1、第 1 页 共 21 页2019 届湖北省高三 4 月份调研考试数学（理）试题一、单选题1已知集合 ， ，则（ ）M=x|33 |z|1+2i| |z|=|12i|【答案】D【解析】根据复数的模的计算得到 进而判断其它选项的正误.|z|= 22+(1)2= 5.【详解】复数 ， 排除 AB，z=-1+2i |z|= 22+(1)2= 5.故得到|12i|=|1+2i|= 5. |z|=|1-2i|.故答案为：D.【点睛】这个题目考查了复数的模长的计算，属于简单题.3已知 ，则 （ ）3sinx+cosx=22 cos(x3)=A B C D12 24 23 34【答案】B【解析】根据正弦函数的
2、两角和的公式将原式子进行化一，再由诱导公式得到cos(x-3)=sin(x+6)=24.第 2 页 共 21 页【详解】已知 ，化一得到 ，3sinx+cosx=22 2sin(x+6)=22则 cos(x-3)=sin(x+6)=24.故答案为：B.【点睛】这个题目考查了三角函数化一公式的应用，以及诱导公式的应用，属于基础题.4已知双曲线 的离心率为 ，则双曲线 的渐近线方程为（ ）C:x2a2y2b2=1(a0,b0) 52 CA B2xy=0 x2y=0C D3xy=0 3xy=0【答案】B【解析】根据双曲线的离心率公式得到 进而得到渐近线方ca= 1+b2a2=52b2a2=14ba=
3、12程.【详解】已知双曲线 的离心率为 ，C:x2a2-y2b2=1(a0,b0) 52即ca=52,ca= 1+b2a2=52b2a2=14ba=12双曲线的渐近线方程为： y=baxy=12x故答案为：B.【点睛】这个题目考查了双曲线的离心率的求法，以及设计了离心率和渐近线的表达式间的关系，属于基础题.5如图，网格纸上的小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A B1 C D23 43 223【答案】C第 3 页 共 21 页【解析】根据三视图还原几何体，由棱锥体积公式计算得到结果.【详解】根据题意得到原图是下图中的四棱锥 ，根据题意得到四边形 边长为C
4、ADD1A1 ADD1A12，棱锥的高为 1，故四棱锥的体积为： 13221=43.故答案为：C.【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.6已知函数 是定义域为 的奇函数，当 时， ，则不等式f(x) R x0 f(x)=l
5、n(1+x2)+x的解集为（ ）f(2x+1)1+ln2A Bx|x0 x|x1 x|x1+ln2f(2x+1)f(1) f(x) R表达式可得到函数单调递增，故只需要 .2x+11x0【详解】当 时， ,x0 f(x)=ln(1+x2)+x, f(1)=ln2+1f(2x+1)1+ln2f(2x+1)f(1)第 4 页 共 21 页函数 是定义域为 的奇函数，当 时， ,可得到函数是单调递增f(x) R x0 f(x)=ln(1+x2)+x的，故在整个实属范围内也是单调递增的，故只需要 .2x+11x0故答案为：A.【点睛】这个题目考查了函数奇偶性的应用，以及函数单调性的应用，对于解不等式的
6、问题，如果不等式的解析式未知或者已知表达式，直接解不等式非常复杂，则通常是研究函数的奇偶性和单调性来达到解不等式的目的.7甲乙 2 人从 4 门课程中各自选修 2 门课程，并且所选课程中恰有 1 门课程相同，则不同的选法方式有（ ）A36 种 B30 种 C24 种 D12 种【答案】C【解析】先从 4 门课程中选出 1 门，是两个人共同选的一科，选法种数为 4 种, 剩下三门，选出不同的两门，分别给甲乙即可，方法有 ，进而得到结果 .A23【详解】先从 4 门课程中选出 1 门，是两个人共同选的一科，选法种数为 4 种，剩下三门，选出不同的两门，分别给甲乙即可，方法有 ，故共有 种方法.A2
7、3 4A23=24故答案为：C.【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：按元素 (或位置 )的性质进行分类；按事情发生的过程进行分步具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置) 8如图，圆 是边长为 的等边三角形 的内切圆，其与 边相切于点 ，点O 23 ABC BC D为圆上任意一点， ，则 的最大值为（ ）M BM=xBA+yBD(x,yR) 2x+yA B C2 D2 3 22第 5 页 共 21 页【答案】C【解析】建立坐标系，写出相应的点坐标，得到 的表达式，进而得到最大值.2x+y【详解】以 D 点为原点，BC 所在直线为 x
8、 轴，AD 所在直线为 y 轴，建立坐标系，设内切圆的半径为 1，以（0，1）为圆心，1 为半径的圆；根据三角形面积公式得到 ，12l周 长 r=S=12ABACsin600可得到内切圆的半径为 1;可得到点的坐标为： B(3,0),C( 3,0),A(0,3),D(0,0),M(cos,1+sin)BM=(cos+ 3,1+sin),BA=( 3,3),BD=( 3,0)故得到 BM=(cos+ 3,1+sin)=( 3x+ 3y,3x)故得到 cos= 3x+ 3y3,sin=3x1， x=1+sin3y=cos3sin3+23 2x+y=cos3+sin3+43=23sin(+)+432
9、.故最大值为：2.故答案为：C.【点睛】这个题目考查了向量标化的应用，以及参数方程的应用，以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.9在 中，给出下列说法：ABC若 ，则一定有 ；AB sinAsinB恒有 ；cosA+cosB0若 ，则 为锐角三角形.sinA2一个错误.【详解】在 中，若 ，根据大边对大角可得到 ，故正ABC AB ab,asinA= bsinBsinAsinB确；在 中， ABCA+BB22A,B2(2,2)正弦函数在这一区间内是单调递增的，故得到 s
10、in(2A)sin(B2)cosAcosBcosA+cosB0故正确；若 ，即 sinA2故三角形为钝角三角形，故错误.故答案为：C.【点睛】本题考查命题真假的判断，解题时要认真审题，注意正弦定理、诱导公式等知识的合理运用10已知函数 ，其中 ， ， 恒成立，且 在区间f(x)=sin(x+) 0 00 00,m3 (0,3+m)(3+m,+)函数最小值为 fmin(x)=f(3+m)=m+4(m+3)ln(3+m)nn3m+31+m3+mln(m+3)=123+mln(m+3)令 g(m)=123+mln(m+3),g(m)=m1(m+3)2函数在 (3,1)(1,+)故得到 gmin(m)
11、=g(1)=ln2.故答案为：B【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，也考查了利用导数研究函数的单调性与求最值问题，考查了构造函数与转化思想，是综合题二、填空题13在 的展开式中 的系数为_.721x1x【答案】-84【解析】根据二项式展开式公式得到 ，727143112rr rrrTCxCx进而得到当 时得到项 ，代入求解即可.=5rx【详解】第 9 页 共 21 页的展开式为： 721x727143112rr rrrTCxCx当 时得到项 ，代入得到系数为 =5rx552784.故答案为：-84.【点睛】这个题目考查了二项展开式的特定项问题，实质是考查通项 的特点,一1knTCab般需要建立
12、方程求 ,再将 的值代回通项求解,注意 的取值范围( ).kk02第 m 项：此时 ,直接代入通项；1常数项：即该项中不含“变元”,令通项中“变元” 的幂指数为 0 建立方程；有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解.14已知实数 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为_.x y x+y4,5x+2y11,y12x+1, z=2xy【答案】2【解析】根据不等式画出可行域，结合图像得到目标函数最值.【详解】根据不等式画出可行域如图中阴影部分所示：化为： ,当直线的截距最小时目标函数有最大值，当直线过点 C 时，z=2x-y y=2x-z
13、取得最大值，设 C(x,y),y=12x+1y=x+4 C(2,2)代入得到最大值 2.故答案为：2.第 10 页 共 21 页【点睛】利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形常见的类型有截距型（ 型） 、ax+by斜率型（ 型）和距离型（ 型） y+bx+a (x+a)2+(y+b)2(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。15已知正三棱锥 的底面边长为 3，外接球的表面积为 ，则正三棱锥PABC 16的体积为_.PABC【答案】 或334 934
14、【解析】做出简图，找到球心，根据勾股定理列式求解棱锥的高，得到两种情况.【详解】正三棱锥 的外接球的表面积为 ，根据公式得到P-ABC 16 16=4r2r=2,根据题意画出图像，设三棱锥的高为 h,P 点在底面的投影为 H 点，则，底面三角形的外接圆半径为 ，根据正弦定理得到OP=r=2,OA=r=2,OH=h2 AH，故得到外接圆半径为3sin600=23 3.在三角形 中根据勾股定理得到 OAH (h2)2+3=4h=1或 3三棱锥的体积为： 13hSABC代入数据得到 或者 131333212=334. 133333212=943.故答案为： 或334 934.【点睛】这个题目考查了已
15、知棱锥的外接球的半径，求解其中的一些量；涉及棱锥的外接球的球心的求法，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球第 11 页 共 21 页的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点） ，这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.
16、16如图，过抛物线 的焦点 作两条互相垂直的弦 、 ，若y2=2px(p0) F ABCD与 面积之和的最小值为 16，则抛物线的方程为_.ACFBDF【答案】 y2=42x【解析】根据焦半径公式表示出面积表达式，根据直线和 x 轴夹角的S=p2112sin214sin22，设 t=sin2，(0，2)(2，),t1,0)(0,1范围得到面积的范围.【详解】设直线 AC 和 x 轴的夹角为 由焦半径公式得到 ,AF= p1cos,CF= p1+cos(2)= p1+sinBF=p1+cos,DF= p1sinSACF=p22 1(1cos)(1+sin),SBDF=p22 1(1+cos)(1
17、sin)面积之和为： S=p22 1(1cos)(1+sin)+ 1(1+cos)(1sin)通分化简得到S=p21sincossin2cos2=p2112sin214sin22，设 t=sin2，(0，2)(2，),t1,0)(0,1原式子化简为 根据二次函数的性质当 t=1 时有最小S=p2(4t22t)，1t(,11,+)第 12 页 共 21 页值，此时 抛物线方程为： S=2p2=16p=22, y2=42x故答案为： .y2=42x【点睛】本题主要考查了抛物线的几何性质解题的关键是利用了抛物线的定义以及焦半径公式。一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注
18、意抛物线的结论的总结和应用。尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化。三、解答题17已知数列 满足 ，其前 项和为 ，当 时， ， ， 成等差an a2a1=1 n Sn n2 Sn11Sn Sn+1数列.（1）求证 为等差数列；an（2）若 ， ，求 .Sn=0 Sn+1=4 n【答案】(1)见证明；(2) n=7【解析】(1)根据等差数列的概念得到 ，变形化简得到2Sn=Sn-1-1+Sn+1，则 ，得证；（2）根据第一问得到的结论得到an=-1+an+1(n2) an+1-an=1，即 ，由 得 ，即 ，联立两式求解.an+1=4 a1+n=4 Sn=0 na1
19、+n(n-1)2 =0 a1+n-12=0【详解】（1）当 时，由 ， ， 成等差数列得： ，n2 Sn-1-1 Sn Sn+1 2Sn=Sn-1-1+Sn+1即 ，即 ，则 ，Sn-Sn-1=-1+Sn+1-Sn an=-1+an+1(n2) an+1-an=1(n2)又 ，故 是公差为 1 的等差数列. a2-a1=1 an（2）由（1）知数列 公差为 1，由 ， 得 ，即 ，an Sn=0 Sn+1=4 an+1=4 a1+n=4由 得 ，即 ，联立解得： .Sn=0 na1+n(n-1)2 =0 a1+n-12=0 n=7【点睛】这个题目考查了等差数列的性质的应用,以及等差数列的通项公
20、式的应用.18已知四棱锥 中， 底面 ， ， ， ，PABCDPA ABCDAD/BCAB=AD=3 BC=4.AC=5第 13 页 共 21 页（1）当 变化时，点 到平面 的距离是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，AP C PAB请说明理由；（2）当直线 与平面 所成的角为 45时，求二面角 的余弦值.PB ABCD APDC【答案】(1)见解析；(2) 1919【解析】(1)根据几何关系得到 面 ，进而得到点面距离；（2）根据线面角得BC PAB到 ，所以 ，建立坐标系求得面的法向量由向量夹角的计算公式，PBA=45 PA=AB=3进而得到二面角的余弦值.【详解】（1）由 ， ， 知
21、 ，则 ，AB=3 BC=4 AC=5 AB2+BC2=AC2 ABBC由 面 ， 面 得 ，由 ， ， 面 ，PA ABCDBC ABCDPABC PAAB=A PAAB PAB则 面 ，则点 到平面 的距离为一个定值， .BC PAB C PAB BC=4（2）由 面 ， 为 在平面 上的射影，则 为直线 与平面PA ABCDABPB ABCD PBA PB所成的角，则 ，所以 .ABCD PBA=45 PA=AB=3由 ， 得 ，故直线 、 、 两两垂直，因此，以点AD/BCABBCABAD ABADAP A为坐标原点，以 、 、 所在的直线分别为 轴、 轴、 轴建立如图所示的空间ABA
22、DAP x y z直角坐标系，易得 ， ， ，于是 ， ，P(0,0,3)D(0,3,0)C(3,4,0) DP=(0,-3,3) DC=(3,1,0)设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，取 ，则PDC n1=(x,y,z)n1DP=0n1DC=0 -3y+3z=03x+y=0 x=1， ，于是 ；显然 为平面 的一个法向量，y=-3 z=-3 n1=(1,-3,-3) n2=(1,0,0) PAD于是，cosn1,n2=n1n2|n1|n2|= 112+(-3)2+(-3)2=1919分析知二面角 的余弦值为 .A-PD-C -1919【点睛】这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，线面角
23、的找法，平面和平面的夹角。第 14 页 共 21 页求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可。面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做。19已知椭圆 的离心率为 ，椭圆上的点到左焦点的最小值为:x2a2+y2b2=1(ab0) 32.23（1）求椭圆 的方程；（2）已知直线 与 轴交于点 ，过点 的直线 与 交于 、 两点，点 为直线x=1 x M M AB A B P上任意一点，设直线 与直线 交于点 ，记 ， ， 的斜
24、率分别为 ，x=1 AB x=4 N PAPBPN k1， ，则是否存在实数 ，使得 恒成立？若是，请求出 的值；若不是，k2 k0 k1+k2=k0 请说明理由.【答案】(1) (2)见解析x24+y2=1【解析】 （1）根据题干列出式子 ，结合 求解即可；（2）设出2- 3=a-c ca=322b=2a2=b2+c2 直线方程，联立直线和椭圆方程，设 ， ， ， ，A(x1,y1) B(x2,y2) P(1,t)k1+k2=t-y11-x1+t-y21-x2根据韦达定理化简得到结果.当直线 与 轴重合时验证即可.ABx【详解】（1）椭圆上的左顶点到左焦点的距离最小为 ，2- 3=a-c结合
25、题干条件得到 ，解之得 ，ca=322b=2a2=b2+c2 a=2b=1 由 ，知故椭圆的方程为： ，b2=a2-c2=1x24+y2=1（2）设 ， ， ， A(x1,y1) B(x2,y2) P(1,t)M(1,0)第 15 页 共 21 页若直线 与 轴不重合时，设直线 的方程为 ，点 ， ，ABx AB x=my+1 N(4,3m) k0=t3m3将直线代入椭圆方程整理得：，显然 ，则 ， ，(m2+4)y2+2my-3=0 0 y1+y2=-2mm2+4 y1y2=- 3m2+4k1+k2=t-y11-x1+t-y21-x2=(t-y1)(1-x2)+(t-y2)(1-x1)(1-
26、x1)(1-x2)=(t-y1)(-my2)+(t-y2)(-my1)(-my1)(-my2) =-t(y1+y2)+2y1y2my1y2=-t-2mm2+4+2-3m2+4m(- 3m2+4) =2mt-6-3m=2t-3m-3=2k0若直线 与 轴重合时，则 ， ， ，此时 ，ABx B(-2,0) A(2,0) N(4,0) k1+k2=t3+t-1=-23t而 ，故 . k0=-23t k1+k2=2k0综上所述，存在实数 符合题意.=2【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组
27、关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用20近年来，随着网络的普及，数码产品早已走进千家万户的生活，为了节约资源，促进资源循环利用，折旧产品回收行业得到迅猛发展，电脑使用时间越长，回收价值越低，某二手电脑交易市场对 2018 年回收的折旧电脑交易前使用的时间进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图，在如图对时间使用的分组中，将使用时间落入各组的频率视为概率.（1）若在该市场随机选取 3 个 2018 年成交的二手电脑，求至少有 2 个使用时间在上的概率；(4,8（2
28、）根据电脑交易市场往年的数据，得到如图所示的散点图，其中 （单位：年）表x示折旧电脑的使用时间， （单位：百元）表示相应的折旧电脑的平均交易价格.y第 16 页 共 21 页（）由散点图判断，可采用 作为该交易市场折旧电脑平均交易价格与使用y=ea+bx年限 的回归方程，若 ， ，选用如下参考数据，求 关于 的回归方程.x t=lnyi t=11010i=1ti y xx y t 10i=1xiyi 10i=1xiti 10i=1x2i5.5 8.5 1.9 301.4 79.75 385（）根据回归方程和相关数据，并用各时间组的区间中点值代表该组的值，估算该交易市场收购 1000 台折旧电脑
29、所需的费用附：参考公式：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的(ui,vi)(i=1,2,n) v=+u最小二乘估计分别为： ， .参考数据： ， ，=ni=1uivinuvni=1u2inu2 =vu e3.2526e2.6514， ， .e2.057.8e1.454.3e0.852.3【答案】(1) (2) （） （） 元44125 y=e0.3x+3.55 1303200【解析】 （1）由频率分布直方图可知一台电脑使用时间在 上的概率为： ，满(4,8 p=25足题意的有 ；（2） （）根据公式计算得到其中的 ， 进而得到P(A)=C23(25)235+C33(25)3 b a表达式
30、；（）根据频率分布直方图对成交的二手折旧电脑使用时间在 ， ，(0,2 (2,4， ， 上的频率依次为：0.2，0.36，0.28，0，12，0.04，由上一问的表达(4,6 (6,8 (8,10式得到各个区间上的相应的估计值，进而得到平均值.【详解】（1）由频率分布直方图可知一台电脑使用时间在 上的概率为：(4,8，p=(0.14+0.06)2=0.4=25设“任选 3 台电脑，至少有两台使用时间在 ”为事件 ，则(4,8 AP(A)=C23(25)235+C33(25)3=44125第 17 页 共 21 页（2） （）由 得 ，即 ，y=ea+bxlny=a+bx t=a+bxb=10i
31、=1xiti-10xt10i=1x2i-10x-2=79.75-105.51.9385-105.52 =-0.3，即 ，所以 .a=1.9-(-0.3)5.5=3.55 t=-0.3x+3.55 y=e-0.3x+3.55（）根据频率分布直方图对成交的二手折旧电脑使用时间在 ，(0,2， ， ，(2,4 (4,6 (6,8上的频率依次为：0.2，0.36，0.28，0，12，0.04：(8,10根据（1）中的回归方程，在区间 上折旧电脑价格的预测值为 ，(0,2 e3.55-0.31=e3.2526在区间 上折旧电脑价格的预测值为 ，(2,4 e3.55-0.33=e2.6514在区间 上折旧
32、电脑价格的预测值为 ，(4,6 e3.55-0.35=e2.057.8在区间 上折旧电脑价格的预测值为 ，(6,8 e3.55-0.37=e1.454.3在区间 上折旧电脑价格的预测值为 ，(8,10 e3.55-0.39=e0.852.3于是，可以预测该交易市场一台折旧电脑交易的平均价格为：（百元）0.226+0.3614+0.287.8+0.124.3+0.042.3=13.032故该交易市场收购 1000 台折旧电脑所需的的费用为：（元）100013.032=1303200【点睛】本题考查回归分析回归方程的计算，频率分布直方图的应用，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许
33、多条，而其中的一条能最好地反映 x 与 y 之间的关系，这条直线过样本中心点线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.21已知 .f(x)=x12(lnx)2klnx1(kR)（1）若 是 上的增函数，求 的取值范围；f(x)(0,+) k（2）若函数 有两个极值点，判断函数 零点的个数 .f(x) f(x)【答案】(1) (2) 三个零点(,1【解析】(1) 由题意知 恒成立,构造函数 ，对函数求导，求得函f(x)0 F(x)=x-lnx-k数最值，进而得到结果；（2）当 时先对函数求导研究函数的
34、单调性可得到函数有k1第 18 页 共 21 页两个极值点，再证 ， .f(x1)0 f(x2)0 F(x)故 ，即 ，故 的取值范围是 .F(x)min=F(1)=1-k0 k1 k (-,1（2）当 时， 单调，无极值；k1 f(x)当 时， ，k1 F(1)=1-k0 F(x)(0,1) F(x) (e-k,1)另一方面， ，设 ，则 ，从而F(ek)=ek-2k g(k)=ek-2k(k1) g(k)=ek-20 g(k)在 递增，则 ，即 ，又 在 递增，所以(1,+) g(k)g(1)=e-20 F(ek)0 F(x)(1,+)在区间 有一个零点.F(x) (1,ek)因此，当 时
35、 在 和 各有一个零点，将这两个零点记为 ，k1 f(x)(e-k,1) (1,ek) x1，当 时 ，即 ；当 时 ，即x2(x10 f(x)0 x(x1,x2) F(x)0 f(x)0 f(x)(0,x1) (x1,x2)递减，在 递增；于是 是函数的极大值点， 是函数的极小值点 .(x2,+) x1 x2下面证明： ，f(x1)0 f(x2)m(1)=0 x10当 时 ， 递减，则 ，而 ，故 ；x(1,+)m(x)1 f(x2)0 f(x)(0,x1) f(x)上有一个零点，即 在 上有一个零点.(e-2k,x1) f(x)(0,x1)另一方面，根据 得 ，则有：ex1+x(x0) e
36、k1+k第 19 页 共 21 页，f(e4k)=e4k-12k2-1(1+k)4-12k2-1=k4+4k(k-34)2+74k0又 ，且 在 递增，故 在 上有一个零点，故 在f(x2)0 f(x)(x2,+) f(x)(x2,e4k) f(x)上有一个零点 .(x2,+)又 ，故 有三个零点.f(1)=0 f(x)【点睛】本题考查函数的零点，导数的综合应用在研究函数零点时，有一种方法是把函数的零点转化为方程的解，再把方程的解转化为函数图象的交点，特别是利用分离参数法转化为动直线与函数图象交点问题，这样就可利用导数研究新函数的单调性与极值，从而得出函数的变化趋势，得出结论22选修 4-4：
37、极坐标与参数方程 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 是参数） ，以坐标原点xOy C1 x= 2+ 2cosy= 2sin 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .O x C2 =4sin（1）求曲线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程；C1 C2（2）若射线 与曲线 交于 ， 两点，与曲线 交于 ， 两点，求=(02) C1 O A C2 O B取最大值时 的值|OA|+|OB| tan【答案】(1) 的极坐标方程为 .曲线 的直角坐标方程为 . (2) C1 =22cos C2 x2+y24y=02【解析】(1)先得到 的一般方程，再由极坐标化直角坐标的公式
38、得到一般方程，将C1代入得 ，得到曲线 的直角坐标方程；（2）设点 、 的极坐x2+y2=2y=sin x2+y2=4y C2 A B标分别为 ， ，(1,) (2,)将 分别代入曲线 、 极坐标方程得： ， ，=(02) C1 C2 1=22cos 2=4sin，之后进行化一，可得到最值，此时 ，可求解.|OA|+|OB|=22cos+4sin =2-【详解】（1）由 得 ，x= 2+ 2cosy= 2sin x2-22x+y2=0将 代入得：x2+y2=2x=cos ，故曲线 的极坐标方程为 .=22cos C1 =22cos第 20 页 共 21 页由 得 ，=4sin 2=4sin将
39、代入得 ，故曲线 的直角坐标方程为 .x2+y2=2y=sin x2+y2=4y C2 x2+y2-4y=0（2）设点 、 的极坐标分别为 ， ，A B (1,) (2,)将 分别代入曲线 、 极坐标方程得： ， ，=(02) C1 C2 1=22cos 2=4sin则 ，其|OA|+|OB|=22cos+4sin=26(sin63+cos 33)=26sin(+)中 为锐角，且满足 ， ，当 时， 取最大值， sin=33 cos=63 +=2 |OA|+|OB|此时 ， =2- tan=tan(2-) =sin(2-)cos(2-)=cossin= 63sin=6333= 2【点睛】这个题
40、目考查了参数方程化为普通方程的方法，极坐标化为直角坐标的方法，以及极坐标中极径的几何意义，极径代表的是曲线上的点到极点的距离，在参数方程和极坐标方程中，能表示距离的量一个是极径，一个是 t 的几何意义，其中极径多数用于过极点的曲线，而 t 的应用更广泛一些 .23选修 4-5：不等式选讲已知函数 ， .f(x)=|x3|ttR（1）当 时，解不等式 ；t=3 |f(x)|3（2）若不等式 的解集为 ，正数 ， 满足 ，求 的最f(x+2)0 1,3 a b ab2a8b=2t2a+2b小值【答案】(1) 或 或 . (2)24x|x9 x-3 x=3【解析】(1)原式子等价于 ，即 或 ，由绝
41、对值不等|x-3|-3|3 |x-3|-33 |x-3|-3-3式的几何意义求解即可；（2）由原式得 ，即 ，故|x-1|-t0 -t+1xt+1，再由均值不等式得解即可 .-t+1=-1t+1=3 【详解】（1）当 时，由 得 ，即 或 ，t=3 |f(x)|3 |x-3|-3|3 |x-3|-33 |x-3|-3-3|x-3|6或 |x-3|0x-36或 x-3-6或 x=3解之得： 或 或 .x|x9 x-3 x=3（2）由 得 ，即 ，故 ，f(x+2)0 |x-1|-t0 -t+1xt+1 -t+1=-1t+1=3 所以 ，t=2由 得 ，则 ，ab-2a-8b=2t-2 ab-2a-8b=2 (a-8)(b-2)=18第 21 页 共 21 页，a+2b=(a-8)+2(b-2)+1222(a-8)(b-2)+12=26+12=24当且仅当 即 ， 时取等号.a-8=2(b-2) a=14b=5【点睛】这个题目考查了含有绝对值的不等式的解法，以及均值不等式的应用，属于基础题.
