1、 12013 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)解析理科数学本 777 试卷分第卷和第卷两部分。共 4 页，满分 150 分。考试用时 150 分钟.考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。注意事项：1. 答题前，考试务必用 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类在答题卡和试卷规定的位置上。2. 第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。3. 第卷必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，
2、然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤.参考公式:如果事件 A，B 互斥，那么 P（A+B）=P(A)+P(B) ；如果事件 A，B 独立，那么 P（AB）=P(A)*P(B)第卷 （共 60 分）一、选择题(1)复数 满足 为虚数单位） ，则 的共轭复数 为z(3)25(izz(A) (B) (C) (D)2ii5i答案：D.解析：由 得， ，化简得 , .()zi32zizi5i(2)已知集合 ,则集合 中元素的个数是012A|,BxyA(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D)9答
3、案：C.解析： ，所以,2,10,12,02,1,20.2,10B(3) 已知函数 为奇函数,且当 时, ,则()fxx2()fx()f(A) (B) (C) (D)1答案：A.解析：已知函数 为奇函数,所以， .()fx()(1)2ff(4) 已知三棱柱 的侧棱与底面垂直,体积为 ,底面是边长为 的正三角形,若1ABC943为底面 的中心,则 PA 与平面 所成角的大小为 P1 ABC(A) (B) (C) (D) 52346答案：B.2解析：设侧棱长为 ，则 ，底面中线长为 ，h39,34h32.1,tan,PAAP(5) 将函数 的图像沿 轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图像，则
4、的一个可si(2)yxx8能取值为（A） （B） （C） （D）34404答案：B.解析：将函数 的图像沿 轴向左平移 个单位得 ,得到一个偶函数sin(2)yxx8sin(2)4yx的图像 , .,4kZ4(6) 在平面直角坐标系 中， 为不等式组 所表示的区域上一动点，则直线 斜率xoyM20,138.xy OM的最小值为(A) (B) (C) (D) 2112（A）2 （B）1 （C） （D）13 12答案：C.解析：画出可行域，由斜率的定义可得直线 斜率的最小值为 .OM13（7）给定两个命题 若 是 的必要而不充分条件，则 是 的,pqpq（A）充分而不必条件 （B）必要而不充分条件
5、 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件答案：A解析：因为 是 的必要而不充分条件,不妨令 , ,则 , ,则 是 1x： :21x： :2qp的充分而不必条件。q（8）函数 的图象大致为cosinyxxxO(A)xyO(B)xyO(C)xyO(D)3答案：D解析：函数 为奇函数，排除 B,C. ，只有 D 符合.cosinyxx()0f（9）过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ，则直线 的方程为(3,1)2()1y,AB（A） （B） （C） （D）20xy30x43xy430xy答案：A解析：以 与 为直径的端点的方程为 ，与 相减得(3,1), 202(1)即为所求直线 的方程.20
6、xyA（10）用 0，1，9 十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（A）243 （B） 252 （C）261 （D）279答案：B解析：所有三位数共有 个，无重复数字的有 ,. .029648A025（11）抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点的连线交 于第一象限的21:()Cyxp22:13xy1C点 .若 在点 处的切线平等于 的一条渐近线，则M1 2Cp（A） （B） （C） （D）36382343答案：D解析：抛物线的焦点为 ，双曲线 的右焦点为 ，其连线所在直线方程为：(0,)2p2:1xy(2,0)，由 解得 ，由 （舍负） ，4pyx241yxp22xp24216ppx代入
7、解得 .1yxp33（12）设正实数 满足 .则当 取得最大值时， 的最大值为,z2240xyzxyz21xyz（A） （B） （C） （D）01943答案：B4解析：由 得 ， ,当 取得最大值 时， ,代22340xyz2234xy01xyz1zxy入 得 ，所以 ，整理得 有正根，22zx1z2t20ty解得 ，所以 的最大值为 .104t1t2xyz二填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分（13）执行右面的程序框图，若输入的 的值为 ，0.25则输出的 的值为_.n答案：3解析：当 时, , ,13F012当 时, , ,n53.输出 .10.2Fn(14)在区间 上
8、随机取一个数 ，-3,x使得 成立的概率为_.|2|x答案： 13解析：原不等式可化为或 或(2)x1+(2)-0)01,2,Fn101010-Fn1F是 输出 n否 5若 ，则0,abln()lba若 ，则 nb若 ，则,l()lb若 ，则0abnl2a答案：解析：逐个验证三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。（17）设 的内角 所对的边分别为 ，且 ， ， .ABC, ,abc62b7cos9B（）求 的值；,ac（）求 的值. sin()解析:(1)由余弦定理 ,得22cosbaB22()(1cos),bacB又 ， ， ,所以 ,解得 .6a7cos9a3,(2)在 中, ,由
9、正弦定理得, .ABC24in1sin2i3aAb因为 ,所以 为锐角.所以 .ac21cosin3A所以 = .sin()0sii7B（18） （本小题满分 12 分）如图所示，在三棱锥 中， ，BA=BP=BQ，D ，C ，E，F 分别是PAQAQ平 面AQ，BQ，AP ，BP 的中点，AQ=2BD，PD 与 EQ 交于点 G，PC 与 FQ 交于点 H，连接 GH.（）求证： ；/BGH（）求二面角 的余弦值DE证明:(1)因为 D,C,E,F 分别是 的中,AQBP 点,所以 ,/,/EFDC所以 .又因为 ,CD平 面 平 面所以, ,/EFP平 面ABCDEFGHQP6又 ,EFQ
10、平 面,PCDGH平 面 平 面所以, ,又 ,/EFAB .AB(2) D 在 中, ,所以, ,Q2,DQ90AB又因为 ,所以 两两垂直.以 为坐标原点,分别以 所在直线为P平 面 BAP,BAQP轴,建立空间直角坐标系.xyz设 , , , , .=2BA(10,)()EF(02)(10)D(,)(0,2)C所以, . (,QOP设平面 的一个法向量为 , 即F1(,)mxyz,0.EQF11,20.xyz令 ,得 .1y(0,2)设平面 的一个法向量为 ,由 ,PDC2(,)nxyz,nDPC令 得 . .22,0.xyz21,0, 4cos,=5|mn因为二面角 是钝角,所以二面角
11、 的余弦值为 .GHEGHE-（19）本小题满分 12 分甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜 3 局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是 外，其余每局比赛甲队获胜的概率是 .假设每局比赛结果互相独立。122（1）分别求甲队以 胜利的概率;3:0,1:（2）若比赛结果为 3：0 或 3：1，则胜利方得 3 分，对方得 0 分；若比赛结果为 ，则胜利方得 2 分、3:2对方得 1 分，求乙队得分 的分布列及数学期望.X解(1)记甲队 胜利为事件 ,记甲队 胜利为事件 ,记甲队 胜利为事件 ,由题意知,3:01A3:2A3:3A, , .128()7PA28()()7PC2241
12、4()()7PC7所以,甲队以 胜利的概率分别为 .3:0,1:284,27（2）设乙队以 胜利事件为 ,由题意,各局比赛结果相互独立,所以 .4A22414()()37PAC由题意,随机变量 的所有可能的取值为 .根据事件的互斥性得X0,13,12126(0)()()7PP34,7A4(A3()(0)(),2XX故 的分布列为:.164370279EX（20） （本小题满分 12 分）设等差数列 的前 项和为 ,且 , ,nanS421na(1)求数列 的通项公式；(2)设数列 的前 项和 ,且 （ 为常数） ，令 ,( ).求数列 的前nbnT1=2n2ncbNnc项和 .R解:(1)设等
13、差数列 的首项为 ,公差为 .由 , 得,na1d42S1na解得 所以 .1114684(2)2().da 1,.an(2) 所以当 时, .-1=,nTn1121nnnnbT,( ).12()4cbN所以 0231()()()44nnR 则 ,1231()() +()4 n两式相减得 131()()-)(4nn 0 1 2 3p748.1-()1314=)()44nnn整理得 = .nR13()9n所以数列 的前 项和 = .cR13(4)9n（21） （本小题满分 13 分）设函数 2()(.7182,xfce 是 自 然 对 数 的 底 数 cR).()求 的单调区间,最大值;()讨论
14、关于 的方程 根的个数.x|ln()fx解:() ,由 ,解得 .2()1)xfe012x当 时, , 单调递增; 当 时, , 单调递减.2x0(f()0f()fx所以,函数 的单调递增区间是 ,单调递减区间是 ,最大值为 .()f 1)21()2fec()令 .|ln()|ln(0,)xgxfxec(1)当 时, ,则 ,(1)02()lxg所以 .因为 ,21xeg20,1xe所以 , 在 上单调递增.()0(),+)(2)当 时, ,则 ,1xlnx2(lnxgec所以 .2()(1)xeg因为 ,221,0xxe所以 . ,所以 ,即 , 在 上单调递减.210xe()gx()0,1
15、综合(1)(2)可知,当 时, .(1)x2()gec当 ,即 时, 没有零点,2(1)0gec2ex9所以关于 的方程 根的个数为 ;x|ln()fx0当 ,即 时, 只有一个零点,2(1)=0gec2e()g所以关于 的方程 根的个数为 ;x|l()fx1当 ,即 时,2()ec2e当 时,由() 知 ,1x21()=lnln()ln2xgxececxc要使 ,只需 ,即 ;()0gln10c1,)当 时, 由() 知 ,x 21()-l-l()-l1xxececxc要使 ,只需 ,即 ;()-lc-1(,)所以 时, 有两个零点,2ce()gx故关于 的方程 根的个数为 .x|lnf2综
16、上,当 时,关于 的方程 根的个数为 .2ce|l()xf0当 时,关于 的方程 根的个数为 .=|n1当 时,关于 的方程 根的个数为 .2cex|l()fx2（22） （本小题满分 13 分）椭圆 的左、右焦点分别是 ,离心率为 ，过 ,且垂直于 轴的直线被2:1(0)xyCab12F31Fx椭圆 截得的线段长为 .（）求椭圆 的方程；（）点 是椭圆 上除长轴端点外的任一点，连接 ,设 的角平分线 交 的长轴P12P12PMC于点 ，求 的取值范围；(,0)Mm（）在（）的条件下，过点 作斜率为 的直线 ，使得 与椭圆 有且只有一个公共点.设直线PkllC的斜率分别为 ，若 ，试证明 为定
17、值，并求出这个定值.12,PF12,k012k解: （）当 代入椭圆方程 ,得 ,由题意知 ,即 .xc2:xyCabba2=1ba2b10所以 , .所以, 椭圆方程 .32cea1b2:14xCy（）设 ,当 时,0()Pxy02x当 时,直线 的斜率不存在,易知 或 .3F(3,)2P(,)2若 ,直线 的方程为 .由题意得 ,1()2140xy|m+3|7由于 ,所以 .3m3若 ,同理可得 .1()2P4当 时,设直线 的方程分别为 .03x12,PF12(3),(3)ykxykx由题意得 ,整理得 .122|3|+mkk2212()mk又 ,且 ,2014xy002,33yykkxx ,即 ,2 220002()4(4)(3)m 034xm又 , ,00,3x且 .整理得 ,所以 .034()()m04xm3,24且综合可得, .2当 时,同理可求得 .0-2x3-0综上所述, 的取值范围是 .(,)()设 ,则直线 的方程为 ,0(,)Pxyl00()ykx由 整理得 .2001.4()ykx2222000(14)8()4(1)kxykx11由题意 .22000=,(4)1xky又 ,201y ,可得 .22000168kx04xky由（）知 , ,0012,33yx012 ,012124()8ykk 为定值，这个定值为 .12
