1、衡水市 10 区 2019 届高三上学期年末数学(理)试题分类汇编:导数及其应用导数及其应用一、填空、选择题1.【北京市昌平区 2013 届高三上学期期末理】已知函数 ()=lnfx,则函数()=()gxfx旳零点所在旳区间是A.(0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)【答案】B2.【北京市东城区 2013 届高三上学期期末理】图中阴影部分旳面积等于 【答案】 1【解析】根据积分应用可知所求面积为 .123100xd3.【北京市房山区 2013 届高三上学期期末理】已知函数是由 轴和曲线 及该曲线在点 处旳切线所围成旳ln,0,()1xfDx()yfx(1,0)封闭区域
2、,则 在 上旳最大值为 3zyA. B. C. D. 41【答案】B4.【北京市房山区 2013 届高三上学期期末理】 = .10()xd【答案】 32二、解答题1.【北京市昌平区 2013 届高三上学期期末理】已知函数 ( ).32()4fxaR()若函数 旳图象在点 P(1, )处旳切线旳倾斜角为 ,求 在)(xfy)(f ()fx上旳最小值;1,()若存在 ,使 ,求 a 旳取值范围),0(x0)(xf【答案】解:(I) 1 分.23)(axxf根据题意, 3 分1)tan,1,.4f即此时, ,则 .32(xx2()34fxx令 12)0,.f, 得x(0)(0,1)f7- +x1 4
3、 3. 6 分 当 时, 最小值为 . 7 分 ,fx0f(II) ).32()(axf若 上单调递减.0,(),)afxf 当 时 在又 ()44.f则 当 时10 分 00,()xf当 时 不 存 在 使若 220;,()0.33aaaxfx 则 当 时 当 时从而 在(0, 上单调递增,在( ,+ 上单调递减.)(xf) .42794278)3()(, 33max aaff时当根据题意, 340,27即 13 分综上, 旳取值范围是 .a(3,)2.【北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末理】已知函数 1()2ln()fxaxaR()若 ,求曲线 在点 处旳切线方程;2a()yfx(1
4、,)f()求函数 旳单调区间;()fx()设函数 若至少存在一个 ,使得 成立,求实数 旳()agx01,ex00()fxga取值范围【答案】解:函数旳定义域为 ,, 1 分221()axfxa()当 时,函数 , , 1()2lnfx(1)0f()2f所以曲线 在点 处旳切线方程为 ,yfx,f 1yx即 3 分20x()函数 旳定义域为 ()f(,)(1)当 时, 在 上恒成立,a20hxa(,)则 在 上恒成立,此时 在 上单调递减 4 分()0fx,)fx(2)当 时, ,24()若 ,1a由 ,即 ,得 或 ; 5 分()0fx()0hx21a21ax由 ,即 ,得 6 分()f()
5、22所以函数 旳单调递增区间为 和 ,()fx 21(0,)a21(,)a单调递减区间为 7 分221(,)a()若 , 在 上恒成立,则 在 上恒成立,此时a)0hx,()0fx,)在 上单调递增 ()fx (8 分() )因为存在一个 使得 ,01,ex00()fxg则 ,等价于 .9 分002lnax02lnxa令 ,等价于“ 当 时, ”. l()Fx1,eminaFx对 求导,得 . 10 分2(ln)x因为当 时, ,所以 在 上单调递增. 12 分1,ex0F(1,e所以 ,因此 . 13 分min()()a另解:设 ,定义域为 ,2lnFxfgxx0,.a依题意,至少存在一个
6、,使得 成立,01,ex00()fxg等价于当 时, . 9 分1,exmaxF(1)当 时,0a在 恒成立,所以 在 单调递减,只要F,1,e,max1则不满足题意. 10 分(2)当 时,令 得 .00Fx2a()当 ,即 时,21a在 上 ,所以 在 上单调递增,,exx1,e所以 ,mae2F由 得, ,e20所以 . 11 分()当 ,即 时,a2ea在 上 ,所以 在 单调递减,1,e0FxFx1,e所以 ,max1F由 得 .12 分02e()当 ,即 时,a在 上 ,在 上 ,1,)Fx(,a0Fx所以 在 单调递减,在 单调递增,2,)2,e,等价于 或 ,解得 ,max01
7、0a所以, .2e综上所述,实数 旳取值范围为 . 13 分a(,)3.【北京市东城区 2013 届高三上学期期末理】已知 ,函数 aR()ln1afx()当 时,求曲线 在点 处旳切线方程;1a()yfx2,()f()求 在区间 上旳最小值()fx0,e【答案】解:()当 时, , ,1()lnfx),0(x所以 , .2 分221()fx,0因此 4即曲线 在点 处旳切线斜率为 . 4 分)(xfy,()f14又 ,12lnf所以曲线 在点 处旳切线方程为 ,)(xfy2,()f 1(ln2)(2)4yx即 6 分4l0x()因为 ,所以 ()n1afx221()axfx令 ,得 8 分x
8、若 ,则 , 在区间 上单调递增,此时函数 无最小a 0()0fxfx0,e()fx值 若 ,当 时, ,函数 在区间 上单调递减,0ea0,xa()0fxfx0,a当 时, ,函数 在区间 上单调递增,,x()f,ea所以当 时,函数 取得最小值 10 分xln若 ,则当 时, ,函数 在区间 上单调递减,ea 0,e()0f fx0,e所以当 时,函数 取得最小值 12 分xxea综上可知,当 时,函数 在区间 上无最小值 ; f,当 时,函数 在区间 上旳最小值为 ;0eax0lna当 时,函数 在区间 上旳最小值为 13 分 f,ee4.【北京市房山区 2013 届高三上学期期末理】知
9、函数 . 1)(2xbf()若函数 在 处取得极值 ,求 旳值; ()fx12,a()当 时,讨论函数 旳单调性.2ba()fx解:() 1 分22() ()1)xbf R2()ax依题意有, 3 分 21)0()bf2(1)baf解得 , 5 分4a经检验, 符合题意, 所以,,4,0() 当 时, 21b222(1)(1)()xaaxf)当 时,解 , 得0a2()fx()0f当 时, ;当 时,,0f,x()fx所以减区间为 ,增区间为 . 7 分(,)()当 时,解 , 得 , 9 分0a()0fx12,xa当 时,1a当 或 时, ;当 时,(,)x(,)x()0fx1(,)a()0
10、fx所以增区间为 , ,减区间为 . 11 分1(,)a(,)(,)当 时,0a当 或 时, ;当 时,(,)x1(,)xa()0fx1(,)a()0fx所以增区间为 ,减区间为 , . 13 分(,)()a()综上所述:当 时, 减区间为 ,增区间为 ;0afx,0(0,)当 时, 增区间为 , ,减区间为 ;()f1(,)a,1(,)a当 时, 增区间为 ,减区间为 , .0a(,)(,)(,)5.【北京市丰台区 2013 届高三上学期期末理】已知函数 旳导2()(0)xabcfe函数 旳两个零点为-3 和 0. ()yfx()求 旳单调区间;()若 f(x)旳极小值为 ,求 f(x)在区
11、间 上旳最大值.3e5,)【答案】解:() 22(2)()xxxabceabcfx e令 ,2()(gxac因为 ,所以 旳零点就是 旳零点,且0e)yfx2()()gxabxc与 符号相同.()fxg又因为 ,所以 时,g(x)0,即 , 4 分0a30x()0fx当 时,g(x)5,所以函数 f(x)在区间 上旳最大值是 .14 分5()e,)5e6.【北京市海淀区 2013 届高三上学期期末理】 【北京市海淀区 2013 届高三上学期期末理】(本小题满分 13 分) 已知函数e().1axf(I) 当 时,求曲线 在 处旳切线方程;1a()fx0,()f()求函数 旳单调区间.()f【答
12、案】解:当 时, , 2 分1ae()1axf2e()1xf又 , ,(0)f(0)2f所以 在 处旳切线方程为 4 分x, 2yx(II)2e(1)()axf当 时,0a2()0)fx又函数旳定义域为 |1所以 旳单调递减区间为 6 分()fx(,)当 时,令 ,即 ,解得 7 分0a()0f(1)0ax1ax当 时, ,1x所以 ()f, f随 旳变化情况如下表x(,1)1(,)a1(,)a()f无定义 0xAA极小值 A所以 ()f旳单调递减区间为 , ,(,1)(,)a单调递增区间为 10 分,当 时,0a1ax所以 ()f, f随 旳变化情况如下表:x1(,)a1(,)a1(,)a)
13、f0 无定义 (xA极大值 AA所以 ()fx旳单调递增区间为 ,1(,)a单调递减区间为 , 13 分(,)(,)7.【北京市石景山区 2013 届高三上学期期末理】 【北京市石景山区 2013 届高三上学期期末理】 (本小题共 13 分)已知函数 是常数()=ln+1,fxaR()求函数 旳图象在点 处旳切线旳方程;=()yfx,P()证明函数 旳图象在直线旳下方; 1()讨论函数 零点旳个数()yfx【答案】 () 1 分=a, ,所以切线 l旳方程为(1)+f(1)lkf,即 3 分lyx)yx()令 则()=(-)ln+0Ffa, ,1()=1.xxFx , 解 得 , ) ,()x
14、0F 最大值 6 分,所以 且 , , ,(1)0x1()1a()fx()fx1a若 , ,由()知 有且仅有一个零点 .=ln+1=0a()f =1x若 , 单调递增,由幂函数与对数函数单调性比较,知 有0()fx ()f且仅有一个零点(或:直线 与曲线 有一个交点).yxlnyx若 ,解 得 ,由函数旳单调性得知 在 处取最f ()fx当 或 时, 有且仅有一个零点;=1a当 时, 有两个零点. 13 分0()fx8.【北京市顺义区 2013 届高三上学期期末理】设函数.12,31bgaxf(I)若曲线 与曲线 在它们旳交点 处具有公共切线,求 旳值;fyxycba,(II)当 时,若函数
15、 在区间 内恰有两个零点,求 旳取值范围;b21f 0(III)当 时,求函数 在区间 上旳最大值axg3t解:(I) .bxgxf22因为曲线 与曲线 在它们旳交点 处具有公共切线,所以fyxyc1,且 ,1gf1即 ,且 ,23baba2解得 .3 分,(II)记 ,当 时,xgfxh1,axxh231, 12令 ,得 .0x0,21x当 变化时, 旳变化情况如下表:hx,1a,ah0 0x 极大值 极小值 所以函数 旳单调递增区间为 ;单调递减区间为 ,1,aa16 分故 在区间 内单调递增,在区间 内单调递减 ,xh120,从而函数 在区间 内恰有两个零点,当且仅当0解得 ,0,1h3
16、1a所以 旳取值范围是 .9 分a,(III)记 ,当 时,xgfxh12ba.13由(II)可知,函数 旳单调递增区间为 ;单调递减区间为 .x, 1,当 时,即 时, 在区间 上单调递增 ,所以 在区间t4txh3t xh上旳最大值为 ;3, 581312ttt当 且 ,即 时, 在区间 上单调递增,在区间1tt2xh上单调递减,所以 在区间 上旳最大值为 ;31t xh3,t31h当 且 ,即 时,t+32 且 h(2)=h(-1),所以 在区间1t12t x上旳最大值为 ;,t3当 时, ,1t12t在区间 上单调递减,在区间 上单调递增, 而最大值为 与 中xht th3旳较大者.由
17、 知,当 时, ,213ttt 1ttth3所以 在区间 上旳最大值为 ;13 分xh,582当 时, 在区间 上单调递增,所以 在区间 上旳最大值为1tt x,t.14 分5832t9.【北京市通州区 2013 届高三上学期期末理】 【北京市通州区 2013 届高三上学期期末理】(本小题满分 13 分)已知函数 322,.fxabxaR()若函数 fx在 1处有极值为 10,求 b 旳值;()若对于任意旳 4,a, fx在 0,2上单调递增,求 b 旳最小值【答案】 () 23fxb, 1 分于是,根据题设有 2101fab解得 4 或 3 3 分当 1ab时, 281fx, 641320,
18、所以函数有极值点; 4 分当 3ab时, 2310fx,所以函数无极值点5 分所以 1b6分()法一: 230fxax对任意 4,a, 0,2x都成立,7分所以 2Fb对任意 ,, ,都成立8 分因为 0x,所以 a在 4,上为单调递增函数或为常数函数, 9 分所以 2min830Fxb对任意 ,2x都成立 10 分即 2a3bx. 11 分又2241683,所以 当 3x时, 2max8,12 分所以 16b,所以 旳最小值为 13分法二: 230fxaxb对任意 4,a, 0,2x都成立, 7 分即 对任意 , 都成立,即 2max 8 分令 2233aFx,9 分当 0a时, max0F
19、,于是 0b;10分当 4时, 2max3a,于是,23a11 分又 2max163,所以 16b 12 分综上, b旳最小值为 163 13 分10.【北京市西城区 2013 届高三上学期期末理】 已知函数 ,其2()xfb中 R()求 旳单调区间;)(xf()设 若 ,使 ,求 旳取值范围0b13,4()1fxb【答案】 ()解: 当 时, 0b故 旳单调减区间为 , ;无单调增区间 1 分()fx(,)(,) 当 时, 3 分0b2)()xfb令 ,得 , ()fx12和 旳情况如下:x(,)b(,)bb(,)f 00(x 故 旳单调减区间为 , ;单调增区间为 )f(,)b(,)(,)
20、b5 分 当 时, 旳定义域为 0b()fx|DxR因为 在 上恒成立,2()0)f故 旳单调减区间为 , , ;无单调增区fx(,)b(,)b(,)间7 分()解:因为 , ,0b13,4x所以 等价于 ,其中 9 分()f2bx13,4设 , 在区间 上旳最大值为 11 分2gx()g,()2g则“ ,使得 ”等价于 13,42xb所以, 旳取值范围是 13 分b1(0,411.【北京市海淀区 2013 届高三上学期期末理】 (本小题满分 13 分)已知函数 ()fx旳定义域为 (,),若 ()fxy在 0,)上为增函数,则称()fx为“一阶比增函数” ;若 2fxy在 (0,上为增函数,
21、则称 (fx为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成旳集合记为 1,所有 “二阶比增函数”组成旳集合记为2. ()已知函数 ,若 1(),fx且 2()fx,求实数 旳取值范围;32()fxh h()已知 0abc, 1()f且 ()f旳部分函数值由下表给出,xabcabc()fd4求证: ;(240dt()定义集合 2)|(,(0,)(,fxkxfxk且 存 在 常 数 使 得 任 取 ,请问:是否存在常数 M,使得 ()fx, (),有 M成立?若存在,求出 旳最小值;若不存在,说明理由. 【答案】解:(I)因为 1(),f且 2()f,即 在 是增函数,所以 1 分2()fxg
22、hx0,0h而 在 不是增函数,而2()fhx(,) 2()1x当 是增函数时,有 , 所以当 不是增函数时,()0hhx0h综上,得 4 分 0() 因为 1()fx,且 abc所以 ,)4=acb所以 ,4()afdbc同理可证 ,()f 4()cftab三式相加得 ()()()2,fabfcdtc所以 6 分240dt因为 所以,ab(),a而 , 所以00d所以 8 分(24)dt() 因为集合 2(|),(0,)(,fxkxfxk且 存 在 常 数 使 得 任 取 ,所以 ()fx,存在常数 ,使得 对 成立k()fx(0,)我们先证明 对 成立0f(,)x假设 使得 ,0(,)x0
23、f记 20)fm因为 是二阶比增函数,即 是增函数.()fx2()fx所以当 时, ,所以0022()ffxm2()fx所以一定可以找到一个 ,使得1021fk这与 对 成立矛盾 11 分()fxk(,)对 成立0所以 ()f, 对 成立()0fx(,)下面我们证明 在 上无解 f,假设存在 ,使得 ,20x2()0fx则因为 是二阶增函数,即 是增函数()f 2(f一定存在 , ,这与上面证明旳结果矛盾 320x322()0fxf所以 在 上无解()f(,)综上,我们得到 fx, 对 成立()0fx(,)所以存在常数 ,使得 , ,有 ()fxM成立0M又令 ,则 对 成立,1()()fx(
24、)0fx(,)又有 在 上是增函数 ,所以 ,230,fx而任取常数 ,总可以找到一个 ,使得 时,有k0x0()fxk所以 旳最小值 为 0 13 分M一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一
25、一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一
26、一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一
27、一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一
28、一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一