2019高考数学二轮练习精品教学案专项06平面向量(教师版).doc-道客多多

资源描述

1、2019 高考数学二轮练习精品教学案专项 06 平面向量（教师版）【2018 考纲解读】1. 理解平面向量的概念与几何表示、两个向量相等的含义;掌握向量加减与数乘运算及其意义; 理解两个向量共线的含义,了解向量线性运算的性质及其几何意义.2了解平面向量的基本定理及其意义;掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 ;会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算;理解用坐标表示的平面向量共线的条件.3理解平面向量数量积的含义及其物理意义;了解平面向量数量积与向量投影的关系 ;掌握数量积的坐标表达式, 会进行平面向量数量积的运算 ;能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 【知

2、识络构建】【重点知识整合】1平面向量的基本概念2共线向量定理向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数，使 b a.如果向量a( x1， y1)，b ( x2，y 2)，则 ab 的充要条件是 x1y2x 2y1 或者 x1y2x 2y10，即用坐标表示的两个向量平行的充要条件是它们坐标的交叉之积相等当其中一个向量的坐标都不是零时，这个充要条件也可以写为，即对应坐标的比值相等x2x1 y2y13平面向量基本定理对于任意 a，若以不共线的向量 e1，e 2 作为基底，则存在唯一的一组实数对，使ae 1e 2.4向量的坐标运算a(x 1， y1)，b ( x2，y 2)，则

3、ab(x 1x 2，y 1y 2)，ab(x 1x 2，y 1y 2)，a( x1，y 1)5数量积(1)已知 a，b 的夹角为a，b(0，)，则它们的数量积为 ab| a|b|cos，其中|b |cos 叫做向量 b 在 a 方向上的投影，向量的数量积满足交换律、数乘结合律和分配律，但不满足结合律，即 a(bc)(ab)c；(2)若 a(x 1，y 1)，b(x 2，y 2)，则 abx 1x2y 1y2；(3)两非零向量 a，b 的夹角公式为 cos ；ab|a|b| x1x2 y1y2x21 y21x2 y2(4)|a|2aa. (5)两个向量垂直的充要条件就是它们的数量积等于零【高频考

4、点突破】考点一向量的有关概念和运算(1)零向量模的大小为 0，方向是任意的，它与任意向量都共线，记为 0.(2)长度等于 1 个单位长度的向量叫单位向量，与 a 同向的单位向量为 .a|a|(3)方向相同或相反的向量叫共线向量( 平行向量)例 1、已知关于 x 的方程： x2 2x 0( xR)，其中点 C 为直线 AB 上一点，O 是直线 AB 外一点，则以下结论正确的选项是 ( )A点 C 在线段 AB 上B点 C 在线段 AB 的延长线上且点 B 为线段 AC 的中点C点 C 在线段 AB 的反向延长线上且点 A 为线段 BC 的中点D以上情况均有可能【方法技巧】解决向量的有关概念及运

5、算问题要注意以下几点 (1)正确理解向量的基本概念； (2)正确理解平面向量的基本运算律，abba，abba， ab( ab)与 a(bc)(ab)c； (3)相等向量、相反向量、单位向量、零向量，在概念考查中一定要重视，如有遗漏，则会出现错误. 考点二平面向量的数量积1 两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两个向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值确定2求非零向量 a，b 的夹角一般利用公式 cosa，b 先求出夹角的余弦值，ab|a|b|然后求夹角；向量 a 在向量 b 方向上的投影为 .ab|b|【方法技巧】(1)准确利用两向量的夹角公式 cosa，b 及

6、向量模的公式|a| .ab|a|b| aa(2)在涉及数量积时，向量运算应注意：ab0，未必有 a0，或 b0；|ab |a|b|；a(bc)与(ab)c 不一定相等.考点三平面向量与三角函数的综合应用通过对向量的运算把问题转化为求三角函数的值、最值或研究三角函数的性质等问题，是高考中经常出现的题型例 3.已知向量 a(cos，sin )，b(cos，sin )，c(1,0)(1)求向量 bc 的长度的最大值；(2)设，且 a(bc )，求 cos 的值4解 (1)法一：由已知得 bc(cos1，sin )，则 |b c|2(cos1) 2sin 22(1cos ) 1cos 1，0|b

7、c| 24，即 0|bc|2. 当 cos1 时，有| bc |max2，所以向量 bc 的长度的最大值为 2. 法二：|b| 1 ，|c|1，|bc|b|c |2. 当 cos1 时，有 bc(2,0) ，即| bc|2，所以向量 bc 的长度的最大值为 2. 【难点探究】难点一平面向量的概念及线性运算例 1、 (1)a，b 是不共线的向量，若 1ab， a 2b(1， 2R)，则AB AC A，B ，C 三点共线的充要条件为 ( )A 1 21 B 1 21C 1210 D 1210(2) 设 A1，A 2，A 3，A 4 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若 (R)，A1A3 A1

8、A2 (R)，且 2，则称 A3，A 4 调和分割 A1，A 2，已知点 C(c,0)，D(d,0)A1A4 A1A2 1 1(c，d R)调和分割点 A(0,0)，B(1,0)，则下面说法正确的选项是( )AC 可能是线段 AB 的中点BD 可能是线段 AB 的中点CC、D 可能同时在线段 AB 上DC、D 不可能同时在线段 AB 的延长线上【点评】向量的共线定理和平面向量基本定理是平面向量中的两个带有根本意义的定理平面向量基本定理是平面内任意一个向量都可以用两个不共线的向量唯一线性表示，这个定理的一个极为重要的导出结果是，如果 a，b 不共线，那么 1a 2b 1a 2b 的充要条件是

9、1 1 且 2 2.共线向量定理有一个直接的导出结论，即如果 x y ，OA OB OC 则 A，B，C 三点共线的充要条件是 xy1.【变式探究】(1)如下图，在ABC 中，点 O 是 BC 的中点，过点 O 的直线分别交直线AB， AC 于不同的两点 M，N，若 m ， n (m，n0)，则的最小值为( )AB AM AC AN 1m 4nA2 B4 C. D992(2) 设向量 a，b 满足 |a|2 ，b(2,1)，且 a 与 b 的方向相反，则 a 的坐标为5_【答案】(1)C (2)(4，2) 【解析】 (1) ，MO AO AM AB AC 2 1mAB (12 1m)AB 1

10、2AC 同理，M ，O ，N 三点共线，故 NO (12 1n)AC 12AB (12 1m)AB 12AC ，即 0.(12 1n)AC 12AB (12 1m 2)AB (12 2 n)AC 难点二平面向量的数量积例 2 如下图，P 为AOB 所在平面内一点，向量 a， b，且 P 在线段 AB 的OA OB 垂直平分线上，向量 c.若| a|3，|b|2，则 c(ab)的值为( )OP A5 B3 C. D.52 32【答案】C 【解析】设 AB 中点为 D，c ，所以 c(ab)OP OD DP ( ) (ab)(ab) (|a|2|b| 2) .OD DP BA OD BA D

11、P BA OD BA 12 12 52【点评】平面向量问题的难点就是把平面向量的几何运算与数量积运算的结合，这里要充分利用平面向量的几何运算法则、平面向量的共线向量定理、两向量垂直的条件以及平面向量数量积的运算法则，探究解题的思想p1：|a b|1 ；0，23)p2：|a b|1 ；(23，p3：|a b|1 ；0，3)p4：|a b|1 .(3，Ap 1，p 4 Bp 1，p 3Cp 2，p 3 Dp 2，p 4(2)在OAB 中，设 a， b，则 OA 边上的高等于 _OA OB 难点三平面向量的共线与垂直的综合运用例 3 已知椭圆 1( ab0)的左、右焦点分别为 F1、F 2，左顶

12、点为 A，若x2a2 y2b2|F1F2| 2，椭圆的离心率为 e .12(1)求椭圆的标准方程；(2)若 P 是椭圆上的任意一点，求的取值范围；PF1 PA (3)已知直线 l：y kxm 与椭圆相交于不同的两点 M，N(均不是长轴的端点) ，AHMN ，垂足为 H 且 2 ，求证：直线 l 恒过定点AH MH HN 【解答】 (1)由已知得 c1，a2，b ，所求椭圆方程为 1.3x24 y23(2)设 P(x0，y 0)，又 A(2,0) ，F 1(1,0) ， (1x 0)(2x 0)y x 3x 05.PF1 PA 20 1420由于 P(x0，y 0)在椭圆上，2x 02，可知

13、f(x0) x 3 x05 在区间2,2上单调递1420增，当 x0 2 时，f( x0)取最小值为 0；当 x02 时，f (x0)取最大值为 12，的取PF1 PA 值范围是0,12 (3)由Error!得(34k 2)x28kmx4m 2120，由 0 得 4k2 3m2.【点评】此题是以考查解析几何基本问题为主的试题，但平面向量在其中起着关键作用此题的难点是第三问，即把已知的垂直关系和向量等式转化为 0，从而达到AM AN 使用韦达定理建立直线中参数 k，m 的方程，确定 k，m 的关系，把双参数直线系方程化为单参数直线系方程，实现了证明直线系过定点的目的【变式探究】已知双曲线的中

14、心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐近线方程为y x，右焦点 F(5,0)，双曲线的实轴为 A1A2，P 为双曲线上一点(不同于 A1，A 2)，直线43A1P、A 2P 分别与直线 l：x 交于 M、N 两点95(1)求双曲线的方程；(2)求证：为定值FM FN 【解答】 (1)依题意可设双曲线方程为 1，则x2a2 y2b2Error!Error!所求双曲线方程为 1.x29 y216(2)A1(3,0)、A 2(3,0)、F(5,0)，设 P(x，y)，M ， (x3，y )，，(95，y0) A1P A1M (245，y0)A 1、P、M 三点共线，(x3) y0 y0，245y 0

15、，即 M . 同理得 N .24y5x 3 (95， 24y5x 3) (95， 6y5x 3) ，，FM ( 165， 24y5x 3) FN ( 165， 6y5x 3) . 1，，FM FN 25625 14425 y2x2 9 x29 y216 y2x2 9 169 0，即 0 为定值FM FN 25625 14425169 25625 25625 FM FN 【历届高考真题】【2018 年高考试题】1.【2018 高考真题重庆理 6】设 R，向量且,xy(,1)(,)(2,4)axbyc，则cba/,ba（A）（B ）（C）（D）10510252.【2018 高考真题浙江

16、理 5】设 a，b 是两个非零向量。A.若|a+b|=|a|-|b|，则 abB.若 ab ，则|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b| ，则存在实数，使得 b=aD.若存在实数，使得 b=a，则|a+b|=|a|-|b|3.【2018 高考真题四川理 7】设、都是非零向量，以下四个条件中，使成立ab|ab的充分条件是（）A、 B、 C、 D、且ab/ab2ab/ab|【答案】C【解析】A. 可以推得为既不充分也不必要条件； B.可以推得|ba |ab或为必要不充分条件；C为充分不必要条件；D 同 B.|ba4.【2018 高考真题辽宁理 3】已知两个非零向

17、量 a，b 满足|a +b|=|a b|，则下面结论正确的选项是(A) ab (B) ab (C)0,1,3 (D)a+b=a b5.【2018 高考真题江西理 7】在直角三角形中，点是斜边的中点，点为线ABCDABP段的中点，则 =CD2PACA2 B4 C 5 D10【答案】D【解析】将直角三角形放入直角坐标系中，如图，设，则， ,所以，0,)(,0baBA)2,(baD)4(P16)4(222baC，，所以169)4()22P 169)(22baA,所以，22222 0)16(016PCbaBA 102PBA选 D.6.【2018 高考真题湖南理 7】在ABC 中，A

19、n21cos|ab，所以，因为，所以，cos21|ab 2cos| b )4,0(2ba故有应选 C39.【2018 高考真题安徽理 8】在平面直角坐标系中，，将向量按(0,)6,8OPOP逆时针旋转后，得向量，则点的坐标是（）4OQ()A72,)()B72,)C6D4610.【 2018 高考真题天津理 7】已知 ABC为等边三角形，AB=2 ，设点 P，Q 满足ABP， ACQ)1(， R，若，则 =23CPBQ（A） 2 （B） 1（C） 10 （D） 23【答案】A11.【 2018 高考真题新课标理 13】已知向量夹角为，且；则,ab451,20ab_b1

20、2.【 2018 高考真题浙江理 15】在ABC 中，M 是 BC 的中点，AM=3，BC=10 ，则=_.ABC【答案】-16【解析】法一此题最适合的方法是特例法假设 ABC 是以 ABAC 的等腰三角形，如图，AM 3，BC10 ，AB AC 34cosBAC 4108237ABCcos16ABC法二：.1630441)()( 22 MMBCA13.【 2018 高考真题上海理 12】在平行四边形中，，边、的ABCDABD长分别为 2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则N|CN的取值范围是。AM14.【 2018 高考真题山东理 16】如图，在平面直角坐标系中，一单

21、位圆的圆心的初始xOy位置在，此时圆上一点的位置在，圆在轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心(0,1)P(0,)位于时，的坐标为_.(2,1)OP【答案】 )2cos1,sin【解析】因为圆心移动的距离为 2，所以劣弧，即圆心角2PA, ,则 ,所以2PCA 2PCA，，所以，cos)sin(Bsin)2cos(CB 2sinBxp，所以。21yp )co1,OP15.【 2018 高考真题北京理 13】已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则的值为_，的最大值为_ 。CBDE DCE16.【 2018 高考真题安徽理 14】若平面向量满足：，

22、则的最小值是,ab23baA。_【答案】 98【解析】22349494 8ababababAA17.【 2018 高考江苏 9】（5 分）如图，在矩形中，点为BCD2BC，， E的中点，点在边上，若，则的值是 BCFCD2AFEFA【答案】。2【2017 年高考试题】1. (2017 年高考四川卷理科 4)如图，正六边形 ABCDEF 中， BACDEF=( )(A)0 (B) BE(C) AD (D)CF答案：D解析： .ECDEF2. (2017 年高考全国卷理科 12)设向量满足| |=| |=1, ,，abc、、 bab1=2= ，则的最大值等于,acb06

23、c(A)2 (B) (c) (D)132【答案】A【解析】如图，构造 , , ,ABaDbACc，所以四点共圆，120,60BDC可知当线段为直径时，最大，最大值为 2.c二、填空题:1. (2017 年高考浙江卷理科 14)若平面向量，满足，，且以向量，1为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角的取值范围是。12【答案】 5,6【解析】，又1 12sin,1,sin2又 0,2.(2017 年高考安徽卷理科 13)已知向量 a，b 满足（a+2 b）（a -b）=6，且，a，则 a 与 b 的夹角为 .2bABDC3.(2017 年高考重庆卷理科 12)已知单位向

24、量的夹角为，则 ,ijc602ijc解析：。 32224414cos603ijijijijccccA4.(2017 年高考安徽卷江苏 10)已知是夹角为的两个单位向量，21,e3若，则 k 的值为 .,2211ekbea0ba【答案】 54【解析】 1212()eke2211()ke0,解得 .(12)cos3k54【2017 年高考试题】（2017 全国卷 2 理数）（8） ABCV中，点 D在 AB上， C平方 AB若CBaur， Abr， 1a， 2，则 ur（A） 13 （B） 3ab （C） 345ab （D） 435ab6.（2017 辽宁理数）(8) 平面上 O,A

25、,B 三点不共线，设，则OAB 的面积等,OA=aBb于(A) (B) 22|()abA22|()ab(C) (D) 221|()abA221|()abA【答案】C【解析】三角形的面积 S= |a|b|sin，而222211|()|()cos,ababab|cos,|sin,27.（2017 重庆理数）(2) 已知向量 a，b 满足，则0,12,ababA. 0 B. C. 4 D. 82解析： 2ab)( 228.（2017 四川理数）（5）设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外，则216,BCABAC（A）8 （B）4 （C ） 2 （D ）19.（2017 江西

26、理数）13.已知向量，满足，，与的夹角为 60，ab12bab则 ab【答案】 3【解析】考查向量的夹角和向量的模长公式，以及向量三角形法则、余弦定理等知识，如图，由余弦定理得：,aOAbBaOAB3ab10.（ 2017 广东理数）10.若向量 =（1,1,x）, =(1,2,1), =(1,1,1),满足条件rbrcr=-2,则 = .()2cabrrx解析：，，解(0,1)()2(0,1)(,2(1)2cabxx得 2x11.（ 2017 江苏卷）15、（本小题满分 14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(1,2)、B(2,3)、C(2,1)。求以线段 AB、A

27、C 为邻边的平行四边形两条对角线的长；设实数 t 满足( ) =0，求 t 的值。OCtAB解析：（1）（方法一）由题设知，则(3,5)(1,)ABC(2,6)4,.所以 |10,|2ABC故所求的两条对角线的长分别为、。1013.（ 2017 江苏卷）15、（本小题满分 14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(1,2)、B(2,3)、C(2,1)。求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；设实数 t 满足( ) =0，求 t 的值。OCtAB解析：（1）（方法一）由题设知，则(3,5)(1,)ABC(2,6)4,.ABC所以 |10,|2故所求的两条对角线的长分别为、。10（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为 D，两条对角线的交点为 E，则:E 为 B、 C 的中点，E （0，1）又 E（0，1）为 A、D 的中点，所以 D（1 ，4）故所求的两条对角线的长分别为 BC= 、AD= ；210

展开阅读全文