1、成青数学系列笔记 2010.2.18计数原理和二项式专题排列组合题型总结排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。因而在求解排列组合应用题时，除做到：排列组合分清，加乘原理辩明，避免重复遗漏外，还应注意积累排列组合问题得以快速准确求解。一 直接法1 特殊元素法例 1 用 1，2，3，4，5，6 这 6 个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字 1 不排在个位和千位（2）数字 1 不在个位，数字 6 不在千位。分析：（1）个位和千位有 5 个数字可供选择 ，其余 2 位有四个可供选择 ，由乘法原理： =2405A24A25A42特殊位
2、置法（2）当 1 在千位时余下三位有 =60，1 不在千位时，千位有 种选法，个位有 种，余下的有 ，共有35 141424=192 所以总共有 192+60=2524A2二 间接法 当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法 =252243546A例 2 有五张卡片，它的正反面分别写 0 与 1，2 与 3，4 与 5，6 与 7，8 与 9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？分析：此例正面求解需考虑 0 与 1 卡片用与不用，且用此卡片又分使用 0 与使用 1，类别较复杂，因而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数 个，其中
3、0 在百位的有 个，这是不合335AC24C题意的。故共可组成不同的三位数 - =432（个）3224三 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。例 3 在一个含有 8 个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？分析：原有的 8 个节目中含有 9 个空档，插入一个节目后，空档变为 10 个，故有 =100 中插入方法。109A四 捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。例 4 4 名男生和 3 名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？分析：先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有 种排法，而男生之间又有 种排法，又乘法原理
4、满4A4A足条件的排法有： =5764A练习 1四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有 种（ ）324C成青数学系列笔记 2010.2.182 某市植物园要在 30 天内接待 20 所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观 2 天，其余只参观一天，则植物园 30 天内不同的安排方法有（ ） （注意连续参观 2 天，即需把1928AC30 天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有 其余的就是 19 所学校选 28 天进行排列）129C五 阁板法 名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法例 5 某 校 准 备 组 建
5、 一 个 由 12 人 组 成 篮 球 队 ， 这 12 个 人 由 8 个 班 的 学 生 组 成 ， 每 班 至 少 一 人 ， 名 额 分 配 方 案 共 种 。分析：此例的实质是 12 个名额分配给 8 个班，每班至少一个名额，可在 12 个名额种的 11 个空当中插入 7 块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有 种71C练习 1.(a+b+c+d)15 有多少项？当项中只有一个字母时，有 种（即 a.b.c.d 而指数只有 15 故 。14 014C当项中有 2 个字母时，有 而指数和为 15，即将 15 分配给 2 个字母时，如何分，闸板法一分为 2， 即2 14C214C当
6、项中有 3 个字母时 指数 15 分给 3 个字母分三组即可34C2143C当项种 4 个字母都在时 四者都相加即可1练习 2有 20 个不加区别的小球放入编号为 1，2，3 的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？（ ）2163不定方程 X1+X2+X3+X50=100 中不同的整数解有（ ）49C六 平均分堆问题 例 6 6 本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？分析：分出三堆书（a 1,a2）,(a 3,a4)， （a 5,a6）由顺序不同可以有 =6 种，而这 6 种分法只算一种分堆方式，故 6 本3A不同的书平均分成三堆方式有 =15 种326AC练
7、习：16 本书分三份，2 份 1 本，1 份 4 本，则有不同分法？2某年级 6 个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个班，则分派方法的种数。七 合并单元格解决染色问题例 7 （全国卷（文、理） ）如图 1，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不 得使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种（以数字作答） 。分析：颜色相同的区域可能是 2、3、4、5下面分情况讨论:() 当 2、4 颜色相同且 3、5 颜色不同时，将 2、4 合并成一个单元格，此时不同的着色方法相当于 4 个元素 2,4成青数学系列笔记 2010.2.183,5 2,4 的
8、全排列数 A4（）当 2、4 颜色不同且 3、5 颜色相同时，与情形()类似同理可得 种着色法A4（）当 2、4 与 3、5 分别同色时，将 2、4；3、5 分别合并，这样仅有三个单元格 从 4 种颜色中选 3 种来着色这三个单元格，计有 种方法C34由加法原理知：不同着色方法共有 2 =48+24=72（种）A练习 1（天津卷（文） ）将 3 种作物种植 在如图的 5 块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物 ， 不同的种植方法共 种（以数字作答） （72）2 （江苏、辽宁、天津卷（理） ）某城市中心广场建造一个花圃，花圃 6 分为个部分（如图 3） ，现要栽种 4 种颜色
9、的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话，不同的栽种方法有 种（以数字作答） （120）图 3 图 43如图 4，用不同的 5 种颜色分别为 ABCDE 五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一种颜色可以反复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数 （540 ）4如图 5：四个区域坐定 4 个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是 种（84）图 5 图 65将一四棱锥(图 6)的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则
10、不同的染色方法共 种（420） 八 递推法例八 一楼梯共 10 级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这 10 级楼梯，共有多少种不同的走法？分析：设上 n 级楼梯的走法为 an 种，易知 a1=1,a2=2,当 n2 时，上 n 级楼梯的走法可分两类：第一类：是最后一步跨一级，有 an-1 种走法，第二类是最后一步跨两级，有 an-2 种走法，由加法原理知：a n=an-1+ an-2,据此，a3=a1+a2=3,a4=a#+a2=5,a5=a4+a3=8,a6=13,a7=21,a8=34,a9=55,a10=89.故走上 10 级楼梯共有 89 种不同的方法。九.几何问题1 2 3
11、4 5546 132EDCBA4321DBCEA成青数学系列笔记 2010.2.181四面体的一个顶点位 A,从其它顶点与各棱中点取 3 个点，使它们和点 A 在同一平面上，不同的取法有 种（3 +3=33）5C2.四面体的棱中点和顶点共 10 个点（1）从中任取 3 个点确定一个平面，共能确定多少个平面？( -4 +4-3 +3-6C +6+26=29)310634(2)以这 10 个点为顶点，共能确定多少格凸棱锥？ 三棱锥 C104-4C64-6C44-3C44=141 四棱锥 644=96 36=18 共有 114十 先选后排法例 9 有 甲 乙 丙 三 项 任 务 ， 甲 需 2 人
12、承 担 ， 乙 丙 各 需 1 人 承 担 ， 从 10 人 中 选 派 4 人 承 担 这 三 项 任 务 ， 不 同 的 选 派 方 法 有 （ ）A.1260 种 B.2025 种 C.2520 种 D.5054 种分析：先从 10 人中选出 2 人十一用转换法解排列组合问题例 10某人连续射击 8 次有四次命中，其中有三次连续命中，按 “中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种解 把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题 =20 种25A例 11 个人参加秋游带 10 瓶饮料，每人至少带 1 瓶，一共有多少钟不同的带法解 把问题转化为 5 个相同的白球
13、不相邻地插入已经排好的 10 个相同的黑球之间的 9 个空隙种的排列问题 =126 种59C例 12 从 1，2，3，1000 个自然数中任取 10 个不连续的自然数，有多少种不同的去法解 把稳体转化为 10 个相同的黑球与 990 个相同白球，其其中黑球不相邻的排列问题。 109例 13 某城市街道呈棋盘形，南北向大街 5 条，东西向大街 4 条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种解 无论怎样走必须经过三横四纵，因此，把问题转化为 3 个相同的白球与四个相同的黑球的排列问题 =35（种）37C例 14 一个楼梯共 18 个台阶 12 步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，
14、一共有多少种不同的走法解 根据题意要想 12 步登完只能 6 个一步登一个台阶，6 个一步登两个台阶，因此，把问题转化为 6 个相同的黑球与6 个相同的白球的排列问题 =924（种） 12C例 15 求（a+b+c） 10 的展开式的项数解 展开使的项为 abc,且 +=10，因此，把问题转化为 2 个相同的黑球与 10 个相同的白球的排列问题 =66（种）21C例 16 亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有 5 名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由 1 号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方 2 号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程那么所有可能出现的比赛过程有多少种？解
15、 设亚洲队队员为 a1,a2，,a 5,欧洲队队员为 b1，b 2，b 5，下标表示事先排列的出场顺序，若以依次被淘汰的队员为顺序比赛过程转化为这 10 个字母互相穿插的一个排列，最后师胜队种步被淘汰的队员和可能未参加参赛的队员，所以比赛过程可表示为 5 个相同的白球和 5 个相同黑球排列问题，比赛过程的总数为 =252（种）610C成青数学系列笔记 2010.2.18十二转化命题法例 17 圆周上共有 15 个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少各？分析：因两弦在圆内若有一交点，则该交点对应于一个以两弦的四端点为顶点的圆内接四边形，则问题化为圆周上的 15个不同的点能
16、构成多少个圆内接四边形，因此这些现在圆内的交点最多有 =1365（个）415C十三概率法例 18 一天的课程表要排入语文、数学、物理、化学、英语、体育六节课，如果数学必须排在体育之前，那么该天的课程表有多少种排法？分析：在六节课的排列总数中，体育课排在数学之前与数学课排在体育之前的概率相等，均为 ，故本例所求的排法种21数就是所有排法的 ，即 A=360 种21十四除序法 例 19 用 1，2，3，4，5，6，7 这七个数字组成没有重复数字的七位数中，（1）若偶数 2，4，6 次序一定，有多少个？（2）若偶数 2，4，6 次序一定，奇数 1，3，5，7 的次序也一定的有多少个？ 解（1） （2
17、）37A437十五错位排列例 20 同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的卡片，则不同的分配方法有 种（9 ）公式 1） n=4 时 a4=3(a3+a2)=9 种 即三个人有两种错排，两个人有一种错排)(21nnaa2） =n!(1- + - +!23!练习 有五位客人参加宴会，他们把帽子放在衣帽寄放室内，宴会结束后每人戴了一顶帽子回家，回家后，他们的妻子都发现他们戴了别人的帽子，问 5 位客人都不戴自己帽子的戴法有多少种？（44）计数原理 练习题1从集合 0，1，2，3，4， 5，6 中任取两个互不相等的数 a， b组成复数 abi，其中虚数有（ ）A30 个 B4
18、2 个 C36 个 D35 个2如图，用 4 种不同的颜色涂入 图中的矩形 A，B，C，D 中，要求邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有（ ）A72 种 B48 种 C24 种 D12 种3教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有（ ）成青数学系列笔记 2010.2.18A10 种 B 52种 C 25种 D 42种4一件工作可以用 2 种方法完成，有 3 人会用第 1 种方法完成，另外 5 人 会用第 2 种方法完成，从中选出 1 人来完成这件工作，不同选法的种数是（ ）A8 B15 C16 D305从甲地去乙地有 3 班火车，从乙地去丙地有 2 班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅
19、行方式有（ ）A5 种 B6 种 C7 种 D8 种6如图所示为一电路图，从 A 到 B 共有（ ）条不同的线路可通电.A1 B2 C3 D47由数字 0，1，2，3，4 可组成无重复数字的两位数的个数是（ ）A25 B20 C16 D128李芳有 4 件不同颜色的衬衣，3 件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙 “五一”节 需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳有（ ）种不同的选择方式.A 24 B14 C 10 D99设 A，B 是两个非空集合，定义 ，若 ， ()ABabAB，| 01234PQ，则 P*Q 中元素的个数是（ ） 来源: 学科网A4 B7 C12 D1610某商业大厦有东
20、南西 3 个大门，楼内东西两侧各有 2 个楼梯，从楼外到二楼的不同走法种数是（ ）A 5 B7 C10 D12113 科老师都布置了作业，在同一时刻 4 名学生都做作业的可能情况有（ ）A4 3 种 B3 4 种 C432 种 D 123 种来源:学。科。网12把 4 张同样的参观券分给 5 个代表，每人最多分一张，参观券全部分完，则不同的分法共有（ ）A120 种 B1024 种 C625 种 D5 种13已知集合 M=l，2，3 ，N= 4， 5，6，7 ，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是（ ）A18 B17 C16 D1
21、0 来源:学+科+网14如图，某城市中，M、N 两地有整齐的道路网，若规定只能向东 或向北两个方向沿途中路线前进，则从 M 到 N 不同的走 法共有（ ）A25 B15 C13 D10 来源:学科网 ZXXK成青数学系列笔记 2010.2.1815把 10 个苹果分成三堆，要求每堆至少 1 个，至多 5 个，则不同的分法共有（ ） A4 种 B5 种 C6 种 D7 种16三边长均为正整数，且最大边长为 11 的三角形的个数为（ ）A25 B 26 C36 D3717如图，从 AC，有 种不同走法 18将三封信投入 4 个邮箱，不同的投法有 种19某书店有不同年级的语文、数学、英语练习册各 1
22、0 本，买其中一种有 种方法；买其中两种有 种方法20大小不等的两个正方形玩具，分别在各面上标有数字 1，2，3，4，5，6， 则向上的面标着的两个数字之积不少于 20 的情形有 种21从 1，2，3，4，7，9 中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，可得到 个不同的对数值来源:学科网22某班宣传小组要出一期向英雄学习的专刊，现有红、黄、白、绿、蓝 五种颜色的粉笔供选用，要求在黑板中 A、B、C、D 每一部分只写一种 颜色，如图所示，相邻两块颜色不同，则不同颜色 的书写方法共有 种23平面内有 7 个点，其中有 5 个点在一条直线上，此外无三点共线，经过这 7 个点可连成不同直线的条
23、数是 24圆周上有 2n个等分点（ 1n） ，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 25椭圆 1xym的焦点在 y 轴上，且 123451234567mn， ，则这样的椭圆的个数为 26多项式 展开后共有 项 123124534()()()abab27整数 630 的正约数（包括 1 和 630）共有 个28商店里有 15 种上衣，18 种裤子，某人要买一件上衣或一条裤子，共有 种不同的选法；要买上衣，裤子各一件，共有 种不同的选法29电子计算机的输入纸带每排有 8 个穿孔位置，每个穿孔位置可穿孔或不穿孔，则每排可产生 种不同的信息30十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有 种行车 路线D
24、CBA成青数学系列笔记 2010.2.1831某校学生会由高一年级 5 人，高二年级 6 人，高三年级 4 人组成 （1）选其 中 1 人 为学生会主 席，有多少种不同的选法？ （2）若每年级选 1 人为校学生会常委，有多少种不同的选法？ （3）若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？32已知集合 是平面上的点， 来源:Zxxk.Com3210()MPab， abM，（1） 可表示平面上多少个不同的点？()Pab，（2） 可表示多少个坐标轴上 的点？ 33有红、黄、蓝三种颜色旗子各 (3)n面，任取其中三面，升上旗杆组成纵列信号，可以有多少种不同的信号？若所升旗子中不允许
25、有三面相同颜色的旗子，可以有多少种不同的信号？若所升旗子颜色各不相同，有多少种不 同的信号？34某出版社的 7 名工人中，有 3 人只会排版，2 人只会印刷，还有 2 人既会排版又会印刷， 现从7 人中安排 2 人排版，2 人印刷，有几种不同的安排方法成青数学系列笔记 2010.2.1835用 0，1，2，3，4，5 六个数字组成无重复数字的四位数，比 3410 大的四位数有多少个？ 36甲、乙两个正整数的最大公约数为 60，求甲、乙两数的公约数共有多个？37从3，2，1，0， l，2，3中，任取 3 个不同的数作为抛物线方程 y=ax2bxc（a0）的系数，如果抛物线过原点，且顶点在第一象限
26、，这样的抛物线共有多少条？38电视台在“欢乐今宵” 节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的群众来信，甲信箱中有 30 封，乙信箱中有 20 封现由主持人抽奖确定幸运观众，有多少种不同的结果？若先确定 一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？参考答案：116 CADA BDCB CDBD BBAC17、 6 18、 19、 30；300 20、 5 21、 17 22、1803423、 12 24、 2(1)n 来源 25、 20 26、 10 27、 24 28、33，27029、 256 30、 12 成青数学系列笔记 2010.2.1831、解：（
27、1） 种； （2） 种；（3） 种5641N564120N56457N32、解：（1）完成这件事分为两个步骤： a 的取法有 6 种， b 的取法也 有 6 种， P 点个数为 N=66=36(个)； （2）根据分类加法计数原理，分为三类： x 轴上（不含原点）有 5 个点； y 轴上（不含原点）有 5 个点； 既在 x 轴，又在 y 轴上的点，即原点也适合， 共有 N=5+5+1=11（个） 33、解： 1=333=27 种； 2734种； 3216N 种34、解：首先分类的标准 要正确，可以选择“只会 排版” 、 “只会印刷” 、 “既会排版又会印刷”中的一个作为分类的标准下面选择“既会排
28、版又会印刷”作为分类的标准，按照被选出的人数，可将问题分为三类： 第一类：2 人全不被选出，即从只会排版的 3 人中选 2 人，有 3 种选法；只会印刷的 2 人全被选出，有 1 种选法，由分步计数原理知共 有 31=3 种选法 第二类：2 人中被选出一人，有 2 种选法若此人去排版，则再从会排版的 3 人中选 1 人，有 3种选法，只会印刷的 2 人全被选出，有 1 种选法，由分步计数原理知共有 231=6种选法；若此人去印刷，则再从会印刷的 2 人中选 1 人，有 2 种选法，从会排版的 3人中选 2 人，有 3 种选法，由分 步计数原 理知共有 232=12 种选法；再由分类计数原理知共
29、有 6+12=18 种选法 第三类：2 人全被选出，同理共有 16 种选法 所以共有 3+18+16=37 种选法来源:学科网35、解：本题可以从高位到低位进行分类 来源:Z.xx.k.Com（1）千位数字比 3 大（2）千位数字为 3： 百位数字比 4 大； 百位数字为 4： 1十位数字比 1 大； 2十位数字为 1 个位数字比 0 大 所以比 3410 大的四位数共有 2543+43+23+2=140（个） 36、37、38、例说二项式定理的常见题型及解法二项式定理的问题相对较独立，题型繁多，解法灵活且比较难掌握。二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布
30、有着密切联系。二项式定理在每年的高考中基本上都有考到，题型多为选择题，填空题，偶尔也会有大题出现。本文将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下，希望能够起到抛砖引玉的作用。一、求二项展开式成青数学系列笔记 2010.2.181 “ ”型的展开式nba)(例 1求 的展开式；413x解：原式= =4)(24)(= )3()()3(1 442414042 CCxxx = 158(2= 122x小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。2 “ ”型的展开式nba)(例 2求 的展开式；413x分析：解决此题，只需
31、要把 改写成 的形式然后按照二项展开式的格式展开即可。4)13(x4)1(3x本题主要考察了学生的“问题转化”能力。3二项式展开式的“逆用”例 3计算 ；cCnnn3)1(.27913解：原式= nnnnn )2(31().)()( 310 小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。二、通项公式的应用1确定二项式中的有关元素例 4已知 的展开式中 的系数为 ，常数 的值为 9)2(xa3x49a解：92392991 )1()() rrrrrr xCxCT令 ，即328依题意，得，解得49)1(8489a1a2确定二项展开式的常数项成青数学系列笔记 2010.2.18
32、例 5 展开式中的常数项是 103)(x解： rrrrrr xCxCT65103101 )() 令 ，即 。656所以常数项是 210)(3求单一二项式指定幂的系数例 6 （03 全国） 展开式中 的系数是 ；92)(x9解： = =rrrrTC191 rrxx)1(2189xrC3189)2(令 则 ，从而可以得到 的系数为：,38， 填2)(9三、求几个二项式的和（积）的展开式中的条件项的系数例 7 的展开式中， 的系数等于 543)1()()1()(1xxx 2x解： 的系数是四个二项展开式中 4 个含 的，则有2 220)()()()()( 35241302351302 CCC例 8
33、（02 全国） 的展开式中， 项的系数是 ；72x（ x解：在展开式中， 的来源有：3 第一个因式中取出 ，则第二个因式必出 ，其系数为 ；2xx67)2( 第一个因式中取出 1，则第二个因式中必出 ，其系数为34C的系数应为： 填 。3x,108)2()(4767C四、利用二项式定理的性质解题1 求中间项例 9求（ 的展开式的中间项；103)x解： 展开式的中间项为,)()3101rrrr xT53510)(xC成青数学系列笔记 2010.2.18即： 。652x当 为奇数时， 的展开式的中间项是 和 ；nnba)(2121nnbaC2121nba当 为偶数时， 的展开式的中间项是 。n2
34、求有理项例 10求 的展开式中有理项共有 项；103)(x解： 3410103101 )()() rrrrrr xxTC当 时，所对应的项是有理项。故展开式中有理项有 4 项。9,6 当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式； 当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么这个代数式是无理式。3 求系数最大或最小项（1） 特殊的系数最大或最小问题例 11 （00 上海）在二项式 的展开式中，系数最小的项的系数是 ；1)(x解： rrrTC11要使项的系数最小，则 必为奇数，且使 为最大，由此得 ，从而可知最小项的系数为Cr15r462)(51（2） 一般
35、的系数最大或最小问题例 12求 展开式中系数最大的项；84)1(x解：记第 项系数为 ，设第 项系数最大，则有rrTk又 ，那么有1kT182.rrCkk.2.8182即 )!8(2)!9.(1210.!)!( KK成青数学系列笔记 2010.2.18K192解得 ，43k系数最大的项为第 3 项 和第 4 项 。257xT27xT（3） 系数绝对值最大的项例 13在（ 的展开式中，系数绝对值最大项是 ；7)yx解：求系数绝对最大问题都可以将“ ”型转化为 型来处理，nba)(“)(nba故此答案为第 4 项 ，和第 5 项 。437yxC527yx五、利用“赋值法”求部分项系数，二项式系数和
36、例 14若 ，432104)2( aax则 的值为 ；3240)(a解： 43210)3( xxx令 ，有 ，143242aa令 ，有x )()()( 310故原式= .4243210a= 4).()(= 在用“赋值法”求值时，要找准待求代数式与已知条件的联系，一般而言： 特殊值在解题过程中考虑的比较0,1多。例 15设 ，0156.)12( axax则 ；620.a分析：解题过程分两步走；第一步确定所给绝对值符号内的数的符号；第二步是用赋值法求的化简后的代数式的值。解： rrrxTC)1(61654320620. aaaa = )()(1642成青数学系列笔记 2010.2.18=0六、利用
37、二项式定理求近似值例 16求 的近似值，使误差小于 ；698.001.分析：因为 = ，故可以用二项式定理展开计算。6)2.1(解： = =6. 621 )02.(.)0.(5).( ，1605)0.(22263 CT且第 3 项以后的绝对值都小于 ，.从第 3 项起，以后的项都可以忽略不计。= =698.06)2.1()2.(98.0.1小结：由 ，当 的绝对值与 1 相比很小且 很大时，nnn xxxC)21 n等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此可以用近似计算公式：x,.32，在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍，若精确度要n
38、x1)(求较高，则可以使用更精确的公式： 。2)1(1)(xnxn利用二项式定理求近似值在近几年的高考没有出现题目，但是按照新课标要求，对高中学生的计算能力是有一定的要求，其中比较重要的一个能力就是估算能力。所以有必要掌握利用二项式定理来求近似值。七、利用二项式定理证明整除问题例 17求证： 能被 7 整除。15证明： 1= )249(5= 1249.249 550151501051 CC=49P+ （ ）NP又 )2(17351=（7+1） 7= 17 1615271610 =7Q（Q ）N)(715QP成青数学系列笔记 2010.2.18能被 7 整除。15在利用二项式定理处理整除问题时，要巧妙地将非标准的二项式问题化归到二项式定理的情境上来，变形要有一定的目的性，要凑 出相关的因数。
