得到答案。备注：弃九法不用考虑数字当中的小数点，可以直接忽视。另外，两个数相乘，如
17、果其中一个除以 9 余数是 0，另外一个就不再需要计算了。二十二、乘方尾数 口诀：“底数留个位，指数末两位除以 4 留余数（余数为 0 则看作 4） ”。二十三、除以“7”乘方余数核心口诀 注：只对除数为 7 的求余数有效1、底数除以 7 留余数2、指数除以 6 留余数（余数为 0 则看作 6）注：“尾数”即除以 10 之后的余数。二十四、指数增长如果有一个量，每个周期后变为原来的 A 倍，那么 N 个周期后就是最开始的 AN倍，一个周期前应该是当时的 。A1二十五、溶液问题 1、溶液=溶质+溶剂 浓度=溶质溶液 溶质=溶液浓度 溶液=溶质浓度2、浓度分别为 a%、b%的溶液，质量分别为 M、
18、N，交换质量 L 后浓度都变成 c%，则 第 页 共 9 页 7 NMbac% L3、混合稀释型溶液倒出比例为 a 的溶液，再加入相同的溶质，则浓度为 原 浓 度次 数 )1(a溶液加入比例为 a 的溶剂，在倒出相同的溶液，则浓度为 原 浓 度次 数二十六、调和平均数1、调和平均数公式： 212、等价钱平均价格核心公式： （P 1、P 2分别代表之前两种东西的价格 ）21p3、等溶质增减溶质核心公式： （其中 r1、r 2、r 3分别代表连续变化的浓度）312r二十七、同余问题 核心口诀：“余同取余、和同加和、差同减差、公倍数做周期”1、余同：“一个数除以 4 余 1，除以 5 余 1，除以
19、6 余 1”，则取 1，表示为 60n+1”2、和同：“一个数除以 4 余 3，除以 5 余 2，除以 6 余 1”，则取 7，表示为 60n+7”3、差同：“一个数除以 4 余 1，除以 5 余 2，除以 6 余 3”，则取-3，表示为 60n-3”选取的这个数加上除数的最小公倍数的任意整数倍（即例中的 60n）都满足条件。注意：n 的取值范围为整数，即可以去负值，也可以取零值。二十八、星期日期问题平年与闰年判断方法 年共有天数 2 月天数平年 不能被 4 整除 365 天 28 天闰年 可以被 4 整除 366 天 29 天星期推断：一年加 1 天；闰年再加 1 天。大月与小月包括月份 月
20、共有天数大月 1、3、5、7、8、10、12 31 天小月 2、4、6、9、11 30 天注意：星期每 7 天一循环；“隔 N 天”指的是“每（N+1)天” 。二十九、循环周期问题核心提示：若一串事物以 T 为周期，且 AT=Na，那么第 A 项等同于第 a 项。三十、典型数列前 N 项和1、 123()2n 第 页 共 9 页 82、 2135(1)n 3、 46() （ ）4、 22211()216nn 三十一、常用平方、立方及多次方数底数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11平方 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121底数 12 13 14 15 16
21、17 18 19 20 21 22平方 144 169 196 225 256 289 324 361 400 441 484底数 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33平方数平方 529 576 625 676 729 784 841 900 961 1024 1089底数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11立方数 立方 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 1331三十二、质数、合数1 既不是质数也不是合数1、 20 以内的质数包括：2、3、5、7、11、13、17 和 19；20 以内的合数包括：4、6、8、9、10、
22、12、14、15、16、18 和 20。2、典型形似质数分解91=713 111=337 119=717 133=719 117=913 143=1133 147=721153=713 161=723 171=919 187=1117 209=1911 1001=71113三十三、常用“非唯一”变换1、数字 0 的变换: )0(N2、数字 1 的变换： )0(12aaN3、特殊数字变换： 46236842493128164563982567921034、个位幂次数字： 141322三十四、比赛问题N 支队伍进行循环赛每支队伍需要和其他任意队伍进行一次比赛，所以每支队伍需要进行（N-1 ）场比赛
23、，由于每场比赛都是 2 个队伍共同进行，所以总场应该为 N(N-1)/2。三十五、乘船过河问题核心公式：M 个人过河，船上能载 N 个人，由于需要一人划船，故共需过河 M-1/N-1 次， （分子、分母分别减“1”是因为需要 1 个人划船，如果需要 n 个人划船就要同时减去 n） 。三十六、正四面体常用参数第 页 共 9 页 9侧/底面高： 侧/底面面积： 底面内切圆半径：aADP23243aaDO63高： 体积： 截面 ADP 面积： 底面外接圆半径：aO36312 4三十七、页码问题1、 三位数的页码是考试的重点，牢记如下换算公式：页码=数字/3+36；2、对多少页出现多少 1 或 2 的
24、公式如果是 X 千里找几，公式是 1000+X00 3 如果是 X 百里找几，就是 100+X0 2，X 有多少个 0 就 多少。依次类推，请注意，要找的数一定要小于 X，如果大于 X 就不要加 1000 或者 100 一类的了，比如，7000 页中有多少 3 就是 1000+700 3=3100(个)20000 页中有多少 6 就是 2000 4=8000 (个)提示：如 3000 页中有多少 3，就是 300 3+1=901，请不要把 3000 的 3 忘了三十八、图色公式公式：(大正方形的边长的 3次方) (大正方形的边长2)的3次方。三十九、抽屉原理最不利原则：考虑对于需要满足的条件“最不利、最倒霉”的情况，最后加1即可；四十、其他问题1、空瓶换酒型（N 即是每N瓶换1 瓶中的N，式子的结果只取整数部分）；2、分割求解型将一个整体图形分割为多个部分，利用整体与部分之间的关系来求解。3、青蛙跳井问题完成任务的次数=井深或绳长 - 每次滑下米数(遇到半米要将前面的单位转化成半米)例如：青蛙从井底向上爬，井深 10 米，青蛙每跳上 5 米，又滑下 4 米，这样青蛙需跳几次方可出井?(6)单杠上挂着一条 4 米长的爬绳，小赵每次向上爬 1 米又滑下半米来，问小赵几次才能爬上单杠?(7)
